Esercizi misti sulla Forma Canonica di Jordan

Forma canonica di Jordan e teorema spettrale

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Sommario

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In questa dispensa presentiamo alcuni esercizi di difficoltà progressiva sulla riduzione alla Forma Normale di Jordan di matrici a valori reali o complessi. Tale forma canonica risulta particolarmente utile nello studio di operatori lineari, sistemi di equazioni differenziali e, in generale, in tutti i contesti in cui siano rilevanti autovalori e autovettori. Le sue applicazioni in fisica, ingegneria e scienza dei dati sono molteplici, ad esempio nello studio dei sistemi dinamici, nella meccanica quantistica e nell’analisi delle immagini digitali.

Autori e revisori

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Autori: Daniele Volpe.

Notazioni

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$\mathbb{R}$	campo dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	campo dei numeri complessi;
$\mathbb{N}$	insieme dei numeri naturali (incluso lo zero);
$\mathbb{K}$	generico campo;
$V$	generico spazio vettoriale;
$\dim V$	dimensione dello spazio vettoriale $V$ ;
$\mathbf{0}$	vettore nullo dello spazio vettoriale in esame;
$\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{K})$	spazio vettoriale delle matrici $m\times n$ a coefficienti in $\mathbb{K}$ , equipaggiato con le operazioni di somma fra matrici e di prodotto di uno scalare in $\mathbb{K}$ per una matrice;
$\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$	spazio vettoriale delle matrici quadrate $n\times n$ a coefficienti in $\mathbb{K}$ , equipaggiato con le operazioni di somma fra matrici e di prodotto di uno scalare in $\mathbb{K}$ per una matrice;
$\operatorname{Id}$	matrice identità di dimensione deducibile dal contesto;
$\operatorname{Id}_k$	matrice identità di dimensione $k\in\mathbb{N}\backslash \{0\}$ ;
$\mathbf{O}_k$	matrice quadrata di dimensione $k\in\mathbb{N}\backslash \{0\}$ avente soli zeri;
$\operatorname{rnk}A$	rango della matrice $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ;
$\det A$	determinante della matrice quadrata $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ;
$\operatorname{ma}(\lambda)$	molteplicità algebrica dell’autovalore $\lambda$ ;
$\operatorname{mg}(\lambda)$	molteplicità geometrica dell’autovalore $\lambda$ ;
$\mathcal{L}(v_1,\ldots,v_n)\subseteq V$	sottospazio vettoriale di $V$ generato dai vettori $v_1,\ldots,v_n\in V$ ;
$E(\lambda)\subseteq V$	autospazio relativo all’autovalore $\lambda$ ;
$\oplus$	somma diretta di matrici;
$\operatorname{diag}(k_1,\ldots,k_n)$	matrice diagonale $D\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ avente $D_{ii}=k_i$ , con $k_1,\ldots,k_n \in\mathbb{K}$ , e $D_{ij}=0$ per $i\neq j$ ;
$\bigl[v_{1}\;\cdots\;v_{n}\bigr]$	matrice avente per colonne i vettori $v_{1},\ldots,v_{n}\in V$ .

Introduzione

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Questa dispensa è da intendersi come naturale prosecuzione di [3], in cui sono ricapitolati i concetti di autovettore, autovalore, polinomio caratteristico e diagonalizzabilità di un endomorfismo e conseguentemente presentati numerosi esercizi in merito.

Nella prima sezione ricapitoleremo brevemente i requisiti teorici minimi per discutere l’argomento e la procedura computazionale per ricavare, data la matrice associata a un endomorfismo, il cambio di base rispetto al quale l’applicazione stessa ha matrice associata in forma canonica di Jordan.

Per una discussione completa e rigorosa dell’argomento si può consultare il capitolo 4 del testo [2] in bibliografia, dal quale è anche tratto il testo del quarto esercizio della presente dispensa. In esso si possono inoltre trovare approfondimenti su importanti conseguenze della teoria di Jordan, non trattate in questa dispensa, che è invece finalizzata a supportare lo studente nello sviluppo delle tecniche di calcolo e ragionamento necessarie a ricavare esplicitamente la forma di Jordan un endomorfismo.

Gli esercizi presenti nella seconda sezione sono stati selezionati in modo da costituire una selezione sufficiente variegata delle possibili casistiche; nella terza sezione sono tutti discussi e risolti. Andando avanti nello studio delle soluzioni alcuni passaggi espliciti sono omessi e lasciati al lettore.

