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La legge di gravitazione universale: teoria

Gravitazione in Meccanica classica

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Anna D’Addio, Federico Manzoni.

Revisori: Andrea Corradini, Alberro Cella, Nicola Fusco.


 
 

Introduzione

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La legge di gravitazione universale, formulata dal fisico inglese Isaac Newton, descrive precisamente la forza gravitazionale che agisce tra due corpi, in funzione della loro massa e della reciproca distanza.

In questo articolo, mostriamo come essa si possa ricavare a partire dalle leggi di Keplero e ne illustriamo il significato. Discutiamo infine della differenza tra la cosiddetta massa inerziale e massa gravitazionale.


 
 

La legge di gravitazione universale

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Newton cercò di formalizzare matematicamente le leggi di Keplero. Ripercorriamo il suo ragionamento, assumendo per semplicità che le orbite dei pianeti siano circolari (i pianeti del Sistema Solare hanno piccole eccentricità e quindi sono con buona approssimazione circolari). L’ipotesi di circolarità congiunta alla costanza della velocità areolare implica che il moto sia circolare uniforme, infatti

(1) \begin{equation*} \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{1}{2}\,r^2\,\dfrac{d\theta}{dt}=\text{costante}_1\,\Rightarrow\,\dfrac{d\theta}{dt}=\text{costante}_2 \end{equation*}

dove \text{costante}_1\neq\text{costante}_2. Siccome il pianeta, che schematizziamo come un punto materiale, si muove di moto circolare uniforme intorno al Sole, la forza agente su di esso deve produrre un’accelerazione puramente centripeta \vec{a}_r che, dalla formula di Binet risulta essere \vec{a}_r=-r\bigg(\dfrac{d\theta}{dt}\bigg)^2 \hat{r}.

Per il secondo principio di Newton il pianeta è soggetto dunque alla forza

(2) \begin{equation*} F=m\,a_r=m\,\omega^2\,r=m\,\left(\dfrac{4\,\pi^2}{T^2}\right)\,r, \end{equation*}

dove m è la massa del pianeta, T è il periodo, \omega=\dfrac{d\theta}{dt} è la velocità angolare e r è la distanza tra il pianeta e il Sole, entrambi supposti puntiformi. Usiamo ora la terza legge di Keplero T^2=k\,r^3, dove il semiasse maggiore dell’orbita si identifica con il raggio della circonferenza e sostituendo T^2 si ha

(3) \begin{equation*} F=\dfrac{4\pi^2}{k}\,\dfrac{m}{r^2}. \end{equation*}

Abbiamo dimostrato che, assumendo valide le leggi di Keplero, la forza che esercita il Sole sui pianeti è inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza dal Sole.

\[\quad\]

Figura 1: rappresentazione di un pianeta in moto circolare uniforme attorno al Sole.

\[\quad\]

Per determinare il valore di k, applichiamo il terzo principio della dinamica al sistema Terra-Sole. Il modulo della forza gravitazionale F_{S,T} esercitata dal Sole sulla Terra sarà

(4) \begin{equation*} F_{S,T}=\dfrac{4\pi^2}{k_T}\,\dfrac{m_T}{r^2}, \end{equation*}

dove k_T è la costante di proporzionalità per la Terra, m_T è la massa terrestre e r la distanza Terra-Sole. Il modulo della forza gravitazionale F_{T,S} esercitata dalla Terra sul Sole sarà

(5) \begin{equation*} F_{T,S}=\dfrac{4\pi^2}{k_S}\,\dfrac{m_S}{r^2}, \end{equation*}

dove k_S è la costante di proporzionalità per il Sole e m_S è la massa solare. Le forze F_{S,T} e F_{T,S} sono uguali in modulo per il principio di azione e reazione, e dalla loro uguaglianza scaturisce la relazione

(6) \begin{equation*} F_{T,S}=F_{S,T} \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{4\pi^2}{k_T}\,\dfrac{m_T}{r^2}=\dfrac{4\pi^2}{k_S}\,\dfrac{m_S}{r^2}, \end{equation*}

ovvero

(7) \begin{equation*} \dfrac{m_T}{k_T}=\dfrac{m_S}{k_S}\qquad \Rightarrow \qquad m_T\,k_S=m_S\,k_T. \end{equation*}

Definiamo

(8) \begin{equation*} G=\dfrac{4\pi^2}{m_Tk_S}=\dfrac{4\pi^2}{m_Sk_T}. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (8) con l’equazione (4), otteniamo

