Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizi svolti sul principio principio della termodinamica

Primo principio della termodinamica

Home » Esercizi svolti sul principio principio della termodinamica

 
 

Sommario

Leggi...

Questa raccolta di esercizi include le più importanti tipologie relative allo studio delle trasformazioni termodinamiche dei gas facendo prevalentemente uso del primo principio della termodinamica.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Antonio Figura, Valerio Brunetti.

Revisori: Davide Zarrilli, Davide Germani.


 
 

Introduzione

Leggi...

Nella raccolta di esercizi che segue effettueremo lo studio di trasformazioni termodinamiche facendo prevalentemente riferimento al primo principio della termodinamica. Nei richiami di teoria successivi rivedremo i concetti fondamentali e le formule attinenti all’argomento.


 
 

Richiami di teoria

Leggi...

Il primo principio della termodinamica rappresenta una legge di conservazione dell’energia applicata a sistemi termodinamici. Tale principio stabilisce che l’energia interna di un sistema può variare solo in seguito a uno scambio di calore con l’ambiente esterno o a un lavoro compiuto dal o sul sistema stesso. Considereremo nel seguito la seguente formulazione matematica del primo principio:

(1) \begin{equation*} \Delta U= Q - \mathscr{L}, \end{equation*}

dove indichiamo con \Delta U la variazione di energia interna del sistema, con Q il calore scambiato dal sistema e con \mathscr{L} il lavoro effettuato. In particolare, nella formulazione in esame, un valore positivo di Q rappresenta una quantità di calore assorbita dal sistema, mentre un valore negativo è rappresentativo di una quantità di calore ceduta dal sistema all’ambiente esterno; un lavoro \mathscr{L} positivo indica un lavoro effettuato dal sistema mentre un valore negativo dello stesso rappresenta un lavoro effettuato sul sistema (ancora dall’ambiente esterno). Ricordiamo, inoltre, che l’energia interna è una funzione di stato, ossia dipende solo dallo stato iniziale e finale del sistema, non dal percorso seguito per arrivarci, pertanto anche \Delta U è funzione di stato; Q ed \mathscr{L}, invece, non sono funzioni di stato, e pertanto dipendono dalla particolare trasformazione termodinamica coinvolta. Ricordiamo che è possibile calcolare il lavoro effettuato da o su un gas in una trasformazione termodinamica da uno stato A ad uno stato B in accordo con

(2) \begin{equation*} \mathscr{L}=\int_{V_A}^{V_B} P(V) \ \text{d}V, \end{equation*}

pertanto integrando la pressione esercitata sul gas, funzione del volume, tra il volume iniziale e il volume finale della trasformazione. Nella maggior parte degli esercizi seguenti ci occuperemo di gas perfetti, dunque gas per i quali le variabili termodinamiche sono legate dalla legge di stato

(3) \begin{equation*} PV=nRT, \end{equation*}

dove indichiamo con P la pressione del gas, V il suo volume, n il numero di moli da cui è composto, T la sua temperatura ed R=8,31\ \text{J} /( \text{mol \cdot K}) è la costante dei gas ideali. Per tali gas, è possibile dimostrare che la variazione di energia interna dipende solo dalla temperatura del gas, in accordo con

(4) \begin{equation*} \Delta U = n c_v \Delta T, \end{equation*}

dove indichiamo con c_v il calore specifico molare a volume costante del gas e con \Delta T la variazione di temperatura. Come già segnalato precedentemente, mentre la formula per determinare la variazione di energia interna è unica per qualsiasi trasformazione, per determinare il calore ed il lavoro coinvolti bisogna studiare la particolare trasformazione termodinamica.