Richiami di teoria

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Dato uno scalare $\lambda\in\mathbb{K}$ , si definisce blocco di Jordan di ordine $k$ una matrice quadrata $J_{k}(\lambda)\in\mathcal{M}_k(\mathbb{K})$ avente $\lambda$ su tutta la diagonale principale, $1$ sulla sovradiagonale, mentre tutte le altre componenti sono nulle.

Esempi di blocchi di Jordan sono i seguenti:

$J_{3}(2)=\begin{pmatrix} 2&1&0\\ 0&2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix},\quad J_{2}(1)=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}.$

Una matrice quadrata in forma canonica di Jordan è una matrice diagonale a blocchi tale che tutti i suoi blocchi sono blocchi di Jordan.

Una matrice in forma canonica di Jordan $J\in\mathcal{M}_5(\mathbb{R})$ è data ad esempio dalla somma diretta delle due matrici dell’esempio di sopra:

$J=J_{3}(2)\oplus J_{2}(1)=\begin{pmatrix} 2&1&0&0&0\\ 0&2&1&0&0\\ 0&0&2&0&0\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}.$

Notiamo che uno scalare è un blocco di Jordan di dimensione $1$ , una matrice diagonale è una matrice in forma di Jordan composta solo da blocchi di Jordan unidimensionali.

Le matrici in forma di Jordan risolvono il problema di determinare una forma canonica per endomorfismi non diagonalizzabili qualora la non diagonalizzabilità sia dovuta ad autovalori aventi molteplicità algebrica maggiore della molteplicità geometrica e non alla possibilità che il polinomio caratteristico non sia completamente riducibile in fattori lineari. Ricordiamo che un polinomio di grado $n$ è completamente riducibile in fattori lineari su un campo $\mathbb{K}$ se e solo se ammette $n$ radici in $\mathbb{K}$ , non necessariamente distinte. Un campo in cui ogni polinomio è completamente riducibile in fattori lineari è detto algebricamente chiuso.

Il teorema fondamentale dell’algebra afferma che il campo $\mathbb{C}$ è algebricamente chiuso. Il campo $\mathbb{R}$ invece non lo è: infatti ogni polinomio a coefficienti complessi di grado $n$ ha sempre esattamente $n$ radici complesse, mentre un polinomio a coefficienti reali può avere coppie di radici complesse e coniugate, ma non reali.

Sono noti i seguenti risultati:

$\quad$

Ogni endomorfismo di uno spazio vettoriale finito dimensionale su $\mathbb{C}$ ammette un’unica forma canonica di Jordan, a meno di permutazione dei blocchi.

Ogni endomorfismo di uno spazio vettoriale finito dimensionale su $\mathbb{R}$ avente polinomio caratteristico completamente riducibile in fattori lineari in $\mathbb{R}$ ammette un’unica forma canonica di Jordan, a meno di permutazione dei blocchi.

Ogni endomorfismo di uno spazio vettoriale finito dimensionale su $\mathbb{R}$ avente polinomio caratteristico non completamente riducibile in fattori lineari in $\mathbb{R}$ non ammette alcuna forma canonica di Jordan.

D’ora in poi ci concentreremo su spazi vettoriali finito dimensionali su $\mathbb{C}$ per non dover menzionare il problema della non riducibilità del polinomio caratteristico, isolando il caso in cui l’ostruzione alla diagonalizzabilità proviene da uno scarto fra la molteplicità algebrica e la geometrica di qualche autovalore: torneremo brevemente agli endomorfismi su spazi vettoriali finito dimensionali reali alla fine della sezione. Per alleggerire il testo chiameremo i primi semplicemente endomorfismi complessi e questi ultimi endomorfismi reali.

Ci poniamo la seguente domanda: come si fa, dato un endomorfismo complesso non diagonalizzabile, a determinare una base, detta base di Jordan, in cui la matrice ad esso associata è in forma di Jordan?

Siano quindi $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ su $\mathbb{C}$ , $f\colon V\to V$ un endomorfismo e sia $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ la matrice ad esso associata rispetto ad una qualche base $\mathcal{B}\subset \mathbb{C}^n$ .

Si scelga prima di tutto un sistema massimale di $k<n$ di autovettori linearmente indipendenti e siano $v_1,\ldots,v_k\in\mathbb{C}^n$ le rispettive componenti dei suddetti rispetto alla base $\mathcal{B}$ fissata.

A ciascuno degli autovettori corrispondenti ad autospazi di dimensione minore della molteplicità algebrica del relativo autovalore $\lambda\in\mathbb{C}$ , si associa una catena di autovettori generalizzati secondo la seguente procedura iterativa.

$\quad$

Si sceglie l’autovettore di partenza relativo all’autovalore $\lambda$ e l’ $n$ -upla delle sue componenti $v_i$ .

