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Esercizi sistemi lineari — Metodo di Gauss

Sistemi lineari

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In questo articolo troverete 9 esercizi dettagliatamente risolti sui sistemi lineari utilizzando il metodo di Gauss. Questi esercizi, svolti con cura e precisione, sono pensati per un corso di algebra lineare, rivolto alle facoltà di ingegneria, fisica e matematica.

Sono inoltre presenti dei richiami teorici, al fine di facilitare la comprensione dei contenuti proposti. Vi auguriamo una buona lettura!

Oltre all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, consigliamo la lettura delle seguenti raccolte di esercizi:

 

Sistemi lineari: sommario

 

Mostra sommario.

In questa dispensa vengono proposti esercizi sui sistemi lineari risolti utilizzando il metodo di Gauss. I testi degli esercizi (1) e (2) sono tratti dal libro “Manuale blu di matematica – Volume 4″ [1]. I testi dell’esercizio (3) sono tratti dal materiale didattico del “Maths Learning Centre” dell’Università di Adelaide [2].

 

Sistemi lineari: autori e revisori

Mostra autori e revisori.

Autore: Sara Sottile

Revisori: Luigi De Masi, Matteo Talluri


 

Sistemi lineari: notazioni

Mostra notazioni.

x_i Incognite del sistema lineare
n Numero delle incognite del sistema lineare
k_i Parametri del sistema lineare
A Matrice dei coefficienti del sistema lineare
b Vettore colonna dei termini noti del sistema lineare
(A|b) Matrice completa del sistema lineare, cioè la matrice A a cui affianchiamo il vettore colonna b
R_i Riga di una matrice
rk Rango di una matrice

 

Sistemi lineari: richiami di teoria

Mostra richiami di teoria.

In questa sezione verranno richiamati brevemente alcuni concetti di teoria utili per la risoluzione degli esercizi. Per una trattazione più completa si rimanda a [3, 4].

Definizione 1.  Consideriamo un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Una soluzione del sistema è un elemento (x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n che è soluzione simultanea delle m equazioni.

 

Definizione 2.  Consideriamo un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Il sistema si dice compatibile se possiede almeno una soluzione. Viceversa, si dice incompatibile se non ammette soluzioni.

 

Teorema 1 (Rouché-Capelli).  Consideriamo un sistema lineare di m equazioni in n incognite e denotiamo con A la matrice dei coefficienti delle incognite x_1, \dots, x_n e b il vettore dei termini noti. Il sistema lineare è compatibile se e solo se \text{rk}(A) = \text{rk}(A|b) = r. In tal caso, lo spazio affine delle soluzioni del sistema avrà dimensione n-r.

Spesso la matrice (A|b) si presenta in una forma complicata per cui è difficile stabilirne a priori il suo rango. In questo caso, ci vengono in aiuto il concetto di sistema equivalente e il metodo di eliminazione di Gauss.

Definizione 3. Due sistemi di equazioni lineari nelle stesse incognite x_1, \dots, x_n si dicono equivalenti se possiedono le stesse soluzioni.

  Osservazione 1.  Due sistemi equivalenti non possiedono necessariamente lo stesso numero di equazioni.

Il metodo (o algoritmo) di eliminazione di Gauss consiste nel sostituire il sistema assegnato con un sistema ad esso equivalente, per il quale è più facile il calcolo del rango ed in generale la risoluzione del sistema stesso. Tale sostituzione avviene mediante passaggi successivi, detti operazioni elementari sulle equazioni del sistema:

  • scambiare tra loro due equazioni del sistema;
  • moltiplicare un’equazione per uno scalare non nullo;
  • sostituire un’equazione con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di un’altra equazione.

Tali operazioni sulle equazioni del sistema corrispondono ad altrettante operazioni sulle righe della matrice completa. Le corrispondenti operazioni elementari sulle righe di una matrice sono:

  • scambiare tra loro due righe di una matrice;
  • moltiplicare una riga della matrice per uno scalare non nullo;
  • sostituire una riga della matrice con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di un’altra riga.

Tali operazioni possono essere effettuate anche sulle colonne di una matrice. Nella pratica, è preferibile operare sulla matrice completa del sistema piuttosto che sulle equazioni stesse. L’obiettivo è quello di ottenere una matrice a gradini.


 

Testi degli esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi lineari omogenei a coefficienti reali con il metodo di Gauss:

\begin{align*} & 1)\;\begin{cases} 2x_1 - 3x_2 = 0 \\ -6 x_1 + 9x_2=0 \\ \end{cases} & & 2)\;\begin{cases} x_1 - x_2 + 3x_3 = 0 \\ x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 = 0 \end{cases} \\ & 3)\;\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ -2x_1 + 2x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 0 \\ 3x_1 - 3x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 0\\ 4x_1 - 4x_2 + 4x_3 + 4x_4 = 0 \end{cases} \end{align*}

Svolgimento sistema 1.

