Note sulla relatività ristretta

Fondamenti relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze

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La relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze

Nella relatività Ristretta, presentiamo alcune note con particolare attenzione alle trasformazioni di Lorentz e alle principali conseguenze che ne derivano, come la revisione del concetto di tempo e spazio assoluti sostenuti da Newton, la perdita del carattere di assolutezza della simultaneità tra due eventi e la non applicabilità delle trasformazioni di Galileo a velocità prossime a quella della luce. Queste brevi note non sono complete, pertanto invitiamo il lettore a consultare testi specializzati, ma sono esaurienti per un corso di Fisica I.

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Autori e revisori sulla relatività ristretta

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisore: Alberto Cella.

Introduzione sulla relatività ristretta

Mostra introduzione.

Le previsioni della meccanica classica non sono verificate a velocità molto elevate. Infatti l’elegante teoria della meccanica classica venne messa in crisi alla fine del secolo scorso prima a livello teorico e poi dal punto di vista sperimentale. La crisi nacque dall’osservazione di una particolare circostanza relativa alla propagazione della luce. Nelle equazioni di Maxwell, le quali descrivono i fenomeni elettrici e magnetici, compare una costante $c$ che indica la velocità con la quale si propaga un’onda elettromagnetica (in particolare questa costante è presente nell’equazione di Ampere-Maxwell). La domanda che sorge spontanea è chiedersi in quale sistema di riferimento le onde elettromagnetiche si propagano con $\vec{c}$ . Si scoprì che $\vec{c}$ è una velocità assoluta e non una velocità relativa a qualche fenomeno fisico. Di seguito per completezza riportiamo le equazioni di Maxwell sia in forma integrale che differenziale.

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$\begin{array}{lll} & \text{Forma integrale} & \text{Forma differenziale}\\\\ \text{Legge di Gauss} & \displaystyle \oint \vec{E} \cdot \hat{n} \, d{\Sigma} = \dfrac{q}{\varepsilon_0}, &\displaystyle \nabla \cdot \vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}.\\\\ \text{Legge di Faraday} & \displaystyle \oint \vec{E} \cdot d\vec{s} = - \dfrac{d\Phi(\vec{B})}{dt}, & \nabla \times \vec{E} = - \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} .\\\\ \text{Legge di Gauss} & \displaystyle \oint \vec{B} \cdot \hat{n}\, d\Sigma = 0, & \nabla \cdot \vec{B} = 0.\\\\ \text{Ampere-Maxwell} & \displaystyle \oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = \mu_0 \, i + \dfrac{1}{c^2} \, \dfrac{d\Phi(\vec{E})}{dt}, & \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \, \vec{J} + \dfrac{1}{c^2}\, \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}. \end{array}$

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Nel 1905 Einstein propone una teoria chiamata teoria della relatività ristretta. La prima novità è che Einstein postula l’invarianza in forma delle leggi fisiche che descrivono tutti i fenomeni, non solo meccanici ma anche elettromagnetici, in tutti i sistemi di riferimento inerziali. La seconda novità introdotta da Einstein è il postulato della invarianza della velocità della luce (sempre pari a $c$ ), indipendentemente dal sistema di riferimento, in contrasto con le trasformazioni di Galileo. In questo modo Einstein dimostra che la sua teoria riproduce di fatto la teoria della relatività di Galileo a basse velocità (principio di corrispondenza): le trasformazioni di Galileo vengono sostituite con quelle di Lorentz e queste si riducono alle trasformazioni di Galileo nell’ipotesi in cui $V/c \ll 1$ , dove $V$ è il modulo della velocità del sistema di riferimento inerziale. Inoltre la relatività ristretta predice una nuova classe di fenomeni trovando ampia conferme dal punto di vista sperimentale. Dunque, i principi sul quale si basa la relatività ristretta sono:

Principio di relatività
Le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale.

Principio di costanza della velocità della luce
La velocità della luce è pari a $\vert \vec{c} \, \vert =c = 299792458\,\text{ms}^{-1}\sim 3 \cdot 10^6 \,\text{ms}^{-1}$ in ogni sistema di riferimento.

III principio della dinamica
Dato un sistema isolato la quantità di moto e il momento angolare totale del sistema si conservano.

Osserviamo che 1. e 3. sono principi già presenti nella meccanica classica. La novità è rappresentata da 2. in contrasto con le trasformazioni di Galileo.

Trasformazioni di Galileo

Leggi.

L’Universo è scritto in lingua matematica, e i caratteri son figure geometriche, senza le quali è impossibile intenderne umanamente parola – Il Saggiatore, Roma 1623.

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Si considerino due sistemi di riferimento $K=Oxyz$ e $K'=O'x'y'z'$ , con i rispettivi assi paralleli, entrambi inerziali, ove $K'$ ha una velocità $\vec{V}$ rispetto a $K$ . Senza perdita di generalità supponiamo $O=O'$ in $t=0$ e che $\vec{V} = V \hat{x}$ , dove $\hat{x}$ è il versore dell’asse $x$ . Inoltre, consideriamo un punto $P$ avente distanza $\vec{r}$ e $\vec{r}^{\;'}$ rispettivamente da $K$ e $K'$ . Di seguito rappresentiamo quanto esposto in figura.

