Esercizi sugli spazi vettoriali 3 — Sottospazi vettoriali

Home » Esercizi sugli spazi vettoriali 3 — Sottospazi vettoriali

In questa dispensa presentiamo 10 esercizi sui sottospazi vettoriali, selezionati per offrire una panoramica completa su questo importante concetto dell’algebra lineare. Riportiamo le soluzioni complete di tutti gli esercizi proposti, corredate di interessanti spunti di riflessione.
La raccolta si configura quindi come un valido supporto allo studio dei sottospazi vettoriali: auguriamo a tutti una lettura proficua!
Segnaliamo inoltre la dispensa Esercizi svolti sugli spazi vettoriali 4, relativi a basi e dimensione.

Sommario

Leggi...

I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Matteo Talluri, Daniele Fakhoury

Revisori: Chiara Bellotti, Jacopo Garofali.

Notazioni relative a spazi e sottospazi vettoriali

Leggi...

$\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$	Spazio vettoriale delle matrici $3 \times 3$ con elementi reali.
$\mathbb{R}[x]$	Spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali.
$0 = \mathbf{0} \in \mathbb{R}[x]$	Polinomio nullo.
$\mathbb{R}_{\leq a}[x]$	Spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale ad $a$ .
$\mathcal{L}(v_1, \dots, v_k)$	Sottospazio vettoriale generato dai vettori $v_1, \dots, v_k$ , chiamato anche $\operatorname{span}(v_1, \dots, v_k)$ .

Testi degli esercizi sugli spazi vettoriali (sottospazi vettoriali)

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di $\mathbb{R}^2$ sono sottospazi vettoriali.

$A =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y = 0 \}$ ;

$B =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x-y = 0 \}$ ;

$C =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 2x-y = 3 \}$ ;

$D =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 2x-y = x+3y = 0 \}$ ;

$E =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; xy = 0 \}$ ;

$F =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x \geq 0, \; y\geq 0 \}$ ;

$G =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x + y\geq 0 \}$ ;

$H =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x y\geq 0 \}$ ;

$I =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x + e^y = 0 \}$ ;

$M =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2\geq 0 \}$ ;

$N=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2+ y^2 > 0 \}$ .

Premessa teorica.

Per prima cosa ricordiamo che se $V$ è uno spazio vettoriale, come lo è ad esempio $\mathbb{R}^2$ , un suo sottoinsieme è un sottospazio vettoriale se soddisfa le seguenti proprietà:

il vettore nullo $\textbf{0} \in W$ ;
presi arbitrariamente $v,w \in W$ allora la loro somma $v+w \in W$ ;
presi arbitrariamente uno scalare $\lambda \in \mathbb{R}$ e $v \in W$ allora $\lambda v \in W$ .

Risultato sintetico.

Sono sottospazi solo i sottoinsiemi $A, B$ e $D.$ Vediamo perché.

Verifica per A.

$A =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y = 0 \}$ è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$ infatti sodisfa tutte le proprietà:

il vettore nullo $\textbf{0} = (0,0)\in A$ perchè soddisfa la proprietà di avere la seconda componente nulla.
presi arbitrariamente $v,w \in A$ allora la loro somma $v+w \in A$ . Infatti la somma di due vettori con la seconda componente nulla avrà la seconda componente nulla.
Più precisamente, i vettori in $A$ hanno la generica forma $(x, 0)$ ; Presi quindi $v_1 =(x_1, 0)$ e $v_2 =(x_2,0)$ avremo che $v_1+v_2 = (x_1, 0) + (x_2, 0) = (x_1+x_2, 0)$ che appartiene ad $A$
presi arbitrariamente uno scalare $\lambda \in \mathbb{R}$ e $v = (x,0) \in W$ allora $\lambda v = (\lambda x, 0)$ che è ancora un elemento di $A$ perchè ha la seconda componente nulla.

Verifica per B.

$B =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x-y = 0 \}$ è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$ , infatti soddisfa tutte le proprietà:

il vettore nullo $\textbf{0} = (0,0)\in B$ perchè la differenza $x-y$ delle componenti è nulla.
presi arbitrariamente $v,w \in B$ , allora la loro somma $v+w \in B$ . Infatti, i vettori in $B$ hanno la generica forma $(x, y)$ dove $x-y = 0$ . Presi $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2) \in B$ sappiamo che $(x_1 - y_1) = (x_2 - y_2) = 0$ . Consideriamo la somma $(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ . Vediamo se questo vettore soddisfa la proprietà di avere la differenza delle sue componenti $x-y = 0$ . Abbiamo che
$x_1 + x_2 - (y_1 + y_2) = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) = 0 + 0 = 0;$
presi arbitrariamente uno scalare $\lambda \in \mathbb{R}$ e $v = (x,y) \in B$ , segue che $\lambda v = (\lambda x, \lambda x )$ è ancora un elemento di $B$ in quanto

$\lambda x - \lambda y = \lambda (x-y) = \lambda 0 = 0 .$

Verifica per C.

$C =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 2x-y = 3 \}$ ; questo non è un sottospazio vettoriale perchè ad esempio non soddisfa la prima condizione [premessa teorica]. Infatti il vettore nullo $\textbf{0} = (0,0) \in \mathbb{R}^2$ non soddisfa la proprietà $2x - y = 3$ in quanto $2\cdot0 - 0 = 0 \neq 3$ .

