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Esercizio 1 sul principio zero

Principio zero

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Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un oggetto solido di materiale sconosciuto ha una massa pari a 400\,\textrm{g} e viene portato ad una temperatura di 370{,}0\,\textrm{K}. Il corpo viene poi introdotto in un contenitore a pareti adiabatiche, contenente 0{,}5\,\textrm{L} di acqua inizialmente a 20{,}0\,{^\circ}\textrm{C}. Se la temperatura di equilibrio risulta 298{,}3\,\textrm{K}, determinare il calore specifico del solido. Utilizzando tabelle opportune, quale materiale costituisce il solido? Si ricorda che il calore specifico dell’acqua vale 4186\,\textrm{J}\,\textrm{kg}^{-1}\,\textrm{K}^{-1}.

 

Svolgimento. Il metodo illustrato in questo problema viene utilizzato per ricavare il calore specifico di un oggetto solido sconosciuto, registrando le variazioni di temperatura dell’acqua contenuta in un recipiente adiabatico. Indichiamo con i pedici 1 e 2 le quantità riferite rispettivamente all’oggetto solido di materiale sconosciuto ed all’acqua. Per l’oggetto solido, conosciamo dai dati che

(1)   \begin{equation*} m_{1}=0{,}400\,\textrm{kg}\qquad T_{1}=370\,\textrm{K}\,, \end{equation*}

mentre per l’acqua sappiamo che

(2)   \begin{equation*} V_{2}=0{,}5\,\textrm{L}\qquad T_{2}=293{,}0\,\textrm{K}\qquad c_{s2}=4186\,\textrm{J}\,\textrm{kg}^{-1}\,\textrm{K}^{-1}\,. \end{equation*}

Infine, la temperatura di equilibrio vale

(3)   \begin{equation*} T_{\rm eq}=298{,}3\,\textrm{K}\,. \end{equation*}

Dato che T_{2}<T_{\rm eq}<T_{1}, l’oggetto solido cederà calore all’acqua. La temperatura di equilibrio è minore della temperatura di ebollizione dell’acqua, perciò in questo caso non ci sono passaggi di stato. Dato che il recipiente è adiabatico, non avvengono scambi di calore tra il recipiente e l’ambiente esterno: la quantità di calore ceduta dall’oggetto solido deve essere uguale alla quantità di calore assorbita dall’acqua, ossia Q_{\textrm{tot}}=0. Perciò, si ottiene che

(4)   \begin{equation*} c_{s1}\,m_{1}\,\left(T_{\rm eq}-T_{1}\right)+c_{s2}\,m_{2}\,\left(T_{\rm eq}-T_{2}\right)=0\,. \end{equation*}

Ricordando che la densità dell’acqua vale \rho_{2}=10^{3}\,\textrm{kg m}^{-3} e che 1\,\textrm{L}=1\,\textrm{dm}^{3}=10^{-3}\,\textrm{m}^{3}, si ricava che m_{2}=0{,}5\,\textrm{kg}. Infine, riprendendo il bilancio termico scritto sopra, si ricava

    \[\begin{aligned} c_{s1} &= c_{s2}\,\frac{m_{2}\,\left(T_{\rm eq}-T_{2}\right)}{m_{1}\,\left(T_{1}-T_{\rm eq}\right)}=\nonumber\\ &= 4186\,\textrm{J}\,\textrm{kg}^{-1}\,\textrm{K}^{-1}\,\frac{0{,}5\,\textrm{kg}\,\left(298{,}3\,\textrm{K}-293{,}0\,\textrm{K}\right)}{0{,}4\,\textrm{kg}\,\left(370{,}0\,\textrm{K}-298{,}3\,\textrm{K}\right)} = 386{,}8\,\textrm{J}\,\textrm{kg}^{-1}\,\textrm{K}^{-1}\,. \end{aligned}\]

Confrontando il risultato ottenuto con i valori tabulati per diversi materiali in un manuale di termodinamica o nella tabella al seguente link, si trova che l’oggetto solido è costituito da rame.