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Esercizi sugli spazi vettoriali 8 — Sottospazi vettoriali

Spazi vettoriali

Home » Esercizi sugli spazi vettoriali 8 — Sottospazi vettoriali

In questo articolo proponiamo 14 esercizi svolti su sottospazi vettoriali. Prosieguo della raccolta Esercizi sugli spazi vettoriali – somma e intersezione, ha lo scopo di fornire ulteriore materiale per l’approfondimento di questa importante tematica dell’algebra lineare.

Gli esercizi sono accuratamente selezionati e completamente svolti: auguriamo a tutti una piacevole lettura.

sottospazi vettoriali

 

Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi risolti riguardo la struttura di sottospazio di uno spazio vettoriale V dato e sui concetti di dipendenza e indipendenza lineare.

 

Autori e revisori

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Autore: Daniele Volpe

Revisori: Valerio Brunetti Luigi De Masi


 

Notazioni su sottospazi vettoriali

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\mathbb{R} campo dei numeri reali;
\mathbb{C} campo dei numeri complessi;
\mathbb{N} insieme numeri naturali (incluso lo zero);
\mathbb{K} generico campo;
V generico spazio vettoriale;
\dim V dimensione dello spazio vettoriale V;
\mathbf{0}_V \in V vettore nullo in V;
\mathbf{0} vettore nullo dello spazio vettoriale in esame;
\operatorname{Id} matrice identità di dimensione deducibile dal contesto;
\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)\subseteq V sottospazio vettoriale di V generato dai vettori v_1,\dots,v_n \in V;
\mathbb{R}_{k}[x] spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali nella variabile x aventi grado al più k;
\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) spazio vettoriale delle matrici m\times n a coefficienti reali;
\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) spazio vettoriale delle matrici quadrate n\times n a coefficienti reali.

 

Premessa teorica su sottospazi vettoriali

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In questa sezione richiamiamo brevemente i concetti teorici necessari per lo svolgimento degli esercizi proposti dalla dispensa: combinazione lineare, dipendenza ed indipendenza lineare, sottospazio vettoriale, base e dimensione.

Definizione 1.1. Sia V uno spazio vettoriale a coefficienti nel campo \mathbb{K} e sia n\in\mathbb{N} un numero naturale.  

  1. Un sottoinsieme S\subseteq V è detto sottospazio vettoriale di V se esso è uno spazio vettoriale a sua volta, ovvero se per ogni coppia di scalari \alpha, \beta\in\mathbb{K} e per ogni coppia di vettori v, w\in V si ha

    \[\alpha v+\beta w\in S.\]

    Osserviamo in particolare, scegliendo \alpha=\beta=0, che S deve contenere il vettore nullo di V.

  2. Dati n scalari \alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K} ed n vettori v_1,\cdots,v_n\in V, il vettore u\in V dato da

    \[u=\alpha_1 v_1+\cdots\alpha_n v_n\]

    è detto combinazione lineare degli n vettori assegnati con coefficienti \alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K}.

  3. Un sottoinsieme S\subseteq V è detto linearmente dipendente se esistono n vettori

    v_1,\cdots,v_n\in S ed n scalari \alpha_1,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{K} non tutti nulli tali che

    \[\alpha_1 v_1+\cdots\alpha_n v_n=\bf 0.\]

    Altrimenti è detto linearmente indipendente.

  4. Dato un sottoinsieme S\subseteq V, chiamiamo

    \[\mathcal{L}(S)\subseteq V\]

    l’insieme di tutte le combinazioni lineari di un numero finito di elementi di S. Esso è un sottospazio vettoriale di V detto sottospazio generato da S. Se S è un insieme finito di n vettori S=\{v_1,\cdots,v_n\}, scriviamo

    \[\mathcal{L}(v_1,\cdots,v_n)\subseteq V.\]

    S è detto insieme dei generatori del sottospazio in questione.

  5. Chiamiamo base di uno spazio vettoriale V un insieme \mathcal{B}\subset V di generatori linearmente indipendenti di V. Se la base ha cardinalità finita m\in\mathbb{N} chiamiamo dimensione dello spazio V la cardinalità di \mathcal{B}, ovvero

    \[\operatorname{dim}V=m.\]

Ricordiamo, ad esempio, che l’insieme dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a k è uno spazio vettoriale. Più esplicitamente tale spazio può essere descritto come:

\[\mathbb{R}_k[x]:=\{a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{k-1}+a_kx^k \colon a_0,a_1,\dots,a_k \in \mathbb{R}\}.\]

Osserviamo inoltre che, per ogni numero naturale k\in\mathbb{N}, \mathbb{R}_k[x] è uno spazio vettoriale su \mathbb{R} di dimensione k+1, infatti una possibile base per questo spazio è data dall’insieme di vettori

\[\mathcal{B}=\{1,x,\dots,x^{k-1},x^k\}.\]


 

Testi degli esercizi su sottospazi vettoriali

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Quali dei seguenti sottoinsiemi di \mathbb{R}^3 sono anche sottospazi vettoriali? Motivare la risposta.

  1. V_1=\{(x, y, 1)\in \mathbb{R}^3\colon x, y \in \mathbb{R}\};
  2. V_2=\{(0, y, 0)\in \mathbb{R}^3 \colon y \in \mathbb{R}\};
  3. V_3=\{(x, x, y)\in \mathbb{R}^3 \colon x, y \in \mathbb{R}\};
  4. V_4=\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 \colon x, y, z \in \mathbb{R},\quad x + y = z\};
  5. V_5=\{(x, y, z)\in \mathbb{R}^3 \colon x, y, z \in \mathbb{R},\quad x^2 + y^2 = z^2\}.