(9) \begin{equation*} \begin{cases} F_{S,T}=\dfrac{4\pi^2}{k_T}\,\dfrac{m_T}{r^2}\\[10pt] 4\pi^2=m_Sk_TG,\\ \end{cases} \end{equation*}

da cui

(10) \begin{equation*} F_{S,T}=\dfrac{(m_Sk_TG)m_T}{k_Tr^2}=G\dfrac{m_Sm_T}{r^2}. \end{equation*}

Mettendo a sistema l’equazione (8) con l’equazione (5), otteniamo

(11) \begin{equation*} \begin{cases} F_{T,S}=\dfrac{4\pi^2}{k_S}\,\dfrac{m_S}{r^2}\\[10pt] 4\pi^2=m_Tk_SG,\\ \end{cases} \end{equation*}

da cui

(12) \begin{equation*} F_{T,S}=\dfrac{(m_Tk_SG)m_S}{k_SAr^2}=G\dfrac{m_Sm_T}{r^2}. \end{equation*}

Si conclude che

(13) \begin{equation*} F_{T,S}=F_{S,T}\qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{4\pi^2}{k_T}\,\dfrac{m_T}{r^2}=\dfrac{4\pi^2}{k_S}\,\dfrac{m_S}{r^2}=G\,\dfrac{m_S\,m_T}{r^2}. \end{equation*}

Inoltre, esprimendo la forza che la Terra esercita sul Sole in forma vettoriale, si ha

(14) \begin{equation*} \vec{F}_{T,S}=G\,\dfrac{m_S\,m_T}{r^2}\,\hat{r}, \end{equation*}

mentre, sul Sole, abbiamo

(15) \begin{equation*} \vec{F}_{S,T}=-G\,\dfrac{m_S\,m_T}{r^2}\,\hat{r}, \end{equation*}

dove \hat{r} è il versore nella direzione della congiungente tra il Sole e la Terra il cui verso è dal Sole alla Terra. Newton intuì che tale legge è del tutto generale ed applicabile a due corpi qualsiasi aventi massa m_1 e m_2, e formulò la legge di gravitazione universale: tra due corpi aventi masse qualsiasi m_1 e m_2 di dimensioni trascurabili rispetto alla loro distanza agisce una forza attrattiva diretta lungo la congiungente dei rispettivi centri di massa, con modulo proporzionale al prodotto delle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanze. La forza che m_1 esercita su m_2 sarà dunque

(16) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ \vec{F}_{1,2}=-G\,\dfrac{m_1\,m_2}{r^2}\,\hat{r}, } \end{equation*}

dove il segno meno indica il carattere attrattivo della forza e \hat{r} è il versore nella direzione della congiungente tra il corpo m_1 e il corpo m_2 il cui verso è dal corpo m_1 al corpo m_2. Per quanto detto, \vec{F}_{1,2}=-\vec{F}_{2,1}.

\[\quad\]

Figura 2: forza attrattiva tra due corpi aventi masse m_{1} e m_{2}.

\[\quad\]

La costante G è detta costante di gravitazione universale. Essa ha dimensioni [G]\equiv[M^{-1}\,L^3\,T^{-2}] e l’unità di misura nel SI è \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}. Essa fu misurata sperimentalmente da Cavendish1 (Nizza, 1731 – Londra, 1810) nel 1798, che si servì di una bilancia di torsione2 per studiare l’attrazione tra due masse sferiche:

(17) \begin{equation*} G=6\text{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}. \end{equation*}

Determinato il valore di G è possibile determinare il valore della massa terrestre e degli altri corpi celesti.

   

  1. Henry Cavendish è stato un chimico e fisico inglese. Si interessò allo studio dei gas, isolò l’idrogeno e riuscì nella sintesi dell’acqua. Fu in grado di misurare la costante di gravitazione universale, deducendo la densità media della Terra (1798). ↩

    2.    

    1. La bilancia di torsione è uno strumento di misura della fisica sperimentale utilizzato per misurare il momento torcente risultante dall’applicazione di una o più forze ai suoi bracci. I bracci sono sospesi tramite un filo di materiale rigido, ad esempio quarzo, che entra in torsione quando essi ruotano sotto l’azione delle forze esterne. L’angolo per il quale si raggiunge l’equilibrio tra il momento torcente da misurare e la reazione del filo sottoposto a torsione si può determinare con grande precisione. Tale angolo permette di risalire al valore del momento da misurare, essendo ad esso proporzionale secondo una costante dipendente dalle proprietà del filo. ↩

 
 

Massa inerziale e massa gravitazionale

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