Esercizio misti meccanica 4

Esercizi misti Meccanica classica

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Esercizio 4  (\bigstar \bigstar \bigstar \bigstar\largewhitestar). Una persona (indicata con P in figura 1) porta a passeggio il suo cane (indicato con C sempre in figura 1). Si considerinio il cane e la persona come due punti materiali. Sia Oxy un sistema di riferimento fisso, rappresentato in figura 1 e 2; inoltre, siano \hat{x} e \hat{y} i versori rispettivamente dell’asse delle x e delle y. Il punto P si muove a velocità \vec{v}_0=v_0\,\hat{y}, dove v_0 è costante. All’istante t_0=0 si ha O\equiv P. Il punto C è legato a P da un guinzaglio di lunghezza \ell, che supponiamo inestensibile; all’istante t_0, C è fermo e si trova lungo l’asse x nella posizione x=\ell. Negli istanti successivi, C si muoverà puntando costantemente verso P, in modo da mantenere il guinzaglio sempre teso. Si determini il modulo v_C della velocità del cane in funzione di v_0 e della coordinata x in cui il cane si trova durante il moto.

 

 

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Svolgimento.

Siano x_C e y_C rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di C, da cui \dot{x}_C e