Si costruiscono le componenti rispetto alla base $\mathcal{B}$ del primo autovettore generalizzato $v'_i$ scegliendo una soluzione particolare del sistema non omogeneo
$\left(A-\lambda\operatorname{Id}\right)v'_i=v_i.$

Si costruiscono le componenti del successivo autovettore generalizzato $v''_i$ scegliendo una soluzione particolare del sistema non omogeneo
$\left(A-\lambda\operatorname{Id}\right)v''_i=v'_i.$

Si itera la procedura $d_i$ volte, dove $d_i$ è l’iterazione alla quale il sistema non omogeneo risulta impossibile.

I $k_i$ autovettori generalizzati sono associati ad un blocco di Jordan di ordine $k_i$ .

La somma dei $k_i$ associati a ciascun autovettore relativo all’autovalore $\lambda$ coincide con la molteplicità algebrica dell’autovalore stesso, la somma dei $k_i$ associati a tutti gli autovettori linearmente indipendenti per ogni autovalore coincide con la dimensione $n$ dello spazio vettoriale. Inoltre tutti gli autovettori generalizzati sono linearmente indipendenti: sono dunque la base cercata.

Osserviamo che ad uno stesso autovalore possono essere associati più blocchi di Jordan, in particolare ad ogni autovalore è associato un numero di blocchi di Jordan pari alla molteplicità geometrica dell’autovalore stesso.

La forma di Jordan di un endomorfismo, a meno di permutazione dei blocchi, può essere determinata anche senza bisogno di calcolare esplicitamente una base di autovettori generalizzati, ricavando gli autovalori e la dimensione degli autospazi generalizzati e quindi la dimensione dei suddetti blocchi, che li determina univocamente. Illustriamo la procedura.

$\quad$

Fissiamo un autovalore $\lambda$ di molteplicità geometrica $j=\operatorname{mg}(\lambda)$ e molteplicità algebrica $h=\operatorname{ma}(\lambda)$ : ad esso saranno associati $j$ blocchi di Jordan di dimensioni $d_i$ con $i\in\{1,\dots,j\}$ tali che
$\sum_{i=1}^j d_i=h.$

Si calcolano i seguenti indici:
$s_m=\operatorname{dim}\ker(f-\lambda\operatorname{Id})^m-\operatorname{dim}\ker(f-\lambda\operatorname{Id})^{m-1}.$

Ricordando che la dimensione del nucleo di un’applicazione è data dall’identità

$\dim\ker(f)=n-\operatorname{rnk}A$

otteniamo

$s_m=\operatorname{rnk}(A-\lambda\operatorname{Id})^{m-1}-\operatorname{rnk}(A-\lambda\operatorname{Id})^{m}.$

$s_1$ è semplicemente la molteplicità geometrica dell’autovalore, quindi il numero di blocchi di Jordan di dimensione almeno $1$ .

$s_m$ rappresenta il numero di blocchi di Jordan di dimensione almeno $m$ .

Sapendo che la somma delle dimensioni dei blocchi è pari alla molteplicità algebrica, usiamo le informazioni su ricavate per determinare le dimensioni dei blocchi di Jordan.

Dallo studio delle potenze della matrice $A-\lambda\operatorname{Id}$ e del loro rango è quindi possibile dedurre la struttura della forma canonica di Jordan dell’endomorfismo.

Concludiamo questo breve ripasso teorico con la risposta ad una domanda che sarà naturalmente sorta ad un attento lettore: cosa succede nel caso in cui un endomorfismo reale abbia polinomio caratteristico che invece non è completamene riducibile in $\mathbb{R}$ ?

È noto che le radici complesse di un polinomio a coefficienti reali si presentano sempre a coppie complesse e coniugate, ovvero un polinomio non completamente riducibile in fattori lineari può, al più, presentare dei fattori quadratici di discriminante negativo.

A ciascuno di tali fattori quadratici e irriducibili del polinomio caratteristico corrisponderanno quindi due autovalori $\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$ con $\alpha,\;\beta\in\mathbb{R}$ ai quali sono associati blocchi bidimensionali

$C(\alpha,\beta)=\begin{pmatrix} \alpha&-\beta\\\beta&\alpha \end{pmatrix}=J_{2}(\alpha,\beta).$

