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Esercizi svolti di Meccanica Lagrangiana sui sistemi di punti materiali

Meccanica Lagrangiana

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Sommario

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Questo file raccoglie una serie di esercizi dedicati alla meccanica lagrangiana del punto materiale, pensati per esplorare e consolidare la comprensione delle leggi fondamentali che governano il moto e l’equilibrio dei sistemi soggetti a vincoli. Prima di ogni esercizio verranno rivisti brevemente alcuni concetti teorici di meccanica analitica utili allo svolgimento dell’esercizio.

Gli esercizi si concentrano principalemente: sulla scrittura della lagrangiana di un sistema di punti materiali e sull’uso di essa per ricavare le equazioni del moto; sull’analisi dei punti di equilibrio di un sistema.


 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Davide Germani, Elisa Bucci.

Revisori: Sirletti Benedetto Leone, Alberto Cella, Nicola Fusco.


 
 

Notazioni

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\mathcal{L}    Lagrangiana;
\mathcal{H}    Hamiltoniana;
E    Energia totale;
T    Energia cinetica;
U_g    Energia potenziale gravitazionale;
U_{\text{el}}    Energia potenziale elastica;
U_{\text{centrifuga}}    Energia potenziale centrifuga;
U_{\text{elettr}}    Energia potenziale elettrostatica;
U    Energia potenziale totale;
\bm{A}    Potenziale vettore magnetico;
\bm{\mathcal{E}}    Campo elettrico;
\bm{B}    Campo magnetico;
\bm{N}    Reazione vincolare;
\bm{L}    Momento angolare;
\bm{r}(t)    raggio vettore;
\bm{q}(t)    coordinate generalizzate o lagrangiane;
x(t), \, y(t), \, z(t)    leggi orarie sugli assi x,y,z;
\bm{\dot{r}}(t)    velocità;
\bm{\dot{q}}(t)    velocità generalizzata;
(r,\phi,\theta)\in (0,+\infty) \times(0,2\pi)\times(0,\pi)    coordinate sferiche;
\bm{\nabla}_{q}    gradiente rispetto alle coordinate generalizzate \bm{q}
\bm{\nabla}_{\dot{q}}    gradiente rispetto alla velocità generalizzata \bm{\dot{q}}
(I_1,I_2,I_3\dots,I_n)    Azione;


 
 

Introduzione

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Questa dispensa raccoglie una serie di esercizi di meccanica lagrangiana, un potente approccio alla dinamica sviluppato da Joseph-Louis Lagrange nel XVIII secolo. La meccanica lagrangiana, derivata dai principi fondamentali della fisica e dal calcolo delle variazioni, offre un quadro teorico che si estende ben oltre le intuizioni della meccanica newtoniana, semplificando notevolmente lo studio di sistemi complessi e vincolati.

Lagrange, influenzato dai lavori di Newton e di altri grandi matematici e fisici dell’epoca, ideò un metodo che unisce il concetto di coordinate generalizzate con la funzione lagrangiana, una grandezza scalare che incorpora le caratteristiche fondamentali del sistema (energia cinetica e potenziale). Questa funzione, detta Lagrangiana, rappresenta il cuore della teoria e conduce direttamente alle equazioni del moto mediante le equazioni di Eulero-Lagrange. Questa formulazione consente di studiare il moto di sistemi complessi senza dover trattare esplicitamente le forze di vincolo, un vantaggio significativo rispetto alla formulazione newtoniana.

Gli esercizi presenti in questa prima dispensa mirano a consolidare la comprensione della meccanica lagrangiana attraverso la costruzione delle lagrangiane di vari sistemi di punti materiali, il calcolo delle equazioni del moto e l’analisi della stabilità dei punti di equilibrio. Partendo da esempi semplici, gli esercizi evolvono verso sistemi più complessi e vincolati. La trattazione lagrangiana si presta bene all’analisi di questi sistemi, poiché permette di ottenere le equazioni del moto in modo sistematico, rendendo evidente la natura dei vincoli e delle forze in gioco.

Storicamente, la meccanica lagrangiana non solo ha rappresentato una svolta nel formalismo della fisica teorica, ma ha anche aperto la strada alla formulazione hamiltoniana e, successivamente, alla meccanica quantistica. Essa continua ad essere fondamentale non solo per la meccanica classica ma anche per la fisica moderna, con applicazioni in campi come la teoria dei campi, la teoria delle stringhe e la relatività generale.

Questa dispensa intende offrire una base solida per chi si avvicina alla meccanica analitica e fornire una piattaforma per lo sviluppo di competenze avanzate nella formulazione lagrangiana. In appendice, vengono riportati alcuni riferimenti bibliografici per chi desidera approfondire ulteriormente questi temi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange per il sistema bidimensionale di Lagrangiana

(1) \begin{equation*} \mathcal{L}\left(q_1,q_2,\dot{q}_1,\dot{q}_2\right)=q_2\dot{q}_1-q_1\dot{q}_2-2q_1q_2 \end{equation*}

e trovarne esplicitamente la soluzione.

Richiami teorici.

Sia \mathcal{L}(\bm{q},\dot{\bm{q}},t) la lagrangiana di un sistema di M punti materiali in N dimensioni, dove \bm{q} e \dot{\bm{q}} sono rispettivamente il vettore delle coordinate generalizzate e delle velocità generalizzate, allora le equazioni di Eulero-Lagrange sono date da

(2) \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(\bm{\nabla}_{\dot{q}}\mathcal{L}\left(\bm{q},\dot{\bm{q}},t\right)\right)-\bm{\nabla}_q \mathcal{L}\left(\bm{q},\dot{\bm{q}},t\right)=\bm{0}. \end{equation*}


Svolgimento.

Si ha

(3) \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(\bm{\nabla}_{\dot{q}}\mathcal{L}\left(q_1,q_2,\dot{q}_1,\dot{q}_2\right)\right)-\bm{\nabla}_q \mathcal{L}\left(q_1,q_2,\dot{q}_1,\dot{q}_2\right)=(0,0), \end{equation*}

da cui

(4) \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(q_2,-q_1\right)-\left(-\dot{q}_2-2q_2,\dot{q}_1-2q_1\right)=(0,0), \end{equation*}

o anche

(5) \begin{equation*} \left(\dot{q}_2+\dot{q}_2+2q_2,-\dot{q}_1-\dot{q}_1+2q_1\right)=(0,0), \end{equation*}

ovvero

(6) \begin{equation*} \begin{cases} 2\dot{q}_1-2q_1=0\\ 2\dot{q}_2+2q_2=0, \end{cases} \end{equation*}

cioè

\[\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} \dot{q}_1=q_1\\ \dot{q}_2=-q_2. \end{cases} }\]

Risolviamo il sistema di equazioni differenziali. Osserviamo che entrambe le equazioni del sistema sono equazioni differenziali del primo ordine, omogenee e a coefficienti costanti. Dunque, la soluzione generale del sistema è

\[\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} q_1=c_1 e^{t}\\ q_2=c_2 e^{-t}, \end{cases} }\]

dove c_1 e c_2 sono delle costanti.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Ad un filo inestensibile e di massa trascurabile è attaccato un punto materiale di massa m, come in figura 1. Inizialmente il sistema è in quiete e il filo forma un angolo \theta_0 con la verticale (si veda figura 1). Si richiede di determinare la tensione \bm{N} del filo generata sul punto materiale m. Inoltre, si determinino i valori
massimo e minimo assunti dalla tensione \bm{N} durante il moto di m. Si consideri il sistema conservativo.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 1: schema del problema.

\[\quad\]

Richiami teorici.

Sia \mathcal{L}(\bm{q},\dot{\bm{q}},t) la lagrangiana di un sistema di M punti materiali in N dimensioni, dove \bm{q} e \dot{\bm{q}} sono rispettivamente il vettore delle coordinate generalizzate e delle velocità generalizzate, allora le equazioni di Eulero-Lagrange sono date da

(7) \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(\bm{\nabla}_{\dot{q}}\mathcal{L}\left(\bm{q},\dot{\bm{q}},t\right)\right)-\bm{\nabla}_q \mathcal{L}\left(\bm{q},\dot{\bm{q}},t\right)=\bm{0}. \end{equation*}

Dalla seconda equazione della dinamica

(8) \begin{equation*} \bm{F}_{\text{tot}}=m\bm{a} \end{equation*}

dove m è la massa del corpo, \bm{a} la sua accelerazione e \bm{F}_{\text{tot}} la somma delle forze agenti sul corpo.


Svolgimento primo metodo.

Rappresentiamo in figura 2 le forze agenti su m, cioè la tensione \bm{N} (da determinare) e la forza peso m\bm{g}. Inoltre, in figura 2, si osservi che m è rappresentato in un istante generico t>0 durante il suo moto, pertanto fomerà un angolo \theta generico rispetto all’asse verticale.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 2: rappresentazione delle forze agenti su m.

\[\quad\]

Com’è noto l’accelerazione di un punto materiale m si può scrivere come

(9) \begin{equation*} \ddot{\bm{r}}=\ddot{\theta}\ell \,\bm{\hat{t}}+\dot{\theta}^2\ell\,\bm{\hat{n}}, \end{equation*}

dove \bm{\hat{t}} e \bm{\hat{n}} rappresentano i versori rispettivamente tangenti e normali alla traiettoria di m, mentre \ell è la lunghezza del filo. Proiettiamo le forze lungo la direzione tangente e normale alla guida, ottenendo

(10) \begin{equation*} m\bm{g}=-mg\sin \theta \,\bm{\hat{t}}-mg\cos \theta \,\bm{\hat{n}} \end{equation*}

e

(11) \begin{equation*} \bm{N}=N\,\bm{\hat{n}}. \end{equation*}

Applicando la seconda legge della dinamica, si ha

(12) \begin{equation*} \begin{cases} N-mg\cos \theta=m\dot{\theta}^2\ell\\ -mg\sin \theta=m\ddot{\theta}\ell. \end{cases} \end{equation*}

Il sistema dinamico studiato è conservativo, pertanto si conserva l’energia. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oz, come in figura 3.

\[\quad\]

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Figura 3: rappresentazione del moto di m in un generico istante t>0.

\[\quad\]

Per la conservazione dell’energia si ha

(13) \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m\left(\dot{\theta}\ell\right)^2=mg\left(-\ell \cos \theta_0+\ell \cos \theta\right), \end{equation*}

da cui

(14) \begin{equation*} \dfrac{1}{2}\dot{\theta}^2\ell=g\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right), \end{equation*}

cioè

(15) \begin{equation*} \dot{\theta}^2\ell=2g\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right)>0. \end{equation*}

Dall’equazione (15) sappiamo che

(16) \begin{equation*} - \cos \theta_0+ \cos \theta>0, \end{equation*}

per cui deduciamo che \theta \in[-\theta_0,\theta_0]. Mettendo a sistema (12)_1 con l’equazione (15), si ottiene

(17) \begin{equation*} \begin{cases} N-mg\cos \theta=m\dot{\theta}^2\ell\\ \dot{\theta}^2\ell=2g\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right), \end{cases} \end{equation*}

da cui, sostituendo \dot{\theta}^2\ell (definito nell’equazione (17)_2) nell’equazione (17)_1, si ottiene

(18) \begin{equation*} N-mg\cos \theta=2mg\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right) , \end{equation*}

da cui

(19) \begin{equation*} N=mg\cos \theta+2mg\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right) , \end{equation*}

o anche

(20) \begin{equation*} N=3mg\cos \theta-2mg \cos \theta_0 , \end{equation*}

cioè

(21) \begin{equation*} \boxed{N(\theta)=mg\left(3\cos \theta-2\cos \theta_0\right) .} \end{equation*}

Riscriviamo la (21) come segue

(22) \begin{equation*} mg \left(3 \cos \theta -3 \cos \theta_0+\cos \theta_0\right)=3mg\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right)+mg\cos \theta_0>0. \end{equation*}

È chiaro che per \theta=0 la tensione è massima, dove N(0)=N_{\max}=mg\left(3-2\cos \theta_0\right). Inoltre, si ha

(23) \begin{equation*} N(\theta_0)=N(-\theta_0)=N_{\min}=mg\cos \theta_0. \end{equation*}

Il risultato di (23) era facilmente deducibile osservando, ad esempio, che N(\theta) è una funzione pari.

Si conclude che

\[\boxcolorato{fisica}{N_{\min}=mg\cos \theta_0\quad \text{e}\quad N_{\max}=mg\left(3-2\cos \theta_0\right). }\]


Svolgimento secondo metodo.