Segnaliamo che da ora in avanti, a meno che non sia specificato diversamente, tratteremo trasformazioni reversibili e quasistatiche; i casi particolari verranno evidenziati di volta in volta. Ci occuperemo in particolar modo di alcune trasformazioni notevoli:

\[\quad\]

  1. Trasformazioni isoterme (trasformazioni a temperatura costante), nelle quali la variazione di energia interna sarà nulla (in quanto \Delta T=0). In tali trasformazioni, il lavoro effettuato dal o sul gas è dato da

    (5) \begin{equation*} \mathscr{L}=\int_{V_A}^{V_B} P(V) \ \text{d}V= \int_{V_A}^{V_B} \frac{nRT}{V} \ \text{d}V=nRT\ln\frac{V_B}{V_A}, \end{equation*}

    dove al secondo passaggio si è sostituito P=\frac{nRT}{V} in accordo con la legge di stato dei gas perfetti. Dal primo principio della termodinamica segue che, essendo \Delta U=0, in questo tipo di trasformazioni calore e lavoro sono numericamente uguali. Dunque, riassumendo, per le trasformazioni isoterme:

    (6) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \Delta U=0; \qquad Q=\mathscr{L}=nRT\ln\frac{V_B}{V_A}. \nonumber } \end{equation*}

    Spesso, nelle trasformazioni isoterme da uno stato A a uno B, risulta utile considerare la seguente legge di Boyle

    (7) \begin{equation*} P_A V_A = P_B V_B, \end{equation*}

    facilmente ricavabile dalla legge di stato dei gas ideali, essendo in quest’ultima il secondo membro costante in trasformazioni a temperatura costante.

    2.  

  2. Trasformazioni isocore (trasformazioni a volume costante), nelle quali il lavoro effettuato sarà nullo (in quanto \Delta V=0). In tali trasformazioni, dal primo principio della termodinamica segue che \Delta U=Q, dunque la variazione di energia interna coincide con il calore scambiato. Dunque, riassumendo, per le trasformazioni isocore:

    (8) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \Delta U=Q=nc_v\Delta T; \qquad \mathscr{L}=0. \nonumber }\end{equation*}

    3.  

  3. Trasformazioni isobare (trasformazioni a pressione costante). In tali trasformazioni, l’integrale (2) è banale, in quanto, essendo P costante, è possibile portare tale termine fuori dal segno di integrazione, in tal modo si ha

    (9) \begin{equation*} \mathscr{L}=P\int_{V_A}^{V_B}\text{d}V=P(V_B-V_A). \end{equation*}

    In questo caso, il calore scambiato durante la trasformazione è dato per definizione da

    (10) \begin{equation*} Q=nc_p\Delta T, \end{equation*}

    dove c_p è il calore specifico a pressione costante, che si dimostra essere legato al calore specifico a volume costante dalla seguente relazione di Mayer:

    (11) \begin{equation*} c_v = c_p - R. \end{equation*}

    Per riassumere, dunque, per le trasformazioni isobare:

    (12) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \Delta U=nc_v\Delta T; \qquad \mathscr{L}=P\Delta V \qquad Q=nc_p\Delta T. \nonumber } \end{equation*}

    4.  

  4. Trasformazioni adiabatiche (o isoentropiche), nelle quali il calore scambiato dal sistema con l’ambiente esterno è nullo. In maniera simile rispetto alle trasformazioni isocore, si avrà quindi che la variazione di energia interna è uguale all’opposto del lavoro effettuato, e dunque

    (13) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \Delta U=-\mathscr{L}=nc_v\Delta T; \qquad Q=0. \nonumber } \end{equation*}

Nel caso di trasformazioni adiabatiche reversibili per un gas ideale da uno stato A a uno stato B, è possibile dimostrare la seguente equazione di Poisson

