Esercizio misti meccanica 3

Esercizi misti Meccanica classica

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Esercizio 3  (\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar\largewhitestar). Un punto materiale A si muove a velocità costante partendo dall’origine di un sistema di riferimento fisso Oxy, su di una spirale di Archimede, avente equazione polare r={(R\theta)}/{(2\pi)}. Un secondo punto materiale B si muove lungo una circonferenza di raggio R centrata nell’origine, con velocità costante v_B, partendo dal punto B\equiv (R,0). Si determini la velocità v_B non nulla affinché i due punti si urtino.

 

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Svolgimento.

Data l’equazione polare della spirale

(1)   \begin{equation*} r=\dfrac{R\theta}{2\pi}, \end{equation*}

risulta chiaro che l’unica possibilità per far avvenire l’urto è quando \theta=2\pi, ovvero nel punto B\equiv(R,0), quindi il punto materiale B deve fare un giro completo lungo la circonferenza. Per questo motivo dobbiamo calcolare il tempo che il punto materiale A impiega lungo la spirale di Archimede per arrivare nel punto B dall’origine del sistema di riferimento in figura. La velocità del punto materiale A, in coordinate polari, è

(2)   \begin{equation*} \vec{v}_A=v_r\,\hat{r}+v_\theta \,\hat{\theta},\quad \end{equation*}

dove v_r e v_\theta sono rispettivamente la componente radiale e la componente trasversa della velocità. Sapendo che r=\dfrac{R\theta}{2\pi}, si ha:

(3)   \begin{equation*} v_r=\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{R}{2\pi}\dot{\theta} \qquad \mbox{e} \qquad v_\theta=r\dot{\theta}=\dfrac{R\theta}{2\pi}\,\dot{\theta}, \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} \vec{v}_A=\dfrac{R}{2\pi}\dot{\theta}\,\hat{r}+\dfrac{R}{2\pi}\,\theta\,\dot{\theta}\,\hat{\theta}. \end{equation*}

Calcoliamo v_A

    \[\begin{aligned} v_A=\sqrt{v_r^2+v_\theta^2}=\sqrt{\left(\dfrac{R}{2\pi}\right)^2\dot{\theta}^2+\left(\dfrac{R}{2\pi}\right)^2\theta^2\,\dot{\theta}^2}=\dfrac{R}{2\pi}\dot{\theta}\sqrt{1+\theta(t)^2}=\dfrac{R}{2\pi}\dfrac{d\theta}{dt}\sqrt{1+\theta^2}, \end{aligned}\]

che è un’equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, da cui

(5)   \begin{equation*} v_A\,dt=\dfrac{R}{2\pi}\sqrt{1+\theta^2}\,d\theta. \end{equation*}

Integriamo il membro sinistro di (5) tra 0 e t_B dove t_B è l’istante in cui avviene l’urto tra i due punti materiali ed il membro destro di (5) tra 0 e 2\pi, otteniamo:

(6)   \begin{equation*} \int_0^{t_B}v_A\,dt=\dfrac{R}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sqrt{1+\theta^2}\,d\theta. \end{equation*}

Ricordando l’integrale notevole:

(7)   \begin{equation*} 2\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \text{settsinh}(x)+x\sqrt{1+x^2}, \end{equation*}

abbiamo

(8)   \begin{equation*} v_A t_B=\dfrac{R}{2\pi}\left(\text{settsinh} (2\pi)+2\pi\sqrt{1+4\pi^2}\right), \end{equation*}

da cui

(9)   \begin{equation*} t_B=\dfrac{R}{2\pi v_A}\left(\text{settsinh}(2\pi)+2\pi\sqrt{1+4\pi^2}\right). \end{equation*}

Il punto materiale B si muove a velocità costante v_B, dunque per compiere un giro nel tempo t_B deve valere

(10)   \begin{equation*} v_B=\dfrac{2\pi R}{t_B}, \end{equation*}

cioè

(11)   \begin{equation*} v_B=\dfrac{2\pi\cancel{R}(2\pi v_A)}{\cancel{R}\left(\text{settsinh}x (2\pi)+2\pi\sqrt{1+4\pi^2}\right)} = \dfrac{4\pi^2v_A}{\text{settsinh}x (2\pi)+2\pi\sqrt{1+4\pi^2}}. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{v_B=\dfrac{4\pi^2v_A}{\text{settsinh}x (2\pi)+2\pi\sqrt{1+4\pi^2}}.}\]