Esercizio 2 sul principio zero

Principio zero

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Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due cubetti di ghiaccio di massa 50\,\textrm{g} ciascuno vengono immersi in un bicchiere isolato contenente 200\,\textrm{g} di acqua. Se l’acqua inizialmente ha una temperatura di 25\,{^\circ}\textrm{C} e se il ghiaccio proviene direttamente dal congelatore a -15\,{^\circ}\textrm{C}, quale sarà la temperatura della bevanda quando il ghiaccio e l’acqua raggiungono la stessa temperatura? E se invece venisse usato un solo cubetto di ghiaccio, quale sarebbe la temperatura finale? Dati utili: calore specifico del ghiaccio c_{s}\textrm{(ghiaccio)}=2051\,\textrm{J kg}^{-1}\textrm{K}^{-1}; calore latente di fusione del ghiaccio \lambda_{f}=3{,}3\cdot10^{5}\,\textrm{J kg}^{-1}; calore specifico dell’acqua c_{s}\textrm{(acqua)}=4187\,\textrm{J kg}^{-1}\textrm{K}^{-1}.

 

Svolgimento. Dopo aver introdotto i cubetti di ghiaccio nel recipiente isolante contenente acqua, non possiamo sapere a priori se il ghiaccio si scioglierà (totalmente o parzialmente), se l’acqua si solidificherà (totalmente o parzialmente) o se esisterà una miscela di acqua e ghiaccio alla temperatura di fusione T_{F}=0\,{^\circ}\textrm{C}. Intuitivamente, si comprende che si possono avere diverse situazioni a seconda delle masse di ghiaccio e acqua utilizzate e anche dalle temperature iniziali dei due componenti del sistema. Nel dettaglio, dovremmo considerare gli squilibri termici e i conseguenti scambi di calore. Si tenga presente che, per fondere il ghiaccio, bisogna dapprima fornire calore per raggiungere la temperatura di fusione (per “scaldarlo” da -15\,{^\circ}\textrm{C} a 0\,{^\circ}\textrm{C}) e poi fornire ulteriore calore per iniziare il processo di fusione e il cambiamento di stato da solido a liquido. Si indicano con i pedici 1 e 2 rispettivamente le quantità relative all’acqua e al ghiaccio. Si riscrivono i dati con questa notazione, utilizzando le unità di misura nel SI:

    \[\begin{aligned} m_{1}&=0{,}200\,\textrm{kg} \qquad T_{1}=298\,\textrm{K} \qquad c_{s1}=c_{s}(\textrm{acqua}) \,\nonumber\\ m_{2}&=0{,}100\,\textrm{kg} \qquad T_{2}=258\,\textrm{K} \qquad c_{s2}=c_{s}(\textrm{ghiaccio}) \, \end{aligned}\]

dove si ricorda la relazione tra la temperatura misurata con la scala assoluta in kelvin (K) e la temperatura nella scala Celsius ({^\circ}\textrm{C}): T(\textrm{K})=t({^\circ}\textrm{C})+273.

La quantità massima di calore che può essere fornita dalla massa d’acqua prima che solidifichi, passando da T_{1} a T_{F}, è pari a:

(1)   \begin{equation*} Q_{\textrm{ced-max}}=c_{s1}\,m_{1}\,\left(T_{F}-T_{1}\right)=-20935{,}0\,\textrm{J}<0\,. \end{equation*}

D’altra parte, la quantità di calore assorbita dal ghiaccio, necessaria per aumentare la temperatura del ghiaccio fino alla temperatura di fusione e poi per far sciogliere tutto il ghiaccio è:

(2)   \begin{equation*} Q_{\textrm{assorb}}=c_{s2}\,m_{2}\,\left(T_{F}-T_{2}\right)+\lambda_{F}\,m_{2}=36376{,}5\,\textrm{J}>0\,. \end{equation*}

Si noti che

(3)   \begin{equation*} \left| Q_{\textrm{ced-max}}\right| <Q_{\textrm{assorb}}\,, \end{equation*}

ossia il calore massimo possibile ceduto dall’acqua non è sufficiente a sciogliere tutto il ghiaccio. Tuttavia, tale calore Q_{\textrm{ced-max}} è sufficiente almeno a portare il ghiaccio alla temperatura di fusione. Infatti, si può verificare che

