Algebra delle matrici 3 – calcolo del rango

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Presentiamo 4 esercizi svolti sul calcolo del rango di una matrice. Di ogni esercizio presentiamo una soluzione completa, per permettere al lettore di capire come affrontare questa importante e delicata tematica. Riportiamo inoltre gli articoli Algebra delle matrici 2 – determinante oltre a Algebra delle matrici 5 – esercizi misti per problemi relativi ad argomenti collegati.

Introduzione

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In questa dispensa vengono proposti esercizi misti sul calcolo del rango di una matrice mediante l’algoritmo di Gauss (riduzione a gradini). I testi degli esercizi sono tratti dal sito didattico del professore Antonio Cigliola. Le soluzioni sono a cura di Chiara Bellotti , mentre la revisione è a cura di Jacopo Garofali e Matteo Talluri.

Testi degli esercizi sul calcolo del rango

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Data la matrice

$A=\left(\begin{array}{cc} h & -2 \\ 2 & h \end{array}\right)$

dire se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando la risposta.

$rk A=2$ per ogni valore $h\in\mathbb{R}$ .
$\det(A)=4$ se e solo se $h=0$ .

Svolgimento punto 1.

L’affermazione è vera.

Consideriamo infatti la matrice

$A=\left(\begin{array}{cc} h & -2 \\ 2 & h \end{array}\right).$

Applicando la seguente formula generale per il calcolo del determinante delle matrici quadrate $2\times 2$

$\det\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)=ad-bc,$

si ottiene che

$\det A=h^{2}+4.$

Per la teoria generale sul rango di matrici, una matrice quadrata avente determinante non nullo ha rango massimo. In particolare, nel caso di matrici quadrate $2\times 2$ , se il determinante è diverso da zero allora la matrice in questione avrà rango massimo $2$ .

Applicando questa proprietà al caso della matrice

$A=\left(\begin{array}{cc} h & -2 \\ 2 & h \end{array}\right),$

si osserva che

$\det A=h^{2}+4\neq 0\quad \forall h\in\mathbb{R}.$

Segue quindi che

$\operatorname{rk}(A)=2\quad \forall h\in\mathbb{R}.$

Svolgimento punto 2.

Questa affermazione è vera.

Infatti, per il punto precedente, si ha che

$\det (A)=h^{2}+4,$

quindi

$\det (A)=4\Longleftrightarrow h=0.$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Al variare del parametro reale $k$ , calcolare il rango delle seguenti matrici:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} k & k-1 & k \\ 0 & 2k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{pmatrix}.$

Calcolo rango di A.

Consideriamo la matrice

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

e ne calcoliamo il determinante.

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla prima riga si ottiene che

$\begin{align*} \det (A)&=1\cdot\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)-0\cdot\det \left(\begin{array}{cc} k & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+1\cdot\det \left(\begin{array}{cc} k & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\\\\&=1-4+2k=\\&=2k-3. \end{align*}$

Come già detto nell’esercizio precedente, una matrice quadrata avente determinante diverso da zero ha rango massimo, ovvero $3$ nel caso delle matrici quarate $3\times 3$ .

Quindi, siccome

$\det(A)\neq 0\Longleftrightarrow k\neq \frac{3}{2},$

si ha che

$k\neq \frac{3}{2}\Longrightarrow \operatorname{rk}A=3.$

Ci resta ora da vedere il caso in cui $k=\frac{3}{2}$ .

La matrice $A$ diventa

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ \frac{3}{2} & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} .$

Osserviamo che $\operatorname{rk}A\leq 2$ in quanto $\det(A)=0$ e quindi $A$ non può avere rango massimo. Inoltre la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti perchè non sono una multiplo dell’altra, quindi $\operatorname{rk}A\geq 2$ in quanto la matrice $A$ ha almeno due righe linearmente indipendenti.

Ma allora possiamo concludere che

$k=\frac{3}{2}\Longrightarrow\operatorname{rk}A=2.$

Calcolo rango di B.

Consideriamo la matrice

$B=\begin{pmatrix} k & k-1 & k \\ 0 & 2k-2 & 0 \\ 1 & k-1 & 2-k \end{pmatrix}.$

Analogamente a quanto fatto per la matrice $A$ , calcoliamo il determinante della matrice $B$ .

Sviluppando secondo Laplace rispetto alla seconda riga si ottiene che

$\begin{align*} \det(B)&=-0\cdot \det\left(\begin{array}{cc} k-1 & k \\ k-1 & 2-k \end{array}\right)+(2k-2)\cdot\det\left(\begin{array}{cc} k & k \\ 1 & 2-k \end{array}\right)-0\cdot \det \left(\begin{array}{cc} k & k-1 \\ 1 & k-1 \end{array}\right)=\\&=(2k-2)\cdot (k(2-k)-k)=\\&=(2k-2)\cdot (2k-k^{2}-k)=\\&=2(k-1)(k-k^{2})=\\&=-2k(k-1)^{2}. \end{align*}$

Analogamente a quanto detto nel punto prcedente, essendo

$\det(B)\neq 0\Longleftrightarrow k\neq 0\; \wedge \; k\neq 1$

si ha che

$\operatorname{rk}B=3 \Longleftrightarrow k \neq 0\; \wedge \; k\neq 1.$

Vediamo ora il caso $k=0$ . In tal caso la matrice $B$ diventa

$B=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$

Abbiamo appena visto che per $k=0$ si ha $\det(B)=0$ , quindi, per quanto già visto nel punto precedente, $\operatorname{rk}B\leq 2$ .

Inoltre, osserviamo che la prima e la terza riga sono linearmente indipendenti. Di conseguenza, ricordando che il rango per righe di una matrice è uguale al rango per colonne, e avendo la matrice $B$ due righe linearmente indipendenti segue che $\operatorname{rk}B\geq2$ .

Ma allora possiamo concludere che

$k=0\Longrightarrow \operatorname{rk}B=2.$

Vediamo infine il caso $k=1$ .

In questo caso la matrice $B$ diventa

$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Analogamente al caso $k=0$ , avendo la matrice $B$ il determinante nullo si ha che $\operatorname{rk}B\leq 2$ . Inoltre osserviamo che la prima e la terza riga sono uguali, dunque linearmente dipendenti, mentre la seconda riga è nulla e quindi linearmente dipendente alle altre.

Possiamo perciò concludere che

$k=1\Longrightarrow \operatorname{rk}B=1.$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Calcolare il rango delle seguenti matrici:

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix},$

$\[\]$

$C=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 100 \\ 3 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad D=\left(\begin{array}{cc} \pi & \pi^{2} \\ \pi^{2} & \pi^{3} \end{array}\right).$

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