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Per la regola del parallelogramma abbiamo

(1) $\begin{equation*} \vec{r} = \vec{r}\;'+\overrightarrow{OO'}=\vec{r}\;'+\vec{V}t, \end{equation*}$

dove abbiamo sfruttato il fatto che $K'$ si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a $K$ . Siano $\hat{x}$ , $\hat{y}$ e $\hat{z}$ i versori rispettivamente dell’asse $x$ , $y$ e $z$ . Esprimendo $\vec{r}$ , $\vec{r}\,'$ e $\vec{V}t$ in funzione dei versori $\hat{x}$ , $\hat{y}$ e $\hat{z}$ , abbiamo

$\vec{r} = x \; \hat{x}+y \; \hat{y}+z \; \hat{z}= x' \; \hat{x}+y'\;\hat{y}+z'\;\hat{z}+Vt\;\hat{x},$

da cui

$\begin{cases} x=x'+Vt\\ y=y'\\ z=z', \end{cases}$

che sono proprio le trasformazioni di Galileo.

Derivando (1) otteniamo

(2) $\begin{equation*} \vec{v} = \vec{V} \;'+\vec{V}, \end{equation*}$

dove $\vec{v}$ è la velocità di $P$ rispetto a $K$ e $\vec{V}\;'$ è la velocità di $P$ rispetto a $K'$ .

Osserviamo che (2) entra in contrasto con il principio di costanza della velocità della luce, infatti per rispettare tale principio deve valere

$\vec{v} = \vec{V}\;' \quad \Leftrightarrow \quad \vec{V}=\vec{0},$

e pertanto tale principio varrebbe solo in un particolare sistema di riferimento e non in tutti.

L’equazione (2) risulta essere vera per velocità molto basse (ovvero molto inferiori alla velocità della luce). Si osservi che nelle trasformazioni di Galileo stiamo usando il concetto di tempo assoluto, ovvero che il tempo scorra in modo uguale nei due sistemi di riferimento $K$ e $K'$ ; con l’assunzione del principio di costanza della velocità della luce è necessario rivedere il concetto di tempo visto fino ad ora, affinché possa valere tale principio ci aspettiamo che nei due sistemi il tempo scorra diversamente. Il concetto di tempo si basa su:

individuazione di uno strumento che compie cicli di durata rigorosamente costante;
possibilità di giudicare la sincronizzazione di due eventi.

Quindi il primo punto si basa sull’individuazione di uno strumento che compie cicli di durata costante, attraverso il quale dati due eventi $A$ e $B$ è possibile misurare il tempo che intercorre tra l’evento $A$ e l’evento $B$ ; il secondo punto si basa sulla possibilità di giudicare la contemporaneità (o sincronismo) di due eventi.

Dal punto di vista operativo si procede come segue: dati due eventi $A$ e $B$ e un orologio, se si è in grado di far partire il conteggio delle oscillazioni dell’orologio in sincrono con l’evento $A$ e di fermarlo in sincronismo con l’evento $B$ diremo che siamo in grado di giudicare la contemporaneità dei due eventi. Cerchiamo di comprendere meglio il concetto di sincronismo.

Siano $A$ e $B$ due eventi che avvengono nello stesso posto.

L’evento $A$ è avvenuto prima di $B$ se $A$ può influenzare $B$ ;
l’evento $B$ è avvenuto prima di $A$ se $B$ può influenzare $A$ ;
i due eventi si dicono contemporanei se nessuno dei due influenza l’altro.

Per confrontare i due eventi abbiamo bisogno di due osservatori. Siano $a$ e $b$ due osservatori che misurano rispettivamente due eventi $A$ e $B$ . Entrambi gli osservatori misurano i due eventi $A$ e $B$ tramite due orologi differenti. Il problema che si pone è come sincronizzare i due orologi contemporaneamente. Il problema sta nell’assicurarsi che non solo essi misurino il tempo allo stesso ritmo (nel senso che non vadano né avanti né indietro uno rispetto all’altro), ma anche che entrambi gli orologi abbiano la stessa origine del tempo, nel senso che, entrambi gli orologi inizino il loro conteggio a partire dallo stesso evento. In poche parole, i due orologi devono partire nello stesso momento (cioè avere la stessa origine dell’asse del tempo) e avere lo stesso numero di cicli (non devono essere sfasati).

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Tecnica del segnale orario

Per regolarizzare orologi lontani si usa la tecnica del segnale orario, cioè si invia un segnale ad entrambi gli orologi, in modo che entrambi gli orologi possano partire in sincronismo con l’arrivo del segnale. Solitamente il segnale è un treno d’onda elettromagnetica, ovvero un segnale radio.

Problema: trovare una procedura per rendere confrontabile il tempo impiegato nel sistema in cui il segnale luminoso raggiunge gli orologi simultaneamente, rispetto al tempo misurato in altri sistemi di riferimento in moto a velocità costante rispetto al primo.

Soluzione: dati due orologi $A$ e $B$ , un modo per sincronizzarli consiste nel disporre l’emettitore del segnale a metà del segmento che congiunge $A$ e $B$ , in modo tale da far partire gli orologi nell’istante in cui il segnale li raggiunge.

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Tramite questa tecnica è possibile sincronizzare sempre i due orologi. Cerchiamo di capire come questa procedura funzioni anche quando consideriamo due sistemi di riferimento diversi aventi velocità pari a $\vec{V}$ non trascurabile, ovvero molto vicino alla velocità della luce.

Si considerino due sistemi di riferimento $\Sigma$ e $\Sigma'$ , dove $\Sigma'$ si muove con velocità $\vec{V}$ non trascurabile rispetto a $\Sigma$ . Supponiamo che i due orologi $A$ e $B$ siano solidali a $\Sigma'$ .