Verifica per D.

$D =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 2x-y = x+3y = 0 \}$ è un sottospazio vettoriale. Per verificarlo potremmo verificare ancora le proprietà che definiscono un sottospazio vettoriale come nel punto $A$ e $B$ . Tuttavia, vediamo una soluzione alternativa. Possiamo osservare, risolvendo il sistema

$\begin{cases} 2x - y = 0\\ x + 3y = 0 \end{cases}$

che l’unica soluzione che soddisfa entrambe le condizioni è il vettore $(0,0)$ ; in altri termini $D =\{ (0,0) \}$ che è chiaramente un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^2$ .

Osservazione 1.

In generale si può dimostrare che i sottospazi vettoriali di $\mathbb{R}^n$ sono tutti e solo i gli insiemi costituiti dalle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari come negli esempi A,B e D. Cioè soluzioni di sistemi delle forma

$\begin{cases} a_{1,1} x_1 + a_{1,2} x_2 + \cdots + a_{1,n} x_n= 0\\ \cdots\\ a_{k,1} x_1 + a_{k,2} x_2 + \cdots + a_{k,n} x_n= 0\\ \end{cases}.$

Verifica per E.

$E =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; xy = 0 \}$ non è un sottospazio vettoriale perchè, ad esempio, presi i due vettori di $E, \; (1,0)$ e $(0,1)$ , la loro somma, che è il vettore $(1,1)$ , ha prodotto delle componenti che vale $1$ e non zero e quindi non appartiene ad $E$ .

Verifica per F.

$F =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x \geq 0, \; y\geq 0 \}$ non è un sottospazio vettoriale perchè il vettore $v = (1,1)$ appartiene ad $F$ ma, considerando $\lambda = -1$ , il vettore $\lambda v = -1 (1,1) = (-1,-1)$ non appartiene a $F$ perchè non soddisfa la proprietà di avere entrambe le componenti positive.

Verifica per G.

$G =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x + y\geq 0 \}$ non è un sottospazio vettoriale perchè il vettore $v = (1,1)$ appartiene a $G$ ma, considerando $\lambda = -1$ , il vettore $\lambda v = -1 (1,1) = (-1,-1)$ non appartiene a $F$ perchè $(-1) + (-1)= -2$ e quindi non soddisfa la proprietà di avere la somma delle componenti positiva.

Verifica per H.

$H =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x y\geq 0 \}$ non è un sottospazio vettoriale perchè $(1,0)$ e $(0, -1) \in H$ ma,

$(1,0) + (0, -1) = (1,-1) \not\in H$

perchè il prodotto delle componenti è negativo.

Verifica per I.

$I =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x + e^y = 0 \}$ non è un sottospazio vettoriale perchè ad esempio non soddisfa la prima condizione [premessa teorica]: il vettore nullo $(0,0) \in \mathbb{R}^2$ non appartiene ad $I$ .

Verifica per M.

$M =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2 > 0 \}$ non è un sottospazio vettoriale perchè ad esempio non soddisfa la prima condizione: il vettore nullo $(0,0) \in \mathbb{R}^2$ non appartiene ad $M$ . Se fosse stato $M =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2 \geq 0 \}$ allora $M =\mathbb{R}^2$ infatti ogni vettore in $\mathbb{R}^2$ soddisfa la proprietà che il quadrato della sua componente $x$ è non negativo. In questo caso $M$ sarebbe stato un sottospazio vettoriale.

Verifica per N.

$N=\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2+ y^2 > 0 \}$ non è un sottospazio vettoriale perchè ad esempio non soddisfa la prima condizione [premessa teorica]: il vettore nullo $(0,0) \in \mathbb{R}^2$ non appartiene ad $N$ . Osserviamo che $N=\mathbb{R}^2\setminus \{ (0,0) \}$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia $W \subseteq \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ l’insieme delle matrici $3\times3$ con somma degli elementi sulla diagonale, la traccia, nulla. Dimostrare che $W$ è un sottospazio vettoriale di $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ .

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi

Menu

Chiudi

Esercizi sugli spazi vettoriali 3 — Sottospazi vettoriali

Sommario

Leggi...

Autori e revisori

Leggi...

Notazioni relative a spazi e sottospazi vettoriali

Leggi...

Testi degli esercizi sugli spazi vettoriali (sottospazi vettoriali)

Premessa teorica.

Risultato sintetico.

Verifica per A.

Verifica per B.

Verifica per C.

Verifica per D.

Osservazione 1.

Verifica per E.

Verifica per F.

Verifica per G.

Verifica per H.

Verifica per I.

Verifica per M.

Verifica per N.

Questa parte è riservata agli abbonati

Suggerimenti, refusi ed errori

Cosa dicono di noi

Esercizi sugli spazi vettoriali 3 — Sottospazi vettoriali

Sommario

Leggi...

Autori e revisori

Leggi...

Notazioni relative a spazi e sottospazi vettoriali

Leggi...

Testi degli esercizi sugli spazi vettoriali (sottospazi vettoriali)

Premessa teorica.

Risultato sintetico.

Verifica per A.

Verifica per B.

Verifica per C.

Verifica per D.

Osservazione 1.

Verifica per E.

Verifica per F.

Verifica per G.

Verifica per H.

Verifica per I.

Verifica per M.

Verifica per N.

Questa parte è riservata agli abbonati 🔒

Questa parte è riservata agli abbonati