(4)   \begin{equation*} \left| Q_{\textrm{ced-max}}\right| >c_{s2}\,m_{2}\,\left(T_{F}-T_{2}\right)=3076{,}5\,\textrm{J\,,} \end{equation*}

da cui

(5)   \begin{equation*} c_{s2}\,m_{2}\,\left(T_{F}-T_{2}\right)<\left| Q_{\textrm{ced-max}}\right| <Q_{\textrm{assorb}}\,. \end{equation*}

Da questi semplici conti sui calori scambiati, si evince che il sistema all’equilibrio si trova nella fase di miscela acqua e ghiaccio, caratterizzata dalla temperatura costante T_{F}=0\,{^\circ}\textrm{C}=273\,\textrm{K}, perciò la temperatura di equilibrio vale T_{\rm eq}=T_{F}.

Inoltre, solo una parte di ghiaccio si sarà sciolta. Si indica con M la massa di ghiaccio che passa allo stato liquido, ovviamente con 0<M<m_{2}. Conoscendo la temperatura di equilibrio e considerando il bilancio termico seguente

(6)   \begin{equation*} c_{s1}\,m_{1}\,\left(T_{1}-T_{\rm eq}\right)=c_{s2}\,m_{2}\,\left(T_{\rm eq}-T_{2}\right)+\lambda_{F}\,M\,, \end{equation*}

è possibile ricavare la massa di ghiaccio sciolta:

(7)   \begin{equation*} M=\frac{1}{\lambda_{F}}\,\left[c_{s1}\,m_{1}\,\left(T_{1}-T_{\rm eq}\right)+c_{s2}\,m_{2}\,\left(T_{2}-T_{\rm eq}\right)\right]=0{,}054\,\textrm{kg\,.} \end{equation*}

Perciò, la massa di ghiaccio rimanente è

(8)   \begin{equation*} m_{\textrm{rim}}=m_{2}-M=0{,}046\,\textrm{kg\,.} \end{equation*}

Se si inserisce un solo cubetto di ghiaccio di massa m_{2}^{\prime}=\frac{1}{2}\,m_{2}, allora ripetendo conti analoghi, si ottiene:

(9)   \begin{equation*} Q_{\textrm{assorb}}^{\prime}=c_{s2}\,m_{2}^{\prime}\,\left(T_{F}-T_{2}\right)+\lambda_{F}\,m_{2}^{\prime}=\frac{1}{2}\,Q_{\textrm{assorb}}=18188{,}3\,\textrm{J\,.} \end{equation*}

In questo caso, si ha

(10)   \begin{equation*} Q_{\textrm{assorb}}^{\prime}<\left| Q_{\textrm{ced-max}}\right| \,, \end{equation*}

perciò il calore ceduto dall’acqua è sufficiente a sciogliere tutto il ghiaccio. Inoltre, la quantità di calore scambiata in eccesso viene impiegata per aumentare la temperatura dell’acqua risultante \left(m_{1}+m_{2}^{\prime}\right), ottenuta dalla massa d’acqua iniziale e la massa del ghiaccio sciolta, che si trova alla fine del cambiamento di stato alla temperatura di fusione. In questo modo, è possibile trovare la nuova temperatura di equilibrio T_{\rm eq}^{\prime}, e ci si aspetta che T_{\rm eq}^{\prime}>T_{F}. In formule, si può scrivere che

(11)   \begin{equation*} c_{s1}\,\left(m_{1}+m_{2}^{\prime}\right)\,\left(T_{\rm eq}^{\prime}-T_{F}\right)=\left| Q_{\textrm{ced-max}}\right| -Q_{\textrm{assorb}}^{\prime}\,, \end{equation*}

da cui si ricava:

(12)   \begin{equation*} T_{\rm eq}^{\prime}=T_{F}+\frac{\left| Q_{\textrm{ced-max}}\right| -Q_{\textrm{assorb}}^{\prime}}{c_{s1}\,\left(m_{1}+m_{2}^{\prime}\right)}=275{,}6\,\textrm{K .} \end{equation*}

 

Link alla soluzione video a cura di Giovanni F.ciani: parte 1 parte 2.

Fonte: Esercizio 33 pag. 432, Fondamenti di Fisica, Halliday, Resnick, Walker (2006).