(14) \begin{equation*} P_A V_A^\gamma=P_B V_B^\gamma, \end{equation*}

che è possibile riscrivere anche nelle seguenti forme equivalenti

(15) \begin{equation*} T_A V_A^{\gamma-1}=T_B V_B^{\gamma-1}, \end{equation*}

(16) \begin{equation*} T_A P_A^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=T_B P_B^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}, \end{equation*}

dove \gamma è il rapporto tra il calore specifico a pressione costante e quello a volume costante del gas. Ricordiamo che c_p, c_v e \gamma hanno valori specifici, costanti, in alcuni casi notevoli: per gas ideali monoatomici c_p=\frac{5}{2}R, c_v=\frac{3}{2}R e \gamma=\frac{5}{3}, per gas ideali biatomici c_p=\frac{7}{2}R, c_v=\frac{5}{2}R e \gamma=\frac{7}{5}.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una miscela di acqua e ghiaccio a temperatura T_0=273,15 K è formata da m_g=40 g di ghiaccio e m_a=160 g di acqua. La miscela è contenuta all’interno di un recipiente non termicamente isolante, che consente scambi di calore con l’ambiente esterno (avente una temperatura T_a=293,15 K). Dopo un certo intervallo di tempo, la massa di ghiaccio fonde e l’acqua così formata raggiunge la stessa temperatura dell’ambiente esterno. Calcolare le seguenti grandezze:

\[\quad\]

  1. il calore Q che il sistema ha scambiato con l’ambiente esterno,

    2.  

  2. il lavoro compiuto durante la trasformazione,

    3.  

  3. la variazione di energia interna del sistema.

Si assumano i seguenti dati: calore specifico del ghiaccio c_{s\textrm{(ghiaccio)}}=2051\,J/(kg\cdotK); calore latente di fusione del ghiaccio \lambda_{f}=3{,}3\cdot10^{5}\,\textrm{J kg}^{-1}; calore specifico dell’acqua c_{s\textrm{(acqua)}}=4187\,J/(kg\cdotK).

Svolgimento.

Illustriamo in figura 1 seguente il testo del problema.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: illustrazione schematica del problema.

\[\quad\]

Consideriamo tutti i passaggi di calore che interessano il ghiaccio e l’acqua, ricordando che al termine di ogni scambio di calore la miscela avrà raggiunto la temperatura T_a dell’ambiente esterno. Il calore totale Q scambiato con l’ambiente esterno è dato dalla somma di due contributi

(17) \begin{equation*} Q=Q_f + Q_a, \end{equation*}

in particolare, indichiamo con Q_f il calore che il ghiaccio assorbe per fondere in acqua e con Q_a il calore necessario alla massa d’acqua per raggiungere la temperatura T_a. Il calore Q_f è pari a

(18) \begin{equation*} Q_f=m_g\lambda_f, \end{equation*}

dove osserviamo che durante il processo di fusione la temperatura non aumenta, pertanto il calore assorbito si calcola utilizzando il calore latente e non quello specifico. Una volta avvenuta la fusione del ghiaccio, la massa d’acqua contenuta nel recipiente raggiungerà la temperatura T_a assorbendo un calore

(19) \begin{equation*} Q_a=(m_g+m_a) c_{s\textrm{(acqua)}} (T_a-T_0). \end{equation*}

Calcoliamo dunque il calore totale assorbito dall’ambiente esterno:

(20) \begin{equation*}$$\boxcolorato{fisica}{ Q=m_g\lambda_f+(m_g+m_a) c_{s\textrm{(acqua)}} (T_a-T_0)= 29948\ \text{J}. \nonumber } \end{equation*}

Osserviamo a questo punto che il sistema in esame è un sistema chiuso che non cambia il suo volume nel processo descritto precedentemente. Pertanto, se la variazione di volume \Delta V=0, allora segue subito che il lavoro \mathscr{L} compiuto durante la trasformazione è nullo:

(21) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \mathscr{L} =P\Delta V= 0\ \text{J}. \nonumber } \end{equation*}

Per determinare la variazione di energia interna \Delta U del sistema facciamo riferimento al primo principio della termodinamica, in accordo con il quale segue semplicemente che

(22) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \Delta U = Q -\mathscr{L} = 29948\ \text{J}, \nonumber } \end{equation*}

non essendosi verificato lavoro meccanico, infatti, la variazione di energia interna della miscela è completamente dovuta allo scambio di calore effettuato, e pertanto coincide con il valore di Q.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un gas monoatomico è contenuto in un cilindro con pistone che rende possibili scambi di calore con l’ambiente esterno, sicché la temperatura rimane sempre pari a quella di tale ambiente, ossia T_0 = 300 K. Siano V_0 = 5\times10^{-3} m^3 il volume iniziale e P_0 = 2,02\times 10^6 Pa la pressione iniziale. Il gas viene lasciato espandere molto lentamente fino a che il volume raddoppia. Determinare:

\[\quad\]

  1. quante moli di gas sono contenute nel cilindro,

    2.  