Si ha invece la seguente generalizzazione del blocco di Jordan, detta anche blocco di Jordan reale di ordine $2k\in\mathbb{N}$ data dalla matrice quadrata $J_{2k}(\alpha,\beta)\in\mathcal{M}_{2k}(\mathbb{R})$ . La struttura di tale matrice è quella di una matrice a blocchi avente il blocco $C(\alpha,\beta)$ ripetuto $k$ volte sulla diagonale principale, il blocco $\operatorname{Id}_2$ sulla sovradiagonale e zero altrove. Esempi di blocchi di Jordan reali sono i seguenti:

$J_{4}(\alpha,\beta)=\begin{pmatrix} C(\alpha,\beta)&\operatorname{Id}_2\\ \mathbf{O}_2&C(\alpha,\beta) \end{pmatrix} \qquad J_{6}(\alpha,\beta)=\begin{pmatrix} C(\alpha,\beta)&\operatorname{Id}_2&\mathbf{O}_2\\ \mathbf{O}_2&C(\alpha,\beta) &\operatorname{Id}_2\\ \mathbf{O}_2&\mathbf{O}_2&C(\alpha,\beta) \end{pmatrix}.$

Osserviamo che per $\beta=0$ tali blocchi, a meno di un cambio di base, si riducono alla somma di due blocchi di Jordan standard identici riferiti all’autovalore $\lambda=\alpha$ .

Un endomorfismo reale che non ammette forma canonica di Jordan potrà essere comunque rappresentato nella più generale forma canonica di Jordan reale come somma diretta di blocchi di Jordan e blocchi di Jordan reali. Chiaramente, se estendiamo l’endomorfismo reale ad un endomorfismo su uno spazio complesso con polinomio caratteristico a coefficienti accidentalmente reali, allora siamo autorizzati a prendere sul serio gli autovalori complessi e tutti i blocchi reali di dimensione pari sopra introdotti possono essere risolti ulteriormente in due blocchi di uguale ordine riferiti ai due autovalori complessi $\lambda_{1,2}$ .

Non entreremo più nel dettaglio in merito a questo argomento, rimandando il lettore interessato all’articolo [5], in cui la teoria delle forme di Jordan sia complesse che reali è discussa nell’ottica delle sue applicazioni all’analisi delle immagini mediche.

I seguenti esercizi saranno incentrati sulla forma canonica di Jordan standard discussa in precedenza, ad eccezione dell’esercizio 18 in cui comparirà il caso più semplice di forma di Jordan reale.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Trovare, se possibile, la forma di Jordan dell’endomorfismo di $\mathbb{R}^2$ avente associata rispetto alla base canonica la matrice $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ data da:

$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\[7pt] \dfrac{9}{4} & 2 \end{pmatrix}.$

Fornire inoltre una base di $\mathbb{R}^2$ fatta di autovettori generalizzati per l’endomorfismo in esame.

Svolgimento.

Calcoliamo il polinomio caratteristico dell’endomorfismo e le sue radici. Qualora esso sia completamente riducibile in fattori lineari in $\mathbb{R}$ , allora l’endomorfismo ammette una base con matrice associata in forma canonica di Jordan.

$\det(A-\lambda\operatorname{Id})=\begin{vmatrix}-1-\lambda & -1 \\[7pt] \dfrac{9}{4} & 2-\lambda \end{vmatrix}=(\lambda+1)(\lambda-2)+\dfrac{9}{4}=\lambda^2-\lambda+\dfrac{1}{4}.$

Notiamo immediatamente che il polinomio in esame è il quadrato di $\left(\lambda-\dfrac{1}{2}\right)$ e quindi l’endomorfismo ammette l’autovalore $\lambda=\dfrac{1}{2}$ con molteplicità algebrica $2$ .

Studiamo l’autospazio ad esso associato $E\left(\dfrac{1}{2}\right)=\operatorname{ker}\left(A-\dfrac{1}{2}\operatorname{Id}\right)$ :

$\left(A-\dfrac{1}{2}\operatorname{Id}\right)v=\mathbf{0} \rightarrow \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}&-1\\[8pt]\dfrac{9}{4}&\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}.$

Notiamo immediatamente che le due righe sono proporzionali, con coefficiente di proporzionalità pari a $-\dfrac{3}{2}$ . Dunque la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo, ovvero la molteplicità geometrica dell’autovalore, è $1$ . Dato che questa è inferiore alla sua molteplicità algebrica, la matrice non è diagonalizzabile.