L’orologio $A$ è portato nell’origine $O'$ e $B$ si trova sull’asse $x\equiv x'$ ad una distanza $\Delta x'$ da $O'$ .

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Sperimentatore solidale al sistema in moto

Vogliamo dimostrare che gli orologi $A$ e $B$ sono sincronizzati in $\Sigma$ . Uno sperimentatore solidale a $\Sigma'$ attua la procedura di sincronizzazione degli orologi facendo partire il segnale dal punto di mezzo $C$ . Quando il segnale arriva in $A$ e in $B$ i due orologi partono, per lui, in sincronismo.

Dimostrazione. Nel sistema di riferimento $\Sigma'$ le leggi orarie della luce che è diretta verso $A$ e verso $B$ sono rispettivamente

$\begin{cases} x' = \dfrac{\Delta x'}{2}-ct\\[10pt] \tilde{x}' = \dfrac{\Delta x'}{2}+ct. \end{cases}$

Poniamo $x'(t_A')=0$ per la prima equazione e $\tilde{x}'(t_B')=\Delta x'$ per la seconda equazione, ottenendo

$\begin{cases} 0=\dfrac{\Delta x'}{2}-ct_A'\\[10pt] \Delta x' = \dfrac{\Delta x'}{2}+ct_B, \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} t_A'= \dfrac{\Delta x'}{2c}\\[10pt] t_B'= \dfrac{\Delta x'}{2c}, \end{cases}$

quindi $t_A'=t_B'=t'=\dfrac{\Delta x'}{2c}$ .

Quanto ottenuto dimostra che l’osservatore $\Sigma'$ vede sincronizzare i due orologi.

Ora poniamo un osservatore $S$ solidale con $\Sigma$ .

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Sperimentatore solidale al sistema in quiete

Vogliamo dimostrare la non sincronicità degli orologi nel sistema di riferimento $\Sigma$ . Uno sperimentatore solidale a $\Sigma$ attua la procedura di sincronizzazione degli orologi facendo partire il segnale dal punto di mezzo $C$ . Lui non vedrà sincronizzare i due orologi.

Di seguito l’immagine esplicativa di quello che succede.

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Dimostrazione. Lo sperimentatore $S$ vede quanto segue: mentre il segnale orario procede da $C$ verso gli orologi, il sistema $\Sigma'$ (e con esso i due orologi) si è spostato nel verso positivo dell’asse delle $x$ . Quando la luce arriva nella posizione $A'$ , nella quale l’orologio $A$ nel frattempo si è portato, dall’altro lato arriva nella posizione $B''$ simmetrica ad $A'$ rispetto a $C$ . Nel frattempo l’orologio $B$ si è portato in $B'$ .

Questa semplice trattazione di carattere empirico, dimostra che gli orologi in $\Sigma'$ si sincronizzano, mentre in $\Sigma$ no, poiché chiaramente il segnale luminoso arriverà dopo in $B$ e quindi l’orologio $B$ partirà più tardi.

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Conclusione: il sincronismo degli orologi non è una caratteristica assoluta, ma relativa, cioè dipende dal sistema di riferimento.

Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze nella relatività ristretta

Leggi.

Dilatazione dei tempi

Consideriamo due sistemi inerziali $\Sigma$ e $\Sigma'$ , dove $\Sigma'$ ha velocità relativa $V$ rispetto a $\Sigma$ e due orologi: uno in $O$ solidale con $\Sigma$ e uno in $O'$ solidale con $\Sigma'$ .

Ci chiediamo che relazione intercorre tra il tempo $\Delta t$ che $O$ batte in $\Sigma$ e il tempo $\Delta t'$ che $O'$ batte in $\Sigma'$ quando si osserva da $\Sigma$ ?

Come visto in precedenza, quando abbiamo introdotto le trasformazioni di Galileo, l’accettare le leggi della relatività ristretta non solo implica il fatto che gli orologi non si sincronizzano, ma bisogna rivedere anche il concetto di tempo. Consideriamo due sistemi inerziali $\Sigma$ e $\Sigma'$ , dove $\Sigma'$ ha velocità relativa $V$ rispetto a $\Sigma$ . Inoltre, siano due orologi, uno in $O$ solidale con $\Sigma$ e uno in $O'$ solidale con $\Sigma'$ . Vogliamo stabilire che relazione intercorre tra il tempo che $O$ batte in $\Sigma$ e il tempo $t'$ che $O'$ batte quando si osserva da $\Sigma$ . Immaginiamo di avere due orologi $O$ e $O'$ entrambi che si basano sull’oscillazione di un segnale luminoso, come nella figura che segue.

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L’orologio funziona come segue: un segnale luminoso $s$ viene emesso dalla sorgente $S$ e viene rilevato dal rilevatore $R$ dopo essere stato riflesso dallo specchio $M$ . Si supponga che $S$ e $R$ siano dapprima coincidenti nello stesso punto.