  2. le variabili termodinamiche dello stato finale,

    3.  

  3. il calore Q, il lavoro \mathscr{L} e la variazione \Delta U di energia interna relativi alla trasformazione.

Svolgimento.

Rappresentiamo in figura 2 il testo del problema.

\[\quad\]

Figura 2: illustrazione schematica della fase iniziale problema; il pistone è mobile, pertanto il volume del cilindro può variare.

\[\quad\]

Stabiliamo innanzitutto il tipo di trasformazione presente in questo problema. Poiché il testo segnala che la durante la trasformazione il gas mantiene sempre la stessa temperatura dell’ambiente esterno, si tratterà di una trasformazione isoterma. Osserviamo inoltre che, avendo tutte le variabili termodinamiche relative allo stato iniziale del gas, è possibile determinare il numero di moli n di tale gas dalla legge di stato dei gas perfetti:

(23) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ n=\frac{P_0 V_0}{RT_0}=4,05\ \text{mol}. \nonumber }\end{equation*}

Consideriamo adesso lo stato finale della trasformazione: la temperatura è ancora T_0, mentre il volume è raddoppiato ed è dunque uguale a 2\ V_0. Per determinare la pressione P_1 dello stato finale possiamo adoperare la legge di Boyle:

(24) \begin{equation*} P_0 V_0 = 2 P_1 V_0. \end{equation*}

Segue dunque facilmente che essendo il volume raddoppiato, la pressione finale è la metà di quella iniziale. Le variabili termodinamiche P_1, T_1, V_1 richieste saranno pertanto

(25) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ P_1=\frac{P_0}{2}=1,01 \times 10^6\ \text{Pa}, \qquad T_1=T_0 = 300\ \text{K}, \qquad V_1=2V_0= 1 \times 10^{-2}\ \text{m}^3. \nonumber } \end{equation*}

Osserviamo adesso che, essendo una trasformazione isoterma, la variazione \Delta U di energia interna è pari a zero; in accordo con il primo principio della termodinamica, dunque, calore e lavoro saranno numericamente uguali. Ricordiamo che in una trasformazione isoterma possiamo calcolare

(26) \begin{equation*} \mathscr{L}=n R T \ln \frac{V_1}{V_0}= nRT\ln(2)= 6998\ \text{J}. \end{equation*}

Possiamo dunque concludere osservando che, per la trasformazione in esame,

(27) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ Q=\mathscr{L}=6998\ \text{J}, \qquad \Delta U= 0\ \text{J}. \nonumber } \end{equation*}


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un blocco di rame di volume V=0,90\,\mathrm{dm^3}, alla pressione atmosferica, viene riscaldato da una temperatura iniziale
t_1=18^\circ\mathrm{C} a una temperatura t_2=105^\circ\mathrm{C}.

\[\quad\]

  1. Calcolare la quantità di calore Q assorbita dal rame.

    2.  

  2. Stimare il lavoro di espansione \mathscr{L} = P_{\mathrm{atm}}\Delta V dovuto alla dilatazione termica e verificare che esso è trascurabile rispetto a Q.

Assumere i seguenti valori per la densità del rame, per il calore specifico e per il coefficiente di dilatazione termica lineare rispettivamente: \rho = 8,96\cdot 10^3\ \text{kg}/\text{m}^3, c= \SI{385}{\joule\per\kilogram\per\kelvin}, \alpha= 16,5\cdot 10^{-6}\ \text{K}^{-1}.

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi