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Esercizi sugli spazi vettoriali 5 — basi e dimensione

Spazi vettoriali

Home » Esercizi sugli spazi vettoriali 5 — basi e dimensione

In questo articolo presentiamo 7 esercizi sul calcolo delle basi e della dimensione di spazi vettoriali. La raccolta è il proseguimento naturale di Esercizi sugli spazi vettoriali 4 – basi e dimensione e si prefigge lo scopo di completare e rafforzare la preparazione del lettore su questo importante argomento. A tal fine, segnaliamo anche l’ulteriore risorsa Esercizi sugli spazi vettoriali 6, su basi e dimensione.

Di ogni esercizio è presentata una soluzione completa che il lettore può confrontare con quella autonomamente trovata, analizzando similitudini e differenze. Speriamo che questo articolo sia di aiuto per chi desidera approfondire la sua preparazione su basi e dimensione negli spazi vettoriali, augurando una piacevole lettura.

 

Autori e revisori

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Autore: Jacopo Garofali

Revisori: Valerio Brunetti


 

Notazioni su basi e dimensioni degli spazi vettoriali

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\operatorname{rk} rango di una matrice;
\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)\subseteq V sottospazio vettoriale di V generato dai vettori v_1,\dots,v_n;
\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) spazio vettoriale delle matrici di ordine n a coefficienti nel campo \mathbb{K};
\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) insieme delle matrici con m righe e n colonne a coefficienti reali;

 

Testi degli esercizi su basi e dimensione negli spazi vettoriali

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Dato V=\mathbb{R}^3, consideriamo i sottospazi

\[U=\mathcal{L}\left\{ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) \right\}\]

e W=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x+y+z=0\}.

Determinare la dimensione e una base per ognuno dei seguenti sottospazi: U, W, U\cap W.
Verificare che V=U+W.

Calcolo base e dimensione di U.

Sappiamo che v_1=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), v_2=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), v_3=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) sono un insieme di generatori per U.

Essi sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice che ha per colonne (o righe) i v_i ha rango 3 (=numero di vettori). Si può applicare l’algoritmo di Gauss per rendersi conto che il rango è 2 e che il vettore v_3 è superfluo. Concludiamo che U ha dimensione 2 e una base è data da \{v_1,v_2\}.

Calcolo base e dimensione W.

La dimensione di W è ovviamente 2 (poichè abbiamo una sola equazione non nulla il rango è 1).

Risolvendo il sistema rispetto a x troviamo che

W=\left\{(-y-z,y,z): y,z\in\mathbb{R} \right\}= \mathcal{L}\left\{\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \right\}.

Concludiamo che una base di W è data da \{(-1,1,0), (-1,0,1)\}.

Per calcolare una base di U\cap W abbiamo almeno due metodi

Calcolo base e dimensione U∩W (metodo 1).

Trovare le equazioni cartesiane di U, ad esempio imponendo che

\[\operatorname{rk}\begin{pmatrix} 1 & 0 & x \\ 2 & 2 & y \\ 0 & 1 & z \end{pmatrix}=2.\]

Oppure, equivalentemente, eliminare i parametri t,s dall’equazione vettoriale

\[t \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2\\ 0 \end{array}\right)+ s \left(\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right)\]

Troviamo dunque l’equazione 2x-y+2z=0. Una base di U\cap W si trova dunque risolvendo il sistema lineare

\[\begin{cases} 2x-y+2z=0\\ x+y+z=0 \end{cases}\]

Tale sistema ammette \infty ^1 soluzioni, generate dal vettore (1,0,-1)^T, che costituisce dunque una base di U\cap W.

Calcolo base e dimensione U∩W (metodo 2).

Scrivere U come \{ (t, 2(t+s),s): t,s\in \mathbb{R} \} e sostituire nell’equazione cartesiana di W. Troviamo l’equazione

\[t+2(t+s)+s=0,\]

ovvero t+s=0, che dà come spazio delle soluzioni \mathcal{L}\{ (1,0-1) \}.

Verifica V= U+V.

Per calcolare la dimensione di U+W possiamo notare che il primo vettore della base di W data sopra è linearmente indipendente da v_1,v_2. In alternativa, dalla formula di Grassman otteniamo \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=2+2-1=3, dunque si ha effettivamente U+W=\mathbb{R}^3.

 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 &-3 \\ 1 & 6 & 3 \end{pmatrix} e K=\{ v \in \mathbb{R}^3: Av=0 \}.
Determinare una base di K e una base di V \cap K, dove

\[V=\mathcal{L}\{3e_1-e_2-e_3, e_2 \}.\]

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