Esercizi sugli spazi vettoriali 6 — basi e dimensione

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In questa raccolta presentiamo ulteriori 3 esercizi svolti sul calcolo delle basi e delle dimensioni negli spazi vettoriali, per completare il percorso iniziato con gli articoli Esercizi svolti su basi e dimensioni e Esercizi svolti su sottospazi e basi.

Di ciascun esercizio, come di consueto, è fornita una soluzione completa: buona lettura!

basi spazi vettoriali: sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti su spazi vettoriali (basi e dimensioni). I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

basi spazi vettoriali: autori e revisori

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Autore: Jacopo Garofali

Revisore: Valerio Brunetti

Notazioni su basi e dimensioni di spazi vettoriali

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$A=\mathcal{P}_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'}=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$

$\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)\subseteq V$

$\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$

$\mathcal{M}(n,m;\mathbb{R})$

$\mathbb{K}[x]$

$\mathbb{K}_{\leq n}[x]$

matrice $A$ di cambiamento di base da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ o matrice di cambio di coordinate da $\mathcal{B}'$ a $\mathcal{B}$ );

sottospazio vettoriale di $V$ generato dai vettori $v_1,\dots,v_n$ ;

spazio vettoriale delle matrici di ordine $n$ a coefficienti nel campo $\mathbb{K}$ ;

insieme delle matrici con $n$ righe e $m$ colonne a coefficienti reali;

anello dei polinomi a coefficienti in $\mathbb{K}$ nella variabile $x$ ;

anello dei polinomi a coefficienti in $\mathbb{K}$ nella variabile $x$ di grado minore o uguale ad $n$ ;

Premessa teorica su basi e dimensione degli spazi vettoriali

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Date $\mathcal{B}=\{v_1,\dots,v_n\}$ e $\mathcal{B}'=\{v_1',\dots,v_n'\}$ due basi di uno spazio vettoriale $V$ , chiamiamo matrice del cambiamento di base da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ la matrice $A=(a_{ij})_{i=1,\dots,n}^{j=1,\dots,n}$ tale che $v_j'=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}v_i$ (dove $i$ è l’indice di riga e $j$ l’indice di colonna). Sia $v \in V$ e denotiamo rispettivamente con $x=[v]_{\mathcal{B}}$ e $x'=[ v]_{\mathcal{B}'}$ le coordinate rispetto $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$ . Il relativo cambiamento di coordinate è dato da $x=Ax'$ . La matrice $A$ di cambiamento di base da $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}'$ (detta anche matrice di passaggio di coordinate da $\mathcal{B}'$ a $\mathcal{B}$ ) si denota con

$A=\mathcal{P}_{\mathcal{B} \leftarrow \mathcal{B}'} \quad \mbox{ oppure } A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}.$

Testi degli esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Si considerino i seguenti vettori di $\mathbb{R}^3$

$\begin{equation*} \begin{aligned} & v_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right), \quad v_2= \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right),\quad v_3=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), &\\ & w_1= \left(\begin{array}{c} -1 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\quad w_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right),\quad w_3=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right).& \end{aligned} \end{equation*}$

Dimostrare che $\mathcal{B}_1=\{v_1,v_2,v_3\}$ e $\mathcal{B}_2=\{w_1,w_2,w_3\}$ sono basi;
Calcolare la matrice $\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}$ ;
Determinare le coordinate rispetto a $\mathcal{B}_1$ di $w=3w_1-5w_3$ .

Svolgimento punto 1.

Sia $B_i$ la matrice avente come colonne i vettori della base $\mathcal{B}_i$ per $i=1,2$ . Abbiamo che $\mathcal{B}_i$ è una base se e solo se $\det(B_i)\neq 0$ , cosa che si verifica facilmente.

Svolgimento punto 2.

La matrice $\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}$ ha come colonna $j$ -esima il vettore delle coordinate di $w_j$ rispetto la base $\mathcal{B}_1$ , ovvero detto $x_j$ tale vettore, esso soddisfa $B_1x_j=w_j$ . Ma questo scritto in forma compatta diventa la seguente identità tra matrici: $B_1\,\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}=B_2$ , cosa che si verifica anche ossservando che $B_i$ è la matrice del cambiamento di base dalla base standard alla base $\mathcal{B}_i$ e che, date $\mathcal{B}_i$ , $i=1,2,3$ , tre basi qualsiasi, vale la formula

$\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}\mathcal{M}_{\mathcal{B}_2}^{\mathcal{B}_3}= \mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_3}$

Dunque $\mathcal{M}_{\mathcal{B}_1}^{\mathcal{B}_2}=B_1^{-1}B_2=\begin{pmatrix} -1 & -5 & -3 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ .

Notiamo che avremmo potuto fare direttamente il punto $2)$ , ovvero si poteva tentare di calcolare la matrice del cambiamento e, nel caso si avesse avuto successo, sarebbe bastato controllare che tale matrice è non singolare. In altre parole, basta tentare, tramite un’eliminazione di Gauss sulla matrice $3\times 6$ data da $[B\,B']$ , di arrivare alla fine ad ottenere la matrice della forma $[1 X]$ con $\det(X)\neq 0$ . In questo caso abbiamo concluso: $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$ sono basi e $\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}=B^{-1}B'=X$ . Questo si dimostra essenzialmente tramite la definizione di Algoritmo di Gauss e il Teorema di Binet.

Svolgimento punto 3.

$[w]_{\mathcal{B}_1}=(12,5,-15)$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia $V= \mathbb{R}_{\leq 2}[t]$ lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali. Si considerino i seguenti polinomi in $V$ :

$\begin{gathered} p_1(t)= t^2+t, \qquad p_2(t)=2t^2+3t+1, \qquad p_3(t)=-t^2+2, \\ q_1(t)= -t^2, \qquad q_2(t)=-2t^2-t-2, \qquad q_3(t)=t^2+t. \end{gathered}$

Dimostrare che $\mathcal{B}=\{p_1,p_2,p_3\}$ e $\mathcal{B}'=\{q_1,q_2,q_3\}$ sono basi di $\mathbb{R}_{\leq 2}[t]$ ;

Determinare la matrice $\mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ ;

Determinare le coordinate rispetto a $\mathcal{B}$ di
$p(t)=q_3(t)-2q_1(t)$ ;

Determinare le coordinate rispetto a $\mathcal{B}'$ di $f(t)=t^2+1$ ;

Siano $U=\mathcal{L}\{ p_1,q_1 \}$ e $W=\{ p(t) \in \mathbb{R}_{\leq 2}[t] : p(1)+p(-1)=0\}$ . Determinare la dimensione ed esibire una base di $U,W,U\cap W$ . Verificare infine che $V=U+W$ .

Svolgimento punto 1.

Per verificare il punto $1)$ si può procedere, ad esempio, con l’algoritmo di Gauss sulla matrice ottenuta mettendo in colonna le coordinate dei vettori rispetto ad una base data (scegliamo ovviamente la base $\mathcal{E}:=\{1,x,x^2\}$ ): se il rango è massimale allora è una base. Questo calcolo si può evitare facendo direttamente il punto $2)$ e ragionando come segue;

Svolgimento punto 2.

La matrice $X$ del cambiamento di base (se esiste) è la matrice non degenere che soddisfa $BX=B'$ con $B$ e $B'$ le matrici ottenute mettendo in colonna le coordinate rispetto la base $\{1,x,x^2\}$ dei vettori che formano, rispettivamente, le basi $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B}'$ . In altre parole, tramite eliminazione di Gauss $[B\,B'] \curvearrowright [\mathbbm{1}\,X]$

Si calcola che nel nostro caso

$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \;\; B'=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \;\; X=\begin{pmatrix} -6 &-13 & 1 \\ 2 & 4 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

e che $\det(X)=-2\neq 0$ ;

Svolgimento punto 3.

Si ha $[p(t)]_{\mathcal{B}}= \mathcal{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}[p(t)]_{\mathcal{B}'}$ ed essendo $[p(t)]_{\mathcal{B}'}=(-2,0,1)$ , troviamo $[p(t)]_{\mathcal{B}}=(13,-4,2)$ ;

Svolgimento punto 4.

Basta risolvere il sistema lineare $B'x=c$ , con $c=[f(t)]_{\{ 1,x,x^2 \}}=(1,0,1)$ . In alternativa, si può osservare che $q_1(t)+q_2(t)+q_3(t)=-2t^2-2=-2f(t)$ , dunque $[f(t)]_{\mathcal{B}'}=(-1/2,-1/2,-1/2)$ ;

Svolgimento punto 5.