Consideriamo il sistema lineare omogeneo

(1) \begin{equation*} \left\{\arraycolsep=1.2pt\def\arraystretch{1.8}\begin{array}{l} 2x_1 - 3x_2 = 0 \\ -6 x_1 + 9x_2= 0 \\ \end{array}\right.. \end{equation*}

Definiamo le matrici

\begin{equation*} A= \left(\begin{matrix} 2 & -3 \\[10pt] -6 & 9 \end{matrix}\right) \quad \text{e} \quad b = \left(\begin{matrix} 0 \\[10pt] 0 \end{matrix}\right) \end{equation*}

ed applichiamo il metodo di riduzione di Gauss alla matrice completa (A|b) nel modo seguente:

\begin{equation*} \begin{aligned} \left(\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & 0 \\[10pt] -6 & 9 & 0 \\ \end{array}\right) & \stackrel{\begin{array}{l} R_2\leftrightarrow R_2 + 2R_1 \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{cc|c} 2 & -3 & 0 \\[10pt] 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Poiché il numero delle incognite è n=2 e \text{rk}(A) = 1, allora lo spazio affine delle soluzioni ha dimensione 1. Dunque le soluzioni del sistema (1) sono della forma

\[\boxcolorato{geometria}{(x_1,x_2)=\left(\dfrac{3}{2}t,t\right), \quad \forall t \in \mathbb{R}}\]


Svolgimento sistema 2.

Consideriamo il sistema lineare omogeneo

(2) \begin{equation*} \left\{\arraycolsep=1.2pt\def\arraystretch{1.8}\begin{array}{l} x_1 - x_2 + 3x_3 = 0 \\ x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 = 0 \end{array}\right.. \end{equation*}

Definiamo le matrici

\begin{equation*} A= \left(\begin{matrix} 1 & -1 & 3 \\[10pt] 1 & 1 & - 1 \\[10pt] 3 & -1 & 5 \end{matrix}\right) \quad \text{e} \quad b = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right) \end{equation*}

ed applichiamo il metodo di riduzione di Gauss alla matrice completa (A|b) nel modo seguente:

\begin{equation*} \begin{aligned} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3&0 \\[10pt] 1 & 1 & - 1 &0\\[10pt] 3 & -1 & 5 &0 \end{array}\right) & \stackrel{\begin{array}{l} R_2\leftrightarrow R_2 - R_1 \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3&0 \\[10pt] 0 & 2 & - 4 &0\\[10pt] 3 & -1 & 5 &0 \end{array}\right)\\[10pt] & \stackrel{\begin{array}{l} R_3\leftrightarrow R_3 - 3R_1 \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3&0 \\[10pt] 0 & 2 & - 4 &0\\[10pt] 0 & 2 & -4 &0 \end{array}\right) \\[10pt] & \stackrel{\begin{array}{l} R_3\leftrightarrow R_3 - R_2 \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3&0 \\[10pt] 0 & 2 & - 4 &0\\[10pt] 0 & 0 & 0 &0 \end{array}\right). \end{aligned} \end{equation*}

Poiché il numero delle incognite è n=3 e \text{rk}(A) = 2, allora lo spazio affine delle soluzioni ha dimensione 1. Dalla seconda equazione si ottiene x_2 = 2 x_3 e, sostituendo nella prima, si ottiene x_1 = -x_3. Le soluzioni sono della forma

\[\boxcolorato{geometria}{(x_1,x_2,x_3)=\left(-t, 2t, t\right), \quad \forall t \in \mathbb{R}.}\]


Svolgimento sistema 3.

Consideriamo il sistema lineare omogeneo

(3) \begin{equation*} \left\{\arraycolsep=1.2pt\def\arraystretch{1.8}\begin{array}{l} x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ -2x_1 + 2x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 0 \\ 3x_1 - 3x_2 + 3x_3 + 3x_4 = 0\\ 4x_1 - 4x_2 + 4x_3 + 4x_4 = 0 \end{array}\right.. \end{equation*}

Si nota direttamente che le equazioni sono tutte multiple l’una dell’altra. Il sistema è dunque equivalente all’unica equazione

\begin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0. \end{equation*}

Lo spazio affine delle soluzioni ha dunque dimensione 3 ed il sistema (3) ha soluzioni della forma

\[\boxcolorato{geometria}{(x_1,x_2,x_3,x_4)=\left(t-h-j,t,h,j\right), \quad \forall t,h,j \in \mathbb{R}}\]


 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi lineari non omogenei a coefficienti reali con il metodo di Gauss:

\begin{align*} & 1)\;\begin{cases} 2x_1 - 3x_2 = 0 \\ -6 x_1 + 9x_2=0 \\ \end{cases} & 2)\;\begin{cases} x_1 + x_2 + 3x_3 + 4x_4 - x_5 = 0 \\ x_1 + 2x_2 - x_3 - 6x_4 + x_5 = 4 \end{cases} \\[9pt] & 3)\;\begin{cases} -2x_1 + 3x_2 = 1 \\ x_1 - 2x_2 = -5 \\ -x_1 + x_2 = 3 \end{cases} & 4)\;\begin{cases} x_1 - x_3 = 4 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 3 \\ 2x_1 - 2x_2 + x_3 = -3 \end{cases} \\[9pt] & 5)\;\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 + x_4 = 1 \\ 2x_2 - x_3 - x_4 = 1 \\ 4x_1 +x_2 - x_4 = -1 \\ x_1 - x_2 + x_4 = 1 \end{cases} & 6)\;\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 - 5x_4 = - 1 \\ 2x_1 + x_2 - 3x_3 = 1 \\ 3x_1 + x_2 - 2x_3 - 2x_4 = 2 \end{cases} \\[9pt] & 7)\;\begin{cases} x_1 + x_2 - 2x_3 = 3 \\ 2x_1 + x_2 - 3x_3 - x_4 = 5 \\ 3x_1 + 2x_2 - 5x_3 - x_4 = 8 \\ x_1 - x_2 - 2x_4 = 1 \end{cases} \end{align*}

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