Osservando da un sistema di riferimento solidale con l’orologio il tempo $\Delta t$ impiegato dal raggio $s$ è dato da

$\Delta t = \dfrac{2\ell}{c}.$

Guardando invece l’orologio che si muove, il raggio luminoso (che procede da qualunque punto di osservazione a velocità $c$ ) compie un percorso più lungo, perché mentre il raggio luminoso si muove da $S$ a $R$ passando per $M$ il rilevatore si sposta di un tratto $RR''=SS''$

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Abbiamo dunque

$\Delta t' = \dfrac{2SM'}{c} = \dfrac{2}{c}\sqrt{\ell^2+SS'^2}.$

Inoltre, sapendo che $SS''=V\Delta t'$ (o anche $SS'=V\Delta t'/2$ ) elevando al quadrato ambo i membri della precedente equazione, otteniamo

$(\Delta t')^2 = \left(\dfrac{2}{c}\right)^2 \left(\ell^2+\left(\dfrac{V\Delta t'}{2}\right)^2\right) = (\Delta t)^2+\dfrac{V^2}{c^2}(\Delta t')^2,$

dove abbiamo usato

$\Delta t = \dfrac{2\ell}{c}.$

Svolgendo i calcoli, si ha

$\boxcolorato{fisica}{\Delta t'= \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}.}$

Dunque, il tempo scandito dall’orologio in $\Sigma^\prime$ scorre più lentamente del tempo scandito dall’orologio in $\Sigma$ . Per concludere definiamo

tempo proprio: è il tempo battuto dall’orologio solidale con l’osservatore (nel nostro caso $\Delta t$ );
tempo improprio: quando non è proprio (nel nostro caso $\Delta t'$ ).

Quanto ottenuto si può riformulare come segue: il tempo $\Delta t$ battuto dall’orologio mobile rispetto all’osservatore scorre più lentamente del tempo proprio.

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Contrazione delle lunghezze

Al fenomeno di dilatazione dei tempi si aggiunge il fenomeno della contrazione delle lunghezze. Consideriamo ancora due sistemi inerziali $\Sigma$ e $\Sigma'$ , dove $\Sigma'$ ha velocità relativa $V$ rispetto a $\Sigma$ . Si supponga di avere due osservatori rispettivamente in $\Sigma$ e $\Sigma'$ . Si vuole misurare la lunghezza di una sbarra $AB$ solidale a $\Sigma$ e disposta parallelamente all’asse $x \parallel x'$ .

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Posto un traguardo dotato di cronometro solidale a $\Sigma'$ (ad esempio il cronometro può essere posto in $O'$ ), la lunghezza della sbarra $AB$ viene misurata misurando l’intervallo di tempo che intercorre fra quando il traguardo passa, rispettivamente, davanti $A$ e $B$ . L’osservatore $S$ misurerà

$L = V \, \Delta t',$

perché per l’osservatore l’orologio si muove con velocità $V$ insieme a $\Sigma'$ . Si osservi che $\Delta t'$ è un tempo improprio. Per l’osservatore $S'$ l’orologio risulta fermo e la sbarretta risulta muoversi con velocità $V$ . Dunque, il valore $L'$ della lunghezza misurata da $S'$ è

$L'=V \Delta t,$

dove $\Delta t$ è un tempo proprio. Facendo i rapporti tra le due, otteniamo

$\dfrac{L'}{L} = \dfrac{\Delta t'}{\Delta t}.$

Sapendo che

$\Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}},$

si trova

$\dfrac{\Delta t'}{\Delta t} = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}},$

e pertanto otteniamo

$\boxcolorato{fisica}{L' = L \sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}.}$

Concludiamo che dall’osservatore mobile la lunghezza $L'$ appare contratta (più piccola) di un fattore $\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}$ rispetto al valore $L$ misurato dall’osservatore fermo rispetto alla sbarra stessa, cioè rispetto alla lunghezza propria (contrazione delle lunghezze).

Trasformazioni di Lorentz, spazio-tempo e trasformazioni relativistiche della velocità nella relatività ristretta

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Uno degli obiettivi che ci eravamo posti è quello di trovare nuove relazioni di trasformazione fra sistemi inerziali, che sostituiscono le trasformazioni di Galileo. Queste ultime ne dovrebbero rappresentare un caso particolare, al limite di velocità molto piccole rispetto a $c$ . Le trasformazioni delle coordinate spazio-temporali di un evento fisico tra due sistemi di riferimento inerziali $S$ e $S'$ si possono dedurre dai principi della relatività, assumendo che non esistono posizioni o direzioni privilegiate nello spazio, né istanti privilegiati di tempo. Quanto detto implica che le trasformazioni devono essere lineari, se così non fosse in tali trasformazioni sarebbero presenti termini non lineari, che produrrebbero una disomogeneità dello spazio e del tempo. Inoltre, si osservi che la linearità delle trasformazioni assicura che la relazione lineare che descrive il moto rettilineo uniforme mantiene la sua forma passando da un sistema di riferimento ad un altro (come richiesto dal principio di inerzia e dal principio della relatività).

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Trasformazioni di Lorentz

Consideriamo gli usuali sistemi di riferimento $\Sigma$ e $\Sigma'$ , dove $\Sigma'$ si muove con velocità costante $\vec{V}$ parallela all’asse delle $x$ e tale per cui valga $x \equiv x'$ . Di seguito, in figura, rappresentiamo la situazione descritta

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Le trasformazioni di Lorentz hanno la seguente forma

(3) $\begin{equation*} \begin{cases} x' = \dfrac{x-Vt}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}\\\\ y'=y\\\\ z'=z\\\\ t' = \dfrac{t-\dfrac{V}{c^2}x}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}, \end{cases} \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} x = \dfrac{x'+Vt'}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}\\\\ y = y'\\\\ z = z'\\\\ t = \dfrac{t'+\dfrac{V}{c^2}x'}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}, \end{cases} \end{equation*}$

dove si è tenuto conto di quanto ottenuto fino ad ora, cioè dei seguenti risultati:

$\begin{cases} \Delta t' = \dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}\\\\ L' = L \; \sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}. \end{cases}$