Svolgimento punto 1.

V_1 non è un sottospazio, in quanto la terza coordinata è forzata ad essere uguale a 1 e ciò ha come conseguenza che il vettore nullo non può appartenere al suddetto insieme.

Svolgimento punto 2.

V_2 è un sottospazio di \mathbb{R}^3; infatti prendiamo due elementi generici (0,x,0) e (0,y,0) appartenenti a tale insieme e mostriamo che una loro combinazione lineare è ancora un elemento di esso. Scegliamo dunque due numeri reali arbitrari \alpha e \beta e osserviamo che \alpha(0,x,0)+\beta(0,y,0)=(0,\alpha x+ \beta y,0) appartiene ancora all’insieme.

Svolgimento punto 3.

Un elemento di \mathbb{R}^3 appartiene a V_3 se e solo se la prima e la seconda componente sono uguali; mostriamo che tale condizione definisce un sottospazio di \mathbb{R}^3. Dati due scalari arbitrari \alpha,\beta\in\mathbb{R}^3, una generica combinazione lineare di elementi di V_3 è pari a

\[\alpha(x,x,y)+\beta(w,w,z)=(\alpha x + \beta w,\alpha x + \beta w,\alpha y + \beta z).\]

Osserviamo che in questo elemento risultante le prime due componenti sono ancora uguali: V_3 è quindi un sottospazio.

Svolgimento punto 4.

Mostriamo che V_4 di \mathbb{R}^3 è un sottospazio. Dati due scalari arbitrari \alpha,\beta\in\mathbb{R}, una generica combinazione lineare di elementi di V_4 è pari a

\[\alpha(x,y,z) +\beta(u,v,w) =(\alpha x+\beta u,\alpha y+\beta v,\alpha z+\beta w).\]

Proviamo che tale vettore soddisfa ancora la condizione che definisce V_4:

\[(\alpha x+\beta u)+(\alpha y+ \beta v)=\alpha(x+y)+\beta(u+v)=\alpha z+\beta w,\]

come volevasi dimostrare. La seconda uguaglianza segue dall’assunto che i due elementi di \mathbb{R}^3 scelti soddisfano la condizione che definisce V_4.

Svolgimento punto 5.

V_5 non è un sottospazio: il vettore (1,1,1) appartiene ad esso ma 2\cdot (1,1,1)=(2,2,2) no.

Osservazione.

Si noti che gli unici casi in cui le leggi algebriche defininenti gli insiemi studiati caratterizzano dei sottospazi sono quelli in cui le equazioni coinvolte sono lineari e omogenee. Sarà scopo del prossimo esercizio mettere in luce tale carattere algebrico dei sottospazi vettoriali.

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Mostrare che l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^n.

Svolgimento.

Ricordiamo che un sistema lineare omogeneo è una collezione di equazioni in una o più indeterminate che siano lineari con termine noto nullo. Se abbiamo n indeterminate \{x_1,x_2,\dots,x_n\} ed m equazioni, un sistema lineare omogeneo \Sigma si presenterà, a meno di ordinare addendi ed equazioni, nella seguente forma:

\[\Sigma=\begin{cases} \text{ } a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{1}+\cdots+a_{1,n}x_{n}=0 \\ \text{ } a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots+a_{2,n}x_{n}=0 \\ \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\qquad \qquad\qquad \vdots\\ a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots+a_{m,n}x_{n}=0. \end{cases}\]

Scopo di questo esercizio è mostrare che l’insieme

\[S=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n) \colon (x_1,x_2,\cdots,x_n)\text{ è soluzione di } \Sigma \}\]

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^n.

Si prendano due soluzioni arbitrarie di \Sigma, (x_1,x_2,\cdots,x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in\mathbb{R}^n, si scelgano due scalari \alpha,\beta\in\mathbb{R} e si consideri la combinazione lineare

\[\alpha(x_1,x_2,\cdots,x_n)+\beta(y_1,y_2,\cdots,y_n).\]

Mostriamo che essa è ancora una soluzione di \Sigma.

Per farlo scegliamo una qualsiasi equazione del sistema e verifichiamo che la nostra combinazione lineare è soluzione di essa (per l’arbitrarietà dell’equazione deduciamo dunque che la combinazione lineare è soluzione di tutte le equazioni, simultaneamente); scegliamo dunque l’equazione i-esima, con i \in \{1,\dots,m\} generico, e valutiamola nella combinazione lineare della soluzione. Otteniamo:

\[\begin{aligned} &a_{i,1}(\alpha x_1 + \beta y_1)+a_{i,2}(\alpha x_2 + \beta y_2)+\cdots + a_{i,n}(\alpha x_n + \beta y_n)=\\ \qquad &=\alpha (a_{i,1}x_1+a_{i,2}x_2 +\cdots + a_{i,n} x_n)+ \beta (a_{i,1}y_1+a_{i,2}y_2 +\cdots + a_{i,n} y_n)\\ \qquad & = 0. \end{aligned}\]

L’ultima identità segue dal fatto che (x_1,x_2,\cdots,x_n) e (y_1,y_2,\cdots,y_n) sono soluzioni di \Sigma.


 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Quali dei seguenti sottoinsiemi di M_2(\mathbb{R}) sono anche sottospazi vettoriali? Motivare la risposta.

  1. V_1=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}) \colon c=0\right\};

  2. V_2=\{A \in M_2(\mathbb{R}) \colon A^{T} = A\};
  3. V_3=\{A \in M_2(\mathbb{R}) \colon A^2 = A\};


  4. V_4=\left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R}) \colon a+c=b+d\right\}.

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