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Esercizi sugli spazi vettoriali 4 — basi e dimensione

Spazi vettoriali

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In questa raccolta presentiamo 27 esercizi sul calcolo delle basi e della dimensione di spazi vettoriali.
I problemi sono accuratamente selezionati allo scopo di approfondire ogni aspetto di questo importante tema; essi sono completamente risolti, permettendo al lettore di confrontare la soluzione trovata con quella da noi proposta. Forniamo inoltre alcuni spunti di riflessione riguardanti curiosità, generalizzazioni e osservazioni utili.

Questo lavoro si rivolge dunque a studenti e appassionati di algebra lineare che desiderano fare pratica su questo argomento. Segnaliamo inoltre le raccolte Esercizi svolti sugli spazi vettoriali 5 e Esercizi svolti sugli spazi vettoriali 6 su basi e sottospazi.

base di uno spazio vettoriale di dimensione 3

 

Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti su spazi vettoriali (basi e dimensioni). I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola.

 

Autori e revisori

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  Autore: Davide La Manna

Revisori: Jacopo Garofali.


 

Notazioni su basi e dimensioni degli spazi vettoriali

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\mathcal{L}(v_1,\dots,v_n)\subseteq V

\mathcal{M}_n(\mathbb{K})

\mathbb{K}[X]

\mathbb{K}_{\leq n}[X]

\operatorname{Sym}_n(\mathbb{K})

\operatorname{\operatorname{ASym}}_n(\mathbb{K})

\operatorname{Diag}_n(\mathbb{K})

Sottospazio vettoriale di V generato dai vettori v_1,\dots,v_n;

Sazio vettoriale delle matrici di ordine n a coefficienti nel campo \mathbb{K};

Anello dei polinomi a coefficienti in \mathbb{K} nella variabile x;

Anello dei polinomi a coefficienti in \mathbb{K} nella variabile x di grado minore o uguale ad n;

Spazio vettoriale delle matrici simmetriche di ordine n sul campo \mathbb{K};

Spazio vettoriale delle matrici asimmetriche di ordine n sul campo \mathbb{K};

Spazio vettoriale delle matrici diagonali di ordine n sul campo \mathbb{K}.

 


 

Testi degli esercizi su basi e dimensione degli spazi vettoriali

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sono dati i vettori v_1 = (1, 0, 0), v_2 = (2, 1,-1) e v_3 = (1, 2, 3) di \mathbb{R}^3.Dimostrare che v_1, v_2 e v_3 costituiscono una base di \mathbb{R}^3.

Svolgimento.

Poiché \mathbb{R}^3 ha dimensione 3, i vettori presi in considerazione, in numero uguale alla dimensione dello spazio, costituiranno una base se e solo se generano tutto lo spazio. Questo avviene se e solo se la matrice

\[A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\]

ha rango massimo o, equivalentemente (essendo una matrice quadrata), è invertibile. Sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero, calcoliamo quindi \det(A).

Per la regola di Laplace sulla prima riga della matrice

\[\det(A)=1\cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2 & 3 \end{pmatrix} =1\cdot 3-(-1)\cdot 2=5\neq 0.\]

Abbiamo dunque dimostrato che la matrice A è invertibile e di conseguenza i 3 vettori formano una base di \mathbb{R}^3.


 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare una base del sottospazio vettoriale U \subseteq \mathbb{R}^3, dove

\[U = \mathcal{L}\big((1,-3,-2),\;(0,-1,-1),\;(0, 2, 2),\;(0, 0, 0),\;(-1, 2, 1)\big).\]

Svolgimento.

U è generato da 5 vettori (che chiameremo v_i con i\in \{1\dots,5\}), quindi siamo certi che non possono rappresentare una base di \mathbb{R}^3, essendo 5>3 e quindi non possono essere lineramente indipendenti. Il metodo standard per risolvere questo tipo di problema consiste nell’applicare il metodo di riduzione a scala di Gauss-Jordan alla matrice

\[M= (v_1 \;v_2\;v_3\;v_4\; v_5),\]

il quale restituisce un sottoinsieme linearmente indipendente di generatori U, ovvero una base.

In alternativa, possiamo osservare che:

  • v_4 è superfluo, perché rimuovendo il vettore nullo, i rimanenti vettori costituiscono un sistema di generatori di U;
  • anche v_5 è superfluo, infatti

    \[v_5=-v_1+v_2;\]

  • anche v_3 può essere rimosso; vale infatti

    \[v_3=-2v_2.\]

Rimane da mostrare che v_1 e v_2 sono linearmente indipendenti. Ciò implica che il sistema \{v_1,v_2\} è una base di U, in quanto, per i tre punti precedenti, essi generano U. Ma v_1 e v_2 sono necessariamente indipendenti poiché la prima componente di v_1 e non nulla mentre la prima componente di v_2 è nulla.

Una base per U sarà dunque \mathcal{B}=\{(1,-3,-2),\;(0,-1,-1)\}.


 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia E = \mathcal{L}((1, 1, 0, 1), (2, 0, 1, 1)) \subset \mathbb{R}^4. Per quali valori di k si ha che (1, k, 2,-1) \in E?

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