In relatività ristretta è usuale introdurre il vettore a quattro dimensioni, ovvero

$\vec{x} = (x_1, x_2, x_3, x_4),$

dove

$\begin{cases} x_1 = x\\ x_2 = y\\ x_3 = z\\ x_4 = ct. \end{cases}$

Il vettore a quattro dimensioni viene definito quadrivettore a posizione degli eventi nello spazio-tempo. Si osservi che $x_4=ct$ rappresenta lo spazio percorso dalla luce nel tempo. Tramite semplici passaggi è possibile esprimere le trasformazioni di Lorentz in funzione del quadrivettore, cioè

$\begin{cases} x_1'=\gamma x_1 - \beta \gamma x_4\\ x_2'= x_2\\ x_3'=x_3\\ x_4'=- \beta \, \gamma x_1+\gamma x_4 \end{cases}$

$\begin{cases} x_1=\gamma x_1' + \beta \gamma x_4'\\ x_2= x_2'\\ x_3=x_3'\\ x_4=- \beta \, \gamma x_1'+\gamma x_4', \end{cases}$

dove

$\beta = \dfrac{V}{c}\qquad \mbox{e} \qquad \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$

Per amore della completezza riportiamo anche la forma matriciale delle trasformazioni di Lorentz

$(x_1,x_2,x_3,x_4)= \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \beta\gamma\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ \beta\gamma &0&0&\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1'\\[5pt]x_2'\\[5pt]x_3'\\[5pt]x_4' \end{pmatrix}$

$(x_1,x_2,x_3,x_4)= \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \beta\gamma\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ \beta\gamma &0&0&\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1'\\x_2'\\x_3'\\x_4' \end{pmatrix}.$

Determiniamo le leggi di trasformazione delle coordinate spazio-temporali della velocità che si ottiene dalle equazioni di Lorentz.

Consideriamo un oggetto che si muove con velocità $\vec{v}\,'$ nel riferimento mobile $\Sigma'$ . Vogliamo determinare la relazione che sussiste tra $\vec{v}\,'$ e la velocità $\vec{V}$ con cui l’oggetto è visto muoversi da un osservatore solidale con $\Sigma$ .

Per definizione di velocità abbiamo

$\begin{cases} v_x = \dfrac{dx}{dt}\\[10pt] v_y=\dfrac{dy}{dt}\\[10pt] v_z = \dfrac{dz}{dt} \end{cases} \qquad \mbox{e} \qquad \begin{cases} v_x'=\dfrac{dx'}{dt^\prime}\\[10pt] v_y'=\dfrac{dy'}{dt^\prime}\\[10pt] v_z'=\dfrac{dz'}{dt^\prime}, \end{cases}$

da cui, differenziando (4), otteniamo

$\begin{cases} dx = \dfrac{dx'+Vdt'}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}\\\\ dy=dy'\\\\ dz=dz'\\\\ dt = \dfrac{dt'+\dfrac{V}{c^2}\, dx'}{\sqrt{1-\dfrac{V^2}{c^2}}}. \end{cases}$

Dividiamo le prime tre equazioni per la quarta, ottenendo

$\begin{cases} v_x = \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dx'+Vdt'}{dt'+\dfrac{V}{c^2}dx'}\\\\ v_y = \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy'\left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)^{1/2}}{dt'+\dfrac{V}{c^2}dx'}\\\\ v_z = \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{dz'\left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)^{1/2}}{dt'+\dfrac{V}{c^2}dx'}. \end{cases}$

Ora moltiplichiamo per $dt'/dt'$ il membro destro di ogni equazione, del precedente sistema ottenendo

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} v_x = \dfrac{v_x'+V}{1+\dfrac{V}{c^2} \; v_x'}\\\\ v_y = \dfrac{v_y'\left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)^{1/2}}{1+\dfrac{V}{c^2}\; v_x'}\\\\ v_z = v_z' \; \dfrac{\left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)^{1/2}}{1+\dfrac{V}{c^2}v_x'}. \end{cases} \end{equation*}$

Procedendo analogamente a prima, otteniamo i seguenti risultati

(6) $\begin{equation*} \begin{cases} v_x' = \dfrac{v_x-V}{1+\dfrac{V}{c^2} \; v_x}\\\\ v_y' = \dfrac{v_y\left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)^{1/2}}{1+\dfrac{V}{c^2}\; v_x}\\\\ v_z' = \dfrac{v_z \left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)^{1/2}}{1-\dfrac{V}{c^2}\,v_x}. \end{cases} \end{equation*}$

Si osservi che nell’ipotesi che valga

$\dfrac{V}{c}\ll 1 \qquad \mbox{e} \qquad \dfrac{v_x}{c}\ll1,$

le equazioni si riducono alle trasformazioni classiche di Galileo.

Principio della velocità limite: quando $V \to c$ , a prescindere da $V'$ , allora $v$ si avvicina alla velocità della luce senza mai superarla.

Pertanto le trasformazioni di Lorentz contengono quello che si chiama principio della velocità limite come conseguenza del principio della relatività e del principio di costanza della velocità della luce. In altri termini non si può osservare un oggetto (o un segnale) che si muova ad una velocità superiore a $\bm{c}$ .

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Covarianza relativistica delle leggi fisiche

Accettando i principi della relatività ristretta è necessario rivedere anche la definizione delle grandezze dinamiche e delle relative leggi. Infatti come è noto le equazioni di Newton sono covarianti per le trasformazioni di Galileo ma non per le trasformazioni di Lorentz. L’equazione di Newton $\vec{F}=m\vec{a}$ è covariante per trasformazioni di Galileo, dove per covariante si intende che tale equazione mantiene la stessa forma da un sistema ad un altro.

Dimostriamo che le equazioni di Newton ( $\vec{F}=m\vec{a}$ ) si trasformano nello stesso modo passando da un sistema ad un altro (o in altri termini che $\vec{F}=m\vec{a}$ è covariante per trasformazioni di Galileo). Ovviamente come è ben noto $\vec{F}$ è la forza totale agente su un punto materiale di massa m e $\vec{a}$ è la sua accelerazione rispetto al sistema di riferimento inerziale.

Dimostrazione.

Consideriamo due sistemi di riferimento $Oxyz$ e $O'x'y'z'$ entrambi inerziali, con velocità relativa $\vec{V}_{O'}$ . Senza perdita di generalità supponiamo che all’istante iniziale $O \equiv O'$ e $z \parallel z'$ (in generale $z$ e $z^\prime$ non sono paralleli , infatti nella figura che segue abbiamo rappresentato la situazione più generale possibile).

La relazione che intercorre tra il punto materiale $P$ e i sistemi di riferimento è

$\vec{r}\, '= \vec{r}-\vec{r}_{O'},$

dove $\vec{r}\,'$ è la distanza di $P$ da $O'$ , $\vec{r}$ è la distanza di $P$ da $O$ ed infine $\vec{r}_{O'}$ è la distanza tra $O$ e $O'$ .

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Siano $\hat{x}, \hat{y}$ e $\hat{z}$ e $\hat{x}', \hat{y}'$ e $\hat{z}'$ i versori rispettivamente degli assi $x,y$ e $z$ e $x', y'$ e $z'$ .

Abbiamo

$\vec{r} = x \; \hat{x} + y \; \hat{y} + z \; \hat{z} \quad \mbox{e} \quad \vec{r}\,' = x\,' \; \hat{x}\,'+ y\,' \; \hat{y}\,' + z\,' \; \hat{z}\,'$

ed infine

$\vec{r}_{O'} = \overrightarrow{OO'} = V_x \, t \, \hat{x} + V_y \, t \, \hat{y} + V_z \, t \, \hat{z},$

dove abbiamo sfruttato il fatto che il sistema di riferimento $O'x'y'z'$ si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad $Oxyz$ , pertanto $\vec{V}$ è costante in modulo, e in particolare le sue componenti $V_x, V_y$ e $V_z$ sono costanti.

Dato

$x' \, \hat{x}' + y' \; \hat{y}' + z'\; \hat{z}' = (x-V_xt) \hat{x}+(y-V_yt) \hat{y}+(z-V_zt) \hat{z},$

moltiplicando ambo i membri dell’equazione per $\hat{x}'$ , otteniamo

$x' = (x-V_xt) \, \hat{x} \cdot \hat{x}\, '+(y-V_yt) \hat{y}\cdot \hat{x}\,'+(z-V_zt) \hat{z}\cdot \hat{x}\,'.$

Analogamente moltiplichiamo ambo i membri per $\hat{y}'$ , otteniamo

$y' = (x-V_xt) \hat{x}\cdot \hat{y}'+(y-V_yt) \hat{y}\cdot \hat{y}'+(z-V_zt) \hat{z}\cdot \hat{y}'.$

Infine, facciamo similarmente con $\hat{z}'$ , ottenendo

$z' = (x-V_xt) \hat{x}\cdot \hat{z}'+(y-V_yt) \hat{y}\cdot \hat{z}'+(z-V_zt) \hat{z}\cdot \hat{z}'.$

Mettendo a sistema le precedenti equazioni otteniamo

$\begin{cases} x' = (x-V_xt) \, \hat{x} \cdot \hat{x}\, '+(y-V_yt) \hat{y}\cdot \hat{x}\,'+(z-V_zt) \hat{z}\cdot \hat{x}\,'\\[5pt] y' = (x-V_xt) \hat{x}\cdot \hat{y}'+(y-V_yt) \hat{y}\cdot \hat{y}'+(z-V_zt) \hat{z}\cdot \hat{y}' \\[5pt] z' = (x-V_xt) \hat{x}\cdot \hat{z}'+(y-V_yt) \hat{y}\cdot \hat{z}'+(z-V_zt) \hat{z}\cdot \hat{z}', \end{cases}$

oppure in forma matriciale, cioè

$\begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} \hat{x} \,' \cdot \hat{x} & \hat{x} \,' \cdot \hat{y} & \hat{x} \,' \cdot \hat{z}\\ \hat{y} \,' \cdot \hat{x} & \hat{y} \,' \cdot \hat{y} & \hat{y} \,' \cdot \hat{z}\\ \hat{z} \,' \cdot \hat{x} & \hat{z} \,' \cdot \hat{y} & \hat{z} \,' \cdot \hat{z} \end{pmatrix}}_{R} \begin{pmatrix} x-V_xt\\ y-V_yt\\ z-V_zt \end{pmatrix}.$

La matrice $R$ è detta matrice di rotazione. Una delle sue caratteristiche principali è che $R^{-1}=R^T$ , cioè che la matrice inversa è uguale alla matrice trasposta.

Moltiplicando ambo i membri della precedente relazione per $R^{-1}$ e tenendo conto che $R\cdot R^{-1}=I$ con $I$ matrice identità, otteniamo

${R}^{-1} \begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-V_xt\\ y-V_yt\\ z-V_zt \end{pmatrix}.$

Gli angoli che i diversi versori formano tra loro sono rappresentati nella figura che segue.

