Esercizio 3 sul principio zero

Principio zero

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Esercizio 3  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In un recipiente in cui si trovano m_{1}=3\,\textrm{kg} di ghiaccio alla temperatura T_{1}=253\,\textrm{K}, si versa una quantità di acqua bollente. Determinare la quantità minima di litri di acqua che bisogna versare nel recipiente affinché all’equilibrio tutto il ghiaccio si sciolga, trascurando la capacità termica del recipiente ed il calore scambiato con l’ambiente.
Dati utili: calore specifico del ghiaccio c_{s}\textrm{(ghiaccio)}=2051\,\textrm{J kg}^{-1}\textrm{K}^{-1}; calore latente di fusione del ghiaccio \lambda_{f}=3{,}3\cdot10^{5}\,\textrm{J kg}^{-1}; calore specifico dell’acqua c_{s}\textrm{(acqua)}=4187\,\textrm{J kg}^{-1}\textrm{K}^{-1}.

 

Svolgimento. È necessario che l’acqua bollente (temperatura 373\,\textrm{K}) ceda calore al ghiaccio, dapprima per far passare quest’ultimo dalla temperatura iniziale (253\,\textrm{K}) alla temperatura di fusione T_{F} (273\,\textrm{K}) e poi per sciogliere tutta la massa di ghiaccio. In questo problema, indichiamo con i pedici 1 e 2 le
quantità riferite rispettivamente al ghiaccio e all’acqua bollente. Dai dati, si ha

(1)   \begin{equation*} m_{1}=3\,\textrm{kg}\qquad T_{1}=253\,\textrm{K}\qquad c_{s1}=2051\,\textrm{J}\,\textrm{kg}^{-1}\,\textrm{K}^{-1}\qquad\lambda_{F}=3{,}3\cdot10^{5}\,\textrm{J}\,\textrm{kg}^{-1} \end{equation*}

per il ghiaccio, mentre per l’acqua bollente conosciamo:

(2)   \begin{equation*} T_{2}=373\,\textrm{K}\qquad c_{s2}=4187\,\textrm{J}\,\textrm{kg}^{-1}\,\textrm{K}^{-1}\,. \end{equation*}

La massa incognita di acqua bollente m_{2} viene scelta imponendo nello scambio termico con il ghiaccio che essa sia sufficiente a portare il ghiaccio alla temperatura di fusione e poi a sciogliere tutto il ghiaccio. Perciò, la temperatura finale di equilibrio del sistema dopo lo scioglimento di tutto il ghiaccio sarà ancora pari alla temperatura di fusione. Ovviamente, se aggiungessimo ulteriore acqua bollente, potremmo aumentare la temperatura dell’acqua oltre la temperatura di fusione, ma qui stiamo considerando la quantità minima di acqua bollente in grado di sciogliere tutto il ghiaccio e basta. Perciò, considerando gli scambi di calore, possiamo scrivere:

(3)   \begin{equation*} c_{s1}\,m_{1}\,\left(T_{F}-T_{1}\right)+c_{s2}\,m_{2}\,\left(T_{F}-T_{2}\right)+\lambda_{F}\,m_{1}=0\,, \end{equation*}

da cui si ricava la massa incognita di acqua bollente

(4)   \begin{equation*} m_{2}=\frac{c_{s1}\,\left(T_{F}-T_{1}\right)+\lambda_{F}}{c_{s2}\,\left(T_{2}-T_{F}\right)}\,m_{1}=2{,}7\,\textrm{kg}\,. \end{equation*}

Infine, ricordando che la densità dell’acqua vale \rho_{2}=10^{3}\,\textrm{kg}\,\textrm{m}^{-3}, si calcola il volume di acqua bollente:

(5)   \begin{equation*} V_{2}=\frac{m_{2}}{\rho_{2}}=2{,}7\,\cdot10^{-3}\,\textrm{m}^{3}=2{,}7\,\,\textrm{dm}^{3}=2{,}7\,\textrm{L}\,, \end{equation*}

dove si è sfruttato il fatto che 1\,\textrm{dm}^{3}=1\,\textrm{L}.

 

Fonte: Versione modificata dell’esercizio 9.8, Problemi di Fisica Generale, Mazzoldi, Saggion, Voci (2005).