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Il teorema di Gauss per il campo gravitazionale

Gravitazione in Meccanica classica

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Anna D’Addio, Federico Manzoni.

Revisori: Andrea Corradini, Alberro Cella, Nicola Fusco.


 
 

Introduzione

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Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa, che delimita cioè una regione di spazio limitata, è proporzionale alla somma delle masse contenute in tale regione. Esso è quindi un potente strumento della Fisica e più in generale del calcolo differenziale, che consente la determinazione del campo gravitazionale prodotto da diverse distribuzioni di massa.

In questo articolo presentiamo il teorema e la sua spiegazione, per poi applicarlo al fine di determinare il campo gravitazionale prodotto da distribuzioni di massa sferiche.


 
 

Il teorema di Gauss

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Consideriamo un certo numero di masse m_1,\,\dots\,,m_n all’interno di una superficie chiusa \Sigma come rappresentato in figura 1.

\[\quad\]

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Figura 1: sistema di n masse all’interno di una superficie chiusa \Sigma.

\[\quad\]

Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa \Sigma è proporzionale alla somma delle masse in essa contenuta:

\[\quad\]

Teorema 1 (Teorema di Gauss). Date n masse dentro una superficie chiusa \Sigma, il flusso totale del campo gravitazionale da esse prodotto attraverso tale superficie è proporzionale alla somma delle masse in essa contenuta, cioè

(1) \begin{equation*} \Phi_{\Sigma}(\vec{g})=-4\pi\,G\sum_{k=1}^n\,m_k. \end{equation*}

\[\quad\]

Prima di procedere alla dimostrazione, è utile richiamare i concetti di flusso di un vettore e di angolo solido. Per definire il flusso consideriamo un campo vettoriale \vec{F}=\vec{F}(x,y,z)=(F_x,F_y,F_z) e una superficie infinitesima d\Sigma, della superficie chiusa \Sigma, come nella figura 2. Si definisce flusso del campo vettoriale \vec{F} attraverso d\Sigma la quantità scalare:

(2) \begin{equation*} d\Phi_{d\Sigma}(\vec{F})=\vec{F}\cdot\hat{n}\,d\Sigma, \end{equation*}

con \hat{n} versore normale alla superficie che assumiamo orientato esternamente per convenzione e il campo vettoriale \vec{F} è calcolato nello stesso punto in cui è applicato \hat{n}.

\[\quad\]

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Figura 2: superficie infinitesima d\Sigma.

\[\quad\]

Ipotizziamo ora di inserire una massa m all’interno di una superficie chiusa; il flusso del campo gravitazionale \vec{g} generato da m sarebbe dato da:

(3) \begin{equation*} d\Phi_{d\Sigma}(\vec{g})=-\dfrac{G\,m}{r^2}\,\hat{r}\cdot\hat{n}\,d\Sigma=-\dfrac{G\,m}{r^2}\,\cos \alpha\,d\Sigma=-\dfrac{G\,m}{r^2}\,d\Sigma_n, \end{equation*}

dove \hat{r} è il versore orientato nella direzione del campo gravitazionale, \alpha è l’angolo tra i due versori \hat{r} e \hat{n}, e d\Sigma_n=\cos\,\alpha\,d\Sigma è la proiezione della superficie d\Sigma nella direzione del campo. Introduciamo l’estensione delle coordinate polari al caso di tre dimensioni: le coordinate sferiche. L’idea è quella di descrivere lo spazio come sfere concentriche di raggio sempre crescente1. Con riferimento alla figura 3, in coordinate sferiche, ogni punto P dello spazio tridimensionale è identificato dalla terna (r,\theta,\phi) in cui r è la distanza radiale dall’origine degli assi del sistema cartesiano Oxyz, \theta è l’angolo polare mentre \phi è l’angolo azimutale.

\[\quad\]

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Figura 3: rappresentazione di un punto in coordinate sferiche.

\[\quad\]

La relazione che intercorre tra le coordinate sferiche e le coordinate cartesiane è

(4) \begin{equation*} {\begin{cases} x=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\ y=r\sin \theta \,\sin \varphi , \\z=r\cos \theta, \end{cases}} \end{equation*}

in cui r \in [0,\infty), \, \theta \in [0,\pi], \, \phi \in [0,2\pi).

Possiamo ora introdurre il concetto di angolo solido pensando ad un’estensione a tre dimensioni dell’angolo piano. Consideriamo il seguente angolo piano \theta, delimitato da due semirette uscenti da O, il centro di un cerchio di raggio r. La lunghezza s di un arco di circonferenza sotteso dai due raggi r che formano un angolo \theta (espresso in radianti) fra loro è definita da

(5) \begin{equation*} s=r\,\theta \end{equation*}

\[\quad\]

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Figura 4: angolo piano \theta delimitato da due semirette uscenti da O.

\[\quad\]

Differenziando la definizione (5) si ottiene, per un arco infinitesimo ds,

(6) \begin{equation*} ds=r\,d\theta, \end{equation*}

dove d\theta è l’angolo infinitesimo sotteso da ds. La definizione (5) si può estendere anche ad un arco d\tilde{s} formante l’angolo \alpha con ds (vedere figura 5). Il legame tra le lunghezze degli archi è ds=d\tilde{s}\,\cos \alpha, dove \alpha è l’angolo compreso tra ds e d\tilde{s} definito come l’angolo compreso tra le tangenti agli archi nel punto d’intersezione. Dunque si può esprimere l’angolo infinitesimo d\theta come

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(7) \begin{equation*} d\theta=\dfrac{ds}{r}=\dfrac{d\tilde{s}\,\cos \alpha}{r}. \end{equation*}

\[\quad\]

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Figura 5: arco d\tilde{s} formante l’angolo \alpha con l’arco ds.

\[\quad\]

L’unità di misura dell’angolo piano è il radiante, corrispondente all’angolo per cui s=r. Se s coincide con la lunghezza della circonferenza, 2\pi\,r, l’angolo corrispondente vale 2\pi radianti, che è il valore massimo possibile.

Nel caso tridimensionale, figura 6, consideriamo l’angolo solido infinitesimo d\Omega che è così definito: data una superficie d\Sigma e la sua proiezione d\Sigma_n ortogonale al raggio uscente da un punto O e passante per d\Sigma si chiama angolo solido la quantità

(8) \begin{equation*} d\Omega=\dfrac{d\Sigma\,\cos\alpha}{r^2}=\dfrac{d\Sigma_n}{r^2}. \end{equation*}

\[\quad\]

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Figura 6: rappresentazione tridimensionale dell’angolo solido d\Omega in cui \hat{n} è il versore normale (uscente per convenzione) dell’elemento di superficie d\Sigma e \hat{r} il versione radiale uscente.

\[\quad\]

Per calcolare l’elemento di calotta sferica d\Sigma_n consideriamo il seguente triangolo rettangolo OO'A rettangolo in O', e sia OA=r.

\[\quad\]

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Figura 7: triangolo rettangolo OO'A.

\[\quad\]

Si noti che O'A=r\,\sin \theta. Ora spostiamo OA di un angolo infinitesimo d\theta e O'A di un angolo infinitesimo d\phi in maniera tale che le direzioni di questi due spostamenti siano ortogonali. Con riferimento alla figura 8, nello spostare OA, il punto A viene mandato nel punto B mentre, nello spostare O'A, il punto A viene mandato in D. Questo ci consente di costuire, sempre con riferimento alla figura 8, una calotta infinitesima i cui vertici sono i punti A, B, C e D che formano gli archi infinitesimi d\overset{\frown}{AB}, d\overset{\frown}{BC}, d\overset{\frown}{CD}, d\overset{\frown}{DA}.

\[\quad\]

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Figura 8: calotta infinitesima d\Sigma delimitata dagli gli archi infinitesimi d\overset{\frown}{AB}, d\overset{\frown}{BC}, d\overset{\frown}{CD} e d\overset{\frown}{AD}.

\[\quad\]

Si ha d\overset{\frown}{DA}=O'A\,d\phi=r\,\sin \theta d\phi e d\overset{\frown}{AB}=r\,d\theta. Ancora con riferimeto alla figura 8, la superficie dell’elemento di calotta sferica d\Sigma delimiitato dagli archi infinitesimi d\overset{\frown}{AB}, d\overset{\frown}{BC}, d\overset{\frown}{CD} e d\overset{\frown}{DA} può essere approssimata dall’area del rettangolo delimitato da d\overset{\frown}{AB} e d\overset{\frown}{DA}

\[\begin{aligned} d\Sigma_n=(d\overset{\frown}{AB})(d\overset{\frown}{DA})&=(r\,d\theta)\,(r\sin\,\theta\,d\varphi)=\\ &=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. \end{aligned}\]

Dunque, come fatto in precedenza, definiamo l’angolo solido

(9) \begin{equation*} d\Omega=\dfrac{d\Sigma_n}{r^2}=\dfrac{r^2\sin\,\theta\,d\theta\,d\phi}{r^2}=\sin\,\theta\,d\theta\,d\phi. \end{equation*}

La (9) esprime l’angolo solido sotto cui dal punto O si vede il contorno ABCD della superficie d\Sigma_n; risulta che d\Omega non dipende dal raggio. Possiamo dire che l’angolo solido misura la parte di spazio entro un fascio di semirette uscenti da O, così come l’angolo piano dà una misura della parte di piano compresa tra due semirette uscenti da O. Per calcolare il flusso di \vec{g} dovuto alla massa m all’interno della superficie chiusa \Sigma, occorre integrare l’equazione (3)

(10) \begin{equation*} d\Phi_{d\Sigma}(\vec{g})=-G\,m\,\sin \theta \,d\theta\,d\phi. \end{equation*}

su tutta la superficie chiusa. In altri termini, occorre calcolare un integrale doppio in cui si fa variare, come da definizione delle coordinate sferiche, l’angolo \theta tra 0 e \pi e l’angolo \phi tra 0 e 2\pi

(11) \begin{equation*} \Phi_{\Sigma}(\vec{g})=-G\,m\int_0^{\pi}\sin \theta\,d\theta\int_0^{2\pi}d\phi=-G\,m\,2\pi\,(2)=-4\pi G\,m. \end{equation*}

Il risultato appena ottenuto si può generalizzare per n masse, ovvero, come detto in precedenza

(12) \begin{equation*} \Phi_{\Sigma}(\vec{g})=-4\pi\,G(m_1+\dots+m_n). \end{equation*}

Il flusso del campo vettoriale \vec{g} attraverso una superficie chiusa dipende dalle masse m contenute al suo interno. Se non ci sono masse all’interno della superficie, il flusso risulterà nullo. Estendiamo il ragionamento ad una generica distribuzione di massa distibuita, anche non uniformemente, su di una superficie chiusa S. Si definisce densità superficiale di massa la grandezza

(13) \begin{equation*} \sigma=\dfrac{dm}{d{S}}. \end{equation*}

Dunque, la massa m si ottiene integrando dm su tutta la superficie {S} sulla quale essa è distribuita:

(14) \begin{equation*} dm=\sigma\,d{S}\quad \Rightarrow \quad m=\iint_{{S}}\sigma\,d{S}. \end{equation*}

Dalla espressione del flusso (11), sfruttando l’equazione (14) si ha

(15) \begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=-4\pi G\iint_{S}\sigma\,d{S} \end{equation*}

in cui come superficie gaussiana per la valutazione del flusso è stata scelta una superficie \Sigma che contiene la superficie su cui è distribuita la massa, ossia S \subseteq \Sigma.

Se invece la distibuzione di massa si trova in una regione di spazio di volume non nullo V, definiamo

(16) \begin{equation*} \rho=\dfrac{dm}{dV} \end{equation*}

come densità volumetrica. Integrando su tutto il volume, la legge di Gauss prende la seguente forma

(17) \begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=-4\pi G\iiint_{V}\rho\,dV, \end{equation*}

come superficie gaussiana per la valutazione del flusso è stata scelta una superficie \Sigma che contiene la regione di spazio V entro cui è distribuita la massa.    

  1. In analogia alle coordinate polari in cui il piano è descritto come cerchi circonferenze concentriche di raggio sempre crescente. ↩

 
 

Applicazioni del teorema di Gauss

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Come prime applicazioni del teorema di Gauss possiamo calcolare il campo gravitazionale generato da una distibuzione superficiale di massa distibuita su di una sfera o il campo gravitazionale generato da una distibuzione volumetrica di massa distibuita nella regione di spazio racchiusa da una sfera, ossia distibuita dentro una palla.

Consideriamo una massa m distribuita in modo uniforme su una superficie sferica di raggio R, superficie S e con densità costante \sigma=\dfrac{m}{S}. Osservando la figura 9 si deduce che il campo gravitazionale nel punto P è radiale: esso è dovuto alla somma di contributi infinitesimi simmetrici provenienti da elementi di massa infinitesimi simmetrici, eguali in modulo, che danno risultante radiale; se così non fosse, \sigma non sarebbe costante.

\[\quad\]

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Figura 9: campo in un punto P generato da una distribuzione uniforme di massa su una superficie sferica di raggio R. Nella figura d\vec{g}_- è l’elemento infinitesimo di campo gravitazionale prodotto dall’elemento di massa infinitesimo dm al di sotto dell’equatore. Analogamente, d\vec{g}_+ è l’elemento infinitesimo di campo gravitazionale prodotto dall’elemento di massa infinitesimo dm al di sopra dell’equatore. I due contibuti d\vec{g}_- e d\vec{g}_+ saranno vettorialente uguali se gli elementi di massa infinitesima dm giacciono entrambi sull’equatore.

\[\quad\]

In qualsiasi altro punto avente la stessa distanza di P dal centro della superficie sferica, la situazione è la stessa: il campo \vec{g} è radiale e il suo modulo dipende solo dalla distanza dal centro r:

(18) \begin{equation*} \vec{g}(r)=-g(r)\,\hat{r}. \end{equation*}

Per calcolare \vec{g}(r) utilizziamo il teorema di Gauss scegliendo come superficie di integrazione una superficie sferica {\Sigma} concentrica a m e di raggio r\geq R; sui punti di tale superficie il campo avrà lo stesso valore. Da una parte, poiché il versore normale usente \hat{n} coicide col versore radiale \hat{r} e quindi \hat{r} \cdot \hat{n}=1 si ha

(19) \begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=\iint_{{\Sigma}}\vec{g}\cdot\hat{n}\,d{\Sigma}=-g(r)\iint_{{\Sigma}}d{\Sigma}=-4\pi\,r^2\,g(r) \end{equation*}

e dall’altra, sfruttato il teorema di Gauss, abbiamo

(20) \begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=-4\pi\,G\,m. \end{equation*}

Eguagliando le equazioni (19) e (20) si ottiene il modulo del campo gravitazionale cercato, da cui

(21) \begin{equation*} \vec{g}(r)=-G\,\dfrac{m}{r^2}\hat{r}, \end{equation*}

che coincide con il campo gravitazionale generato da una massa puntiforme m posta nel centro della superficie sferica S. Il risultato vale per r\geq R; all’interno della superficie sferica, ossia per r<R, qualsiasi superficie gaussiana scelta per la valutazione del flusso, non contiene massa e dunque il flusso attraverso di essa è nullo: deve quindi essere \vec{g}=0 ovunque. Il grafico del modulo del campo gravitazionale di una massa distribuita uniformemente su una superficie sferica di raggio R è rappresentato in figura 10: si osservi che il campo è discontinuo per r=R, cioè nell’attraversare la massa.

\[\quad\]

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Figura 10: grafico del campo gravitazionale g(r) di una massa distribuita uniformemente su una superficie sferica di raggio R.

\[\quad\]

Analizziamo ora il caso in cui m è distribuita con densità volumetrica costante \rho=\dfrac{m}{V} in tutto il volume V di una sfera di raggio R. Grazie al teorema di Gauss possiamo concludere che il risultato all esterno della sfera, ossia per r \geq R, è lo stesso del caso precedente

(22) \begin{equation*} \vec{g}(r)=-G\dfrac{m}{r^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\text{per}\,r\geq R. \end{equation*}

Studiamo il caso r<R; all’interno di una superficie sferica {\Sigma} di raggio r<R, ci sarà una massa m'<m.

\[\quad\]

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Figura 11: superficie di integrazione {\Sigma} di raggio r<R.

\[\quad\]

Dato che la massa è distribuita in modo omogeneo, ossia la densità volumetrica di massa è costante, si ha

(23) \begin{equation*} \dfrac{m'}{\dfrac{4}{3}\pi r^3}=\dfrac{m}{\dfrac{4}{3}\pi R^3} \quad \Rightarrow \quad m'=\dfrac{r^3}{R^3}\,m. \end{equation*}

Sui punti di \Sigma il campo avrà lo stesso valore. Da una parte, poiché il versore normale uscente \hat{n} coicide col versore radiale \hat{r} e quindi \hat{r} \cdot \hat{n}=1 si ha

(24) \begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=\iint_{{\Sigma}}\vec{g}\cdot\hat{n}\,d{\Sigma}=-g(r)\iint_{{\Sigma}}d{\Sigma}=-4\pi\,r^2\,g(r) \end{equation*}

e dall’altra, sfruttato il teorema di Gauss per il caso 0<r<R in cui quindi la massa racchiusa dalla superficie gaussiana \Sigma è m', abbiamo

(25) \begin{equation*} \Phi_{{\Sigma}}(\vec{g})=-4\pi\,G\,m'. \end{equation*}

Eguagliando le equazioni (24) e (25) si ha

(26) \begin{equation*} -4\pi\,r^2\,g(r)=-4\pi\,G\,m', \end{equation*}

da cui, sfruttando la (23), si ottiene

(27) \begin{equation*} 4\pi\,r^2\,g(r)=4\pi\,G\left(\dfrac{r^3}{R^3}\,m\right), \end{equation*}

conseguentemente

(28) \begin{equation*} g(r)=\dfrac{G\,r}{R^3}\,m \qquad \text{per}\,\,\,0<r<R. \end{equation*}

Dunque, il campo all’interno di una sfera omogenea cresce linearmente con la distanza dal raggio: il grafico di g(r) è mostrato in figura 12.

\[\quad\]

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Figura 12: grafico del campo gravitazionale g(r) generato da una distribuzione sferica omogenea di massa.

\[\quad\]

La relazione (28) è una dimostrazione di come una massa estesa possa generare un campo che non ha l’andamento 1/r^2 come quello generato da una massa puntiforme.

Questo risultato ci consente di dimostrare che una massa puntiforme m_p posta all’interno della sfera subirebbe una forza di tipo elastico; infatti

(29) \begin{equation*} \vec{F}=m_p\,\vec{g}=-G\,\dfrac{m\,m_p}{R^3}r\,\hat{r}=-k_{\text{eff}}\,r\,\hat{r}, \end{equation*}

in cui k_{eff} è la costante elastica efficace dovuta all’attrazione gravitazionale che tende a riportare il corpo nella sua posizione di equilibrio al centro della sfera. Immaginiamo di scavare, lungo un diametro della sfera, un foro e di abbandonare sulla superficie una massa puntiforme con velocità nulla; essa si muoverebbe di moto armonico semplice2.

Un’altra conseguenza è che la forza gravitazionale tra due sfere omogenee di masse m_1 e m_2 poste a distanza r tra i loro centriè uguale alla forza gravitazionale tra due masse puntiformi m_1 e m_2 poste alla stessa distanza r.

Le proprietà discusse in questa sezione sono una conseguenza del teorema di Gauss, per cui valgono per tutti i campi il cui modulo ha andamento 1/r^2, come ad esempio il campo elettrostatico.

   

  1. Si definisce oscillatore armonico un corpo che si muove di moto armonico, ovvero un corpo sul quale agisce una forza proporzionale allo spostamento e di verso opposto rispetto ad esso. Un esempio di oscillatore armonico è un oggetto di massa m agganciato ad una molla di costante elastica k. Scrivendo l’equazione del moto di tale corpo arriviamo ad un’equazione diffenziale del tipo

    (30) \begin{equation*} \dfrac{d^2x}{dt^2}+\dfrac{k}{m}\,x=0. \end{equation*}

    L’equazione del moto di una massa puntiforme m_p posta all’interno della sfera ha la stessa struttura dell’equazione dell’oscillatore armonico semplice, come possiamo osservare dalla relazione (29). ↩