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Tuttavia, a noi interessa solo il caso in cui valga

$R= \begin{pmatrix} \hat{x} \,' \cdot \hat{x} & \hat{x} \,' \cdot \hat{y} & \hat{x} \,' \cdot \hat{z}\\ \hat{y} \,' \cdot \hat{x} & \hat{y} \,' \cdot \hat{y} & \hat{y} \,' \cdot \hat{z}\\ \hat{z} \,' \cdot \hat{x} & \hat{z} \,' \cdot \hat{y} & \hat{z} \,' \cdot \hat{z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$

che equivale a chiedere $x \parallel x'$ , $y \parallel y'$ e $z \parallel z'$ . Di seguito la figura esplicativa.

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Dunque le trasformazioni di Galileo sono

$\begin{cases} x'=x-V_xt\\ y'=y-V_yt\\ z'=z-V_zt. \end{cases}$

Derivando ambo i membri del precedente sistema, si ottiene

$\begin{cases} \dfrac{dx'}{dt} = \dfrac{dx}{dt}-V_x\\\\ \dfrac{dy'}{dt} = \dfrac{dy}{dt}-V_y\\\\ \dfrac{dz'}{dt} = \dfrac{dz}{dt}-V_z. \end{cases}$

Derivando ancora otteniamo

$\begin{cases} \dfrac{d^2x'}{dt^2} = \dfrac{d^2x}{dt^2}\\\\ \dfrac{d^2y'}{dt^2} = \dfrac{d^2y}{dt^2}\\\\ \dfrac{d^2z'}{dt^2} = \dfrac{d^2z}{dt^2}, \end{cases}$

in altri termini

$\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \dfrac{d^2 \vec{r}\,'}{dt^2},$

da cui

$\vec{F} = m \, \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2} = m \, \dfrac{d^2 \vec{r}\,'}{dt^2}.$

Quanto ottenuto ci dice che l’accelerazione del punto $P$ è invariante per trasformazioni di Galileo. Le trasformazioni di Lorentz invece non sono covarianti, infatti riprendendo le leggi della velocità (5) e (6) partendo dalle trasformazioni di Lorentz, e procedendo analogamente a prima (ovvero il procedimento proposto per determinare le leggi della velocità) si possono trovare le trasformazioni dell’accelerazione. Dopo di che, procedendo come per le trasformazioni di Galileo, si dimostra che non sono covarianti. In altri termini, si troverà che l’accelerazione del punto materiale $m$ non è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali, da cui l’equazione $\vec{F}=m\vec{a}$ , nel caso delle trasformazioni di Lorentz non è covariante.

Osservazione. Anche se esula dagli scopi di questa dispensa, facciamo presente al lettore che grazie al formalismo quadrivettoriale si può recuperare la covarianza della legge di Newton relativistica della quadriforza.

Esperimento di Michelson e Morley

Leggi.

Teoria dell’etere

La tendenza generale nel mondo della scienza era quello di rinunciare al principio della relatività (che del resto era stato enunciato da Galileo solo in relazione ai fenomeni meccanici) ipotizzando l’esistenza dell’etere (l’etere veniva considerato un mezzo impalpabile che riempie uniformemente lo spazio vuoto). L’etere tra tutti i sistemi di riferimento inerziali individua un sistema privilegiato, ovvero un sistema di riferimento in quiete rispetto all’etere stesso. La luce nell’etere ha velocità pari a $\vec{c}$ . In questo schema quando la Terra attraversa l’etere genera una perturbazione nell’etere stesso (questa perturbazione viene chiamata vento d’etere), cioè bisogna rilevare il vento d’etere.

$\[\]$

Illustrazione dell’esperimento

L’esperimento di Michelson e Morley ha consentito di concludere che l’ipotesi dell’etere non è realistica, dando modo ad Einstein di arrivare alla conclusione che la velocità della luce è sempre $\vec{c}$ indipendentemente dal sistema di riferimento dal quale si osserva. L’esperimento di Michelson e Morley si basa sul fenomeno dell’interferenza della luce: un fascio di luce monocromatica (cioè di un solo colore) è diretto dalla sorgente di luce $L$ su uno specchio semitrasparente $H$ disposto a $45^\circ$ rispetto al raggio luminoso. Le distanze $HS$ e $LH$ sono uguali, mentre $AH$ e $HB$ sono diverse (in generale nell’esperimento si cercò di rendere queste due grandezze circa uguali). Il sistema composto da $L$ , $H$ , $A$ , $B$ ed $S$ si chiama interferometro di Michelson. Le fasi sono le seguenti:

parte del fascio che incide su $H$ (posto a $45^\circ$ ) viene riflesso verso lo specchio $B$ mentre il resto giunge allo specchio $A$ ;
la luce che incide su $A$ è riflessa di nuovo su $H$ e una parte di essa arriva allo schermo $S$ ;
la luce riflessa da $B$ attraversa lo specchio $H$ e una parte di essa arriva anch’essa allo schermo $S$ ;
i due fasci, giungendo entrambi ad $S$ , formano una figura di interferenza costituita da frange chiare e scure alternate. Nei tratti $LH$ e $HS$ i raggi hanno lo stesso comportamento (percorrono anche lo stesso tratto), quindi si analizza il loro comportamento in $HAH$ e $HBH$ .