Una base di $U$ è $\{ t,t^2 \}$ e la dimensione è 2. Una base di $W$ si trova imponendo la condizione $p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2\in W$ . Troviamo quindi che $a_1,a_2$ sono variabile libere e $a_0=-a_2$ . Concludiamo che $W$ ha dimensione 2 e una base è $\{ t, 1-t^2 \}$ . Inoltre, $U\cap W=\mathcal{L}(t)$ e la sua dimensione è 1. Infine, dalla formula di Grassmann otteniamo che $\dim_{\mathbb{R}}(U+W)=2+2-1=3=\dim_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}_{\leq 2}[t])$ e quindi $V=U+W$ .

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia $V=\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ lo spazio vettoriale delle matrici a coefficienti reali $2\times 2$ . Consideriamo i seguenti vettori di $V$ :

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \; B=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}, \; C=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \; D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Calcolare la dimensione e una base di $Z=\mathcal{L}\{A,B,C,D\}$ ;

Siano $U=\mathcal{L}\{A,B\}$ e $W=\mathcal{L}\{C,D\}$ , calcolare una base di $U\cap W$ ;

Se possibile, scrivere $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ come combinazione lineare di $A,B,C,D$ .

Siano ora
$C'=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \; D'=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.$

Verificare che $\mathcal{B}=\{ A,B,C',D' \}$ è una base e determinare le coordinate di $E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ nella base $\mathcal{B}$ .

Premessa per gli svolgimenti seguenti.

Notiamo che le coordinate di $A,B,C,D$ rispetto alla base standard di $V$ data da

$E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, E_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, E_3= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, E_4= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

sono, rispettivamente, $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ .

Svolgimento punto 1.

La dimensione cercata è il rango della matrice che ha come righe (o come colonne) i vettori coordinati.

$\begin{align*} M= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 3 & 1 \\ 2 & 1& 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 &0 \end{array}\right) \begin{array}{c} \\ R_2 \to R_2-4R_1 \\ R_3 \to R_3-2R_1\\ R_4 \to R_4-R_1 \end{array} \\\\ M'= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -1 & -3 \\ 0 & -3& -1 & -3 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{array}\right) \begin{array}{c} \\ \\ R_3 \to R_3- R_2 \\ R_4 \to -3R_4+R_2 \end{array} \\\\ M''= & \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -1 & -3 \\ 0 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \end{align*}$

Dunque $\dim(Z)=3$ . Osserviamo che (siccome non sono stati effettuati scambi) le prime due righe sono indipendenti i.e. $A$ e $B$ sono indipendenti), mentre poichè la terza riga è zero, $C$ è dipendente da $A, B$ e infine $D$ è indipendente da $A,B$ . Dunque il vettore $C$ è superfluo e una base è data da $\{A,B,D\}$ .

Svolgimento punto 2.

Dal punto precedente sappiamo che $\dim(U)=\dim(W)=2$ (basta notare che non sono uno multiplo dell’altro) e che $\dim(U+W)=3$ . Dunque dalla formula di Grassman $\dim(U\cap W)=1$ . Sempre dal punto precedente sappiamo che $C\in U$ , concludiamo dunque che $U\cap W= \mathcal{L}\{C\}$ .

Svolgimento punto 3.

Sia $M$ la matrice del punto $i)$ . Poichè il vettore delle coordinate di $E$ nella base scelta è $e=(1,-1,0,-1)^T$ , quello che dobbiamo fare è risolvere il sistema lineare nell’ incognita $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T$ dato da $M^T x=e$ . Poichè però $C$ è superfluo, potremmo eliminare la terza colonna e ridurre la dimensione del problema, ovvero studiare il seguente sistema (non omogeneo) di 4 equazioni in 3 incognite:

$\begin{cases} x+4y+z=1 \\ 2x+5y+z=-1 \\ x+3y=0 \\ x+y=-2 \end{cases}$

Si trova un’unica soluzione $(x,y,z)=(-3,1,0)$ che quindi ci dice che

$E=-3A+B$ .

Svolgimento punto 4.

Ragionando come al punto precedente basta dimostrare che

$[E_1]_{\mathcal{B}}=(-8/3,4/3,1/3,-1)$

è l’unica soluzione del sistema che ha per matrice dei coefficienti la matrice $\mathcal{M}^{\mathcal{B}}_{\mathcal{E}}$ ottenuta mettendo in colonna le coordinate dei vettori della base $\mathcal{B}$ rispetto la base $\mathcal{E}=\{ E_1,E_2,E_3,E_4 \}$ , e come termine noto il vettore $(1,0,0,0)$ .

Scarica gli esercizi svolti

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