Per determinare le componenti di un generatore dell’autospazio $v_1\in E\left(\dfrac{1}{2}\right)$ isoliamo, ad esempio, l’equazione corrispondente alla prima riga, ottenendo

$-\dfrac{3}{2}x-y=0 \iff y=-\dfrac{3}{2}x.$

Una soluzione del sistema si può ottenere ponendo $x=1$ :

$v_1=\left(1,-\dfrac{3}{2}\right).$

Per determinare le componenti di un autovettore generalizzato $v_2\in\mathbb{R}^2$ calcoliamo una soluzione particolare del sistema lineare non omogeneo

$\left(A-\dfrac{1}{2}\operatorname{Id}\right)v_2=v_1 \rightarrow \begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}&-1\\[8pt]\dfrac{9}{4}&\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\[5pt]-\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}.$

Anche in questo caso le due equazioni risultano linearmente dipendenti ed è sufficiente studiare la prima

$-\dfrac{3}{2}x-y=1 \iff y=-\dfrac{3}{2}x-1.$

Ponendo $x=0$ troviamo

$v_2=(0,-1).$

La matrice di passaggio dalla base canonica a quella di autovettori generalizzati è quindi:

$P=\begin{pmatrix} 1&0\\[7pt] -\dfrac{3}{2}&-1 \end{pmatrix} .$

Poiché l’autovalore ha molteplicità algebrica $2$ e geometrica $1$ , la forma di Jordan avrà un singolo blocco di ordine $2$ :

$J = P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0\\[7pt] -\dfrac{3}{2}&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\[7pt] \dfrac{9}{4} & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0\\[7pt] -\dfrac{3}{2}&-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 1 \\[7pt] 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}.$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Trovare, se possibile, la forma di Jordan dell’endomorfismo di $\mathbb{R}^3$ avente associata rispetto alla base canonica la matrice $A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ data da:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$

Fornire inoltre una base di $\mathbb{R}^3$ fatta di autovettori generalizzati per l’endomorfismo in esame.

Svolgimento.

Per prima cosa calcoliamo il polinomio caratteristico dell’endomorfismo e le sue radici. Qualora esso sia completamente riducibile in fattori lineari in $\mathbb{R}$ , allora l’endomorfismo ammette una base con matrice associata in forma canonica di Jordan.

$\begin{aligned} \det(A - \lambda \operatorname{Id}) &= \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & 0 \\ -1 & 3 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda) \cdot \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ -1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} \\ &= (2 - \lambda) \left[ (1 - \lambda)(3 - \lambda) + 1 \right] = (2 - \lambda)\left[\lambda^2 - 4\lambda + 4.\right] \end{aligned}$

Risolvendo:

$(2 - \lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 4) = 0 \rightarrow (\lambda - 2)^3 = 0$

L’unico autovalore è $\lambda = 2$ , con molteplicità algebrica $3$ . Studiamo la molteplicità geometrica di tale autovalore, ovvero la dimensione di $E(2)=\ker (A - 2\operatorname{Id})$ :

$A - 2\operatorname{Id} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \operatorname{rnk}A = 1 \rightarrow \dim \ker(A - 2\operatorname{Id}) = 3-\operatorname{rnk}A=2,$

dove il rango è stato dedotto osservando che una delle tre righe e nulla mentre le prime due sono identiche e quindi dipendenti. Le componenti rispetto alla base canonica di due autovettori linearmente indipendenti che generano tale autospazio si ricavano semplicemente:

$v_1=\left(0,0,1\right),\qquad v_2=(1,1,0).$

Ricaviamo, infine, le componenti dell’autovettore generalizzato $v_3\in\mathbb{R}^3$ corrispondente al blocco di Jordan bidimensionale:

$(A-2\operatorname{Id}) v_3=v_2 \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$

Si ottiene la seguente equazione lineare non omogenea

$-x+y=1.$

Fissando $x=z=0$ , si ottiene

$v_3=\left(0,1,0\right).$

La matrice di passaggio dalla base canonica a quella di autovettori generalizzati è quindi:

$P= \begin{pmatrix} 0&1&0\\0&1&1\\1&0&0 \end{pmatrix}$

Poiché l’autovalore ha molteplicità algebrica $3$ e geometrica $2$ , la forma di Jordan avrà un blocco di ordine $2$ ed uno di ordine $1$ entrambi associati allo stesso autovalore:

$J = P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 0&0&1\\1&0&0\\-1&1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&1&1\\1&0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Dati due endomorfismi $f_1,f_2\colon\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n$ diagonalizzabili, è noto che essi ammettono una base di autovettori comuni che li diagonalizza simultaneamente se e solo se $f_1$ ed $f_2$ commutano, ovvero se e solo se

$f_1\circ f_2=f_2\circ f_1 .$

È vero che, se due endomorfismi non diagonalizzabili $f_1,f_2\colon\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n$ commutano, allora ammettono una base di autovettori generalizzati comuni rispetto alla quale le matrici associate sono entrambe in forma canonica di Jordan?

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