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Schemi e fasi dell’esperimento

Fase 1

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Fase 2

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Fase 3

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L’apparato è montato su un sostegno di granito galleggiante su una vasca piena di mercurio così che le rotazioni attorno ad un asse passante per $H$ siano prive di scosse e attriti.

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Ipotesi e attesa

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Ipotesi dell’esperimento

Esiste il vento d’etere ed il Sole è fermo nel sistema di riferimento dell’etere.

Cosa ci si aspetta

La velocità della luce è pari a $\vec{c}$ rispetto al sistema solare, ma non rispetto ad un sistema di riferimento terrestre, poiché la Terra si muove intorno al Sole con velocità $\vec{v}$ di moto circolare uniforme (abbiamo assunto che la terra si muove di moto circolare uniforme e abbiamo trascurato la velocità della terra intorno al suo asse).

Alcune considerazioni importanti per capire la strutturazione dell’esperimento sono le seguenti: il laboratorio è un sistema di riferimento fisso sulla Terra ma si muove di velocità $\vec{v}$ rispetto al Sole. L’etere si muove di velocità $-\vec{v}$ rispetto al laboratorio.

$\[\]$

Procedimento

Nella prima parte dell’esperimento poniamo l’interferometro in modo tale che il segmento $AH$ sia parallelo alla velocità $\vec{v}$ della terra (si veda la figura che segue).

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Il raggio luminoso, nel tratto $HA$ si muove con velocità $v_{HA}=c-v$ , mentre nel tratto $AH$ si muove con velocità $v_{AH}=c+v$ . Le velocità $c-v$ e $c+v$ sono entrambe rispetto all’apparato. Quindi l’intervallo di tempo necessario a compiere i tratti $H-A-H$ è

$\Delta t_1 = \dfrac{\ell_1}{c-v}+\dfrac{\ell_1}{c+v} = \dfrac{2\ell_1}{c} \; \dfrac{1}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}.$

Passiamo ora alla seconda parte dell’esperimento considerando il tratto $H-B-H$ . In questo caso il raggio luminoso segue il percorso nella figura che segue. Chiameremo $\Delta t_2$ il tempo che il raggio luminoso impiega a fare tale percorso.

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Dalla geometria del problema è chiaro che

$\ell^2_2+\left(\dfrac{v\Delta t_2}{2}\right)^2=\dfrac{\left(c\Delta t_2\right)^2}{4},$

da cui

$\left(\Delta t_2\right)^2\left(\dfrac{c^2}{4}-\dfrac{v^2}{4}\right)=\ell^2_2,$

e quindi

$\left(\Delta t_2^2\right)^2=\dfrac{4\ell_2^2}{c^2-v^2},$

conseguentemente

$\Delta t_2 = \dfrac{2\ell_2}{c\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$

La differenza fra i due intervalli di tempo è

$\Delta t = \Delta t_2 - \Delta t_1 = \dfrac{2}{c} \left[ \dfrac{\ell_2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} - \dfrac{\ell_1}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right] \simeq \dfrac{2}{c} \left[ \ell_2 \left( 1+\dfrac{1}{2} \; \dfrac{v^2}{c^2}\right) - \ell_1 \left( 1+\dfrac{v^2}{c^2}\right) \right],$

dove nella terza uguaglianza abbiamo utilizzato lo sviluppo al primo ordine del seguente sviluppo di Taylor

$(1+\alpha)^K \simeq 1 + K\alpha,$

dove $k$ è una costante . La differenza di fase $\delta$ dei due raggi è data da

$\dfrac{\delta }{2\pi}=\dfrac{c\Delta t}{\lambda}.$

La terza e ultima parte si svolge ruotando l’interferometro di $90^\circ$ senza modificarne la geometria ${\color{blue} ^1}$ . Similarmente a prima otteniamo

$\Delta t' \simeq \dfrac{2}{c} \left[ \ell_1 \left( 1+\dfrac{1}{2} \; \dfrac{v^2}{c^2}\right) - \ell_2 \left( 1+\dfrac{v^2}{c^2}\right) \right].$

La differenza di fase $\delta$ tra i due raggi è data da

$\dfrac{\Delta \delta}{2\pi} = \dfrac{\delta-\delta^\prime}{2\pi}=\dfrac{c\Delta t-c \Delta t^\prime}{\lambda} = \dfrac{\ell_1+\ell_2}{\lambda} \; \dfrac{v^2}{c^2}.$

$\[\]$

Elaborazione dati e conclusione

Con i dati dell’esperimento si ottiene

$\dfrac{\Delta \delta}{2\pi} = \text{0,4},$

cioè le frange dell’interferenza si dovrebbero spostare di un tratto pari a $0,4$ volte la distanza tra i due massimi successivi ma in realtà non si vide alcun spostamento nonostante gli strumenti potessero evidenziare uno spostamento fino a $\dfrac{\Delta \delta}{2\pi} = \text{0,01}$ .

L’esperimento fu ripetuto in diversi periodi dell’anno da differenti fisici ma senza risultati differenti.

$\[\]$

Qui trova senso la vasca di mercurio per rotazioni prive di scosse e attriti. ↩

Riferimenti bibliografici per le note sulla relatività ristretta

[1] C.Mencuccini, V.Silvestrini. Fisica 1. Meccanica – Termodinamica. Casa editrice Liquori editore.

[2] S.Focardi, I.Massa, A.Ugozzoni. Fisica generale – Meccanica e termodinamica. Casa editrice Ambrosiana.

[3] P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci. Fisica. Meccanica e Termodinamica. Casa editrice EdiSES.

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