Scegliamo un sistema di riferimento Oyz, come in 4.

\[\quad\]

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Figura 4: scelta del sistema di riferimento.

\[\quad\]

La posizione di m è

(24) \begin{equation*} \begin{cases} y=\ell \sin \theta\\ z=-\ell \cos \theta , \end{cases} \end{equation*}

dove \theta \in[-\theta_0,\theta_0]. Derivando ambo i membri delle due equazioni del sistema (24), si ottiene

(25) \begin{equation*} \begin{cases} \dot{y}=\ell \dot{\theta} \cos \theta\\ \dot{z}=\ell \dot{\theta} \sin \theta. \end{cases} \end{equation*}

Dunque, il modulo della velocità è \left \vert \dot{\bm{r}}\right \vert=\sqrt{\dot{y}^2+\dot{z}^2}=\ell \dot{\theta}. Scriviamo la lagrangiana del sistema scegliendo come variabile \theta, cioè

(26) \begin{equation*} \mathcal{L}(\theta,\dot{\theta})=\dfrac{1}{2}m\left \vert \dot{\bm{r}}\right \vert^2-mg z +\text{costante}=\dfrac{1}{2}m\ell^2 \dot{\theta}^2+mg\ell \cos \theta+\text{costante}. \end{equation*}

L’equazione di Eulero-Lagrange è

(27) \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial \mathcal{L}(\theta,\dot{\theta})}{\partial \dot{\theta}}\right)=\dfrac{\partial \mathcal{L}(\theta,\dot{\theta})}{\partial \theta}, \end{equation*}

da cui

(28) \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(m\dot{\theta}\ell^2\right)=-mg\ell \sin \theta, \end{equation*}

o anche

(29) \begin{equation*} \ddot{\theta}\ell=-g \sin \theta. \end{equation*}

L’equazione (29) è la classica equazione del pendolo semplice. Applicando la seconda legge della dinamica ad m, si ha

(30) \begin{equation*} \bm{N}+m\bm{g}=m\ddot{\bm{r}}. \end{equation*}

Scomponendo le forze \bm{N} ed m\bm{g}, e l’accelerazione \ddot{\bm{r}}, lungo gli assi y e z, si ottiene

(31) \begin{equation*} \begin{cases} N_y=m\ddot{y}\\ N_z-mg=m\ddot{z}, \end{cases} \end{equation*}

dove N_y e N_z sono le componenti di \bm{N} rispetto gli assi y e z, mentre \ddot{y} e \ddot{z} sono le componenti di \ddot{\bm{r}} rispetto gli assi y e z. Derivando ambo i membri delle due equazioni del sistema (25), si ottiene

(32) \begin{equation*} \begin{cases} \ddot{y}=\ell \left(\ddot{\theta} \cos \theta-\dot{\theta}^2\sin \theta\right)\\ \ddot{z}=\ell \left(\ddot{\theta} \sin \theta+\dot{\theta}^2\cos \theta\right). \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo \ddot{y} e \ddot{z} nelle due equazioni del sistema (31), si giunge ad

(33) \begin{equation*} \begin{cases} N_y=m\ell \left(\ddot{\theta} \cos \theta-\dot{\theta}^2\sin \theta\right)\\ N_z=mg+m\ell \left(\ddot{\theta} \sin \theta+\dot{\theta}^2\cos \theta\right), \end{cases} \end{equation*}

Ora, mettendo a sistema le equazioni (33)_1, (33)_2, (29) e (15), si trova

(34) \begin{equation*} \begin{cases} N_y=m\ell\ddot{\theta} \cos \theta-m\ell\dot{\theta}^2\sin \theta\\ N_z=mg+m\ell \ddot{\theta} \sin \theta+m\ell \dot{\theta}^2\cos \theta\\ \ell\ddot{\theta}=-g \sin \theta\\ \ell\dot{\theta}^2 =2g\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right). \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo \ddot{\theta}\ell (calcolata in (34)_3) e \dot{\theta}^2\ell (calcolata in (34)_4) nelle prime due equazioni del sistema (34), si ottiene

(35) \begin{equation*} \begin{cases} N_y=-mg\cos \theta \sin \theta-2mg\sin \theta(\cos \theta -\cos \theta_0)\\ N_z=mg-mg\sin^2 \theta +2mg \cos \theta \left(\cos \theta -\cos \theta_0\right) \end{cases} \end{equation*}

ovvero

(36) \begin{equation*} \begin{cases} N_y=-3mg\cos \theta \sin \theta+2mg \sin \theta \cos \theta_0\\ N_z=mg-mg\sin^2 \theta +2mg \cos^2 \theta -2mg \cos \theta \cos \theta_0, \end{cases} \end{equation*}

o anche

(37) \begin{equation*} \begin{cases} N_y=mg \sin \theta \left(-3 \cos \theta +2 \cos \theta_0\right)\\ N_z=mg-mg\left(1-\cos^2\theta\right) +2mg \cos^2 \theta -2mg \cos \theta \cos \theta_0, \end{cases} \end{equation*}

per cui

(38) \begin{equation*} \begin{cases} N_y=mg \sin \theta \left(-3 \cos \theta +2 \cos \theta_0\right)\\ N_z=mg-mg+mg \cos^2\theta +2mg \cos^2 \theta -2mg \cos \theta \cos \theta_0, \end{cases} \end{equation*}

in altri termini

(39) \begin{equation*} \begin{cases} N_y=mg \sin \theta \left(-3 \cos \theta +2 \cos \theta_0\right)\\ N_z=mg \cos \theta \left(3 \cos \theta -2 \cos \theta_0\right). \end{cases} \end{equation*}

Sappiamo che

(40) \begin{equation*} - \cos \theta_0+ \cos \theta>0, \end{equation*}

pertanto

(41) \begin{equation*} N_y=mg \sin \theta \left(-3 \cos \theta +3 \cos \theta_0-\cos \theta_0\right)=-3mg\sin \theta\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right)-mg\sin \theta\cos \theta_0<0 \end{equation*}

e

(42) \begin{equation*} N_z=-mg \cos \theta \left(-3 \cos \theta +3 \cos \theta_0-\cos \theta_0\right)=3mg\cos \theta\left(- \cos \theta_0+ \cos \theta\right)+mg\cos \theta\cos \theta_0>0. \end{equation*}

Dunque, si ha

(43) \begin{equation*} \left \vert \bm{N}\right \vert=\sqrt{N_y^2+N_z^2}=mg\left(3 \cos \theta -2 \cos \theta_0\right)\sqrt{\cos^2 \theta +\sin^2\theta}=mg\left(3 \cos \theta -2 \cos \theta_0\right), \end{equation*}

come ottenuto in precedenza.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri un pendolo costituito da una molla di lunghezza a riposo \ell e costante elastica k, attaccata ad una parete orizzontale (vedi figura 5), al cui estremo libero è appesa una massa m. Si scriva la lagrangiana del sistema usando le coordinate x e \theta, dove \ell+x è la lunghezza della molla e \theta l’angolo formato con la verticale verso il basso, come in figura 5. Si determinino le equazioni di Eulero-Lagrange corrispondenti.

\[\quad\]

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Figura 5: schema del problema.

\[\quad\]

Richiami teorici.

Dato un sistema fisico composto da M punti materiali in N dimensioni sottoposti ad un potenziale U(\bm{q},t), dove \bm{q} e \dot{\bm{q}} sono rispettivamente il vettore delle coordinate generalizzate e delle velocità generalizzate del punto, si definisce lagrangiana del sistema e si indica con \mathcal{L}(\bm{q},\dot{\bm{q}},t) la quantità

(44) \begin{equation*} \mathcal{L}(\bm{q},\dot{\bm{q}},t)=T(\bm{q},\dot{\bm{q}})-U(\bm{q},t), \end{equation*}

dove T(\bm{q},\dot{\bm{q}}) è l’energia cinetica totale del sistema.

Se il sistema è conservativo U non dipende dal tempo e pertanto \mathcal{L} non dipende dal tempo.

Fornita la lagrangiana del sistema, le equazioni di Eulero-Lagrange sono date da

(45) \begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left(\bm{\nabla}_{\dot{q}}\mathcal{L}\left(\bm{q},\dot{\bm{q}},t\right)\right)-\bm{\nabla}_q \mathcal{L}\left(\bm{q},\dot{\bm{q}},t\right)=\bm{0} \end{equation*}

Come noto dai corsi di meccanica, la forza elastica è una forza conservativa. Pertanto è possibile definire un’energia potenziale associata a essa, nota come energia potenziale elastica U_{el}. Siano k e l_1 rispettivamente la costante elastica e la lunghezza della molla, vale la legge

(46) \begin{equation*} U_{el}(x)=\frac{1}{2}k\,(l-l_1)^2 \end{equation*}

dove l è la lunghezza a riposo.


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