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Campo gravitazionale: teoria

Gravitazione in Meccanica classica

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Anna D’Addio, Federico Manzoni.

Revisori: Andrea Corradini, Alberro Cella, Nicola Fusco.


 
 

Introduzione

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Il campo gravitazionale fornisce una descrizione della forza che una massa di prova unitaria proverebbe in un determinato punto dello spazio in presenza di oggetti dotati di massa, che producono cioè delle forze gravitazionali.

In questo articolo, dopo una definizione rigorosa del campo gravitazionale, ne descriviamo l’espressione esplicita e la applichiamo a un esercizio completamente svolto.


 
 

Campo gravitazionale

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Consideriamo due corpi di massa m_1 e m_2 e riscriviamo le forze con cui si attraggono come

(1) \begin{equation*} \vec{F}_{1,2}=m_2\left(-G\dfrac{m_1}{r^2}\,\hat{r}\right)=m_2\vec{g}_1 \end{equation*}

e

(2) \begin{equation*} \vec{F}_{2,1}=-m_1\left(-G\dfrac{m_2}{r^2}\,\hat{r}\right)=-m_1\vec{g}_2. \end{equation*}

Dunque \vec{F}_{1,2} è riscrivibile come il prodotto tra m_2 e un vettore \vec{g}_1=-G\,\dfrac{m_1}{r^2}\,\hat{r} completamente indipendente dalla massa m_2; analogamente per \vec{F}_{2,1} definiamo \vec{g}_2=-G\,\dfrac{m_2}{r^2}\,\hat{r} completamente indipendente dalla massa m_1.

\[\quad\]

Figura 1: rappresentazione dei campi gravitazionali \vec{g}_{1} e \vec{g}_{2}.

\[\quad\]

La grandezza vettoriale \vec{g}, che si può definire per un generico corpo avente massa m_i, è detta campo gravitazionale \vec{g}_i. Date N masse puntiformi, il campo gravitazionale totale \vec{g}_T in un punto P dello spazio è dato dalla somma vettoriale dei singoli contributi per il principio di sovrapposizione degli effetti, cioè

(3) \begin{equation*} \vec{g}_T= \vec{g}_1+\dots+\vec{g}_N=\sum_{i=1}^N\vec{g}_i=\sum_{i=1}^N\left(-G\dfrac{m_i}{r_i^2}\,\hat{r}_i\right). \end{equation*}

Nella figura che segue rappresentiamo la situazione fisica descritta.

\[\quad\]

Figura 2: rappresentazione del campo gravitazionale totale in un punto P.

\[\quad\]

Consideriamo ora un corpo esteso C1 contenente una massa m e calcoliamo il campo gravitazionale da essa prodotto in un punto P dello spazio. Quello che si vuol fare, a differenza della formula (3) che vale per il caso discreto, è trovare una formula analoga per il caso di un corpo esteso.

\[\quad\]

Figura 3: rappresentazione di un corpo esteso suddiviso in infinite masse dm.

\[\quad\]

Possiamo immaginare la massa m come la somma di infinite masse dm, tale per cui ognuna di esse produca un campo d\vec{g} nello spazio, cioè

(4) \begin{equation*} d\vec{g}=-\dfrac{G}{r^2}\,dm\,\hat{r}, \end{equation*}

dove r è la distanza tra la massa dm e il punto P, come rappresentato nella figura di sopra. Il campo totale si ottiene integrando la (4) su tutti i contributi:

(5) \begin{equation*} \vec{g}=-G\int_C\dfrac{dm}{r^2}\hat{r}. \end{equation*}

Questo campo è una funzione del punto P ma dipende solo dalla distanza radiale tra il punto P e l’elemento di massa infinitesima dm. Usando la relazione dm=\rho\,d\tau, dove \rho è la densità volumica di massa e d\tau è il volume infinitesimo occupato dalla massa dm, si ha

(6) \begin{equation*} \vec{g}=-G\,\int_{\tau}\,\rho\,\dfrac{d\tau}{r^2}\hat{r}. \end{equation*}

Si considerino due corpi estesi C_1 e C_2 di masse m_1 e m_2. La forza tra di essi si ottiene in un modo analogo calcolando in ciascun elemento di m_2 la forza infinitesima d\vec{F}_{1,2}=dm_2\,\vec{g}_1, dove \vec{g}_1 è il campo gravitazionale associato al corpo C_1 e avente la forma di (5).

\[\quad\]

Figura 4: rappresentazione della forza d’attrazione tra due corpi estesi C_{1} e C_{2}.

\[\quad\]

   

  1. Ricordiamo la distinzione tra punto materiale e corpo esteso. Un punto materiale è un oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui si trova. Un punto materiale è una descrizione semplificata di un oggetto reale, che è schematizzato come un punto geometrico dotato di massa. Invece un corpo esteso è un oggetto le cui dimensioni e la cui struttura non possono essere trascurate. I corpi estesi si distinguono a loro volta in corpi estesi elastici e corpi rigidi. Si definisce corpo elastico un corpo che si deforma sotto l’azione di una forza, ma quando l’azione termina, riprende la forma iniziale. Si definisce corpo rigido un corpo che non si deforma: in un corpo rigido la distanza tra due punti qualsiasi rimane invariata quando sono applicate ad esso delle forze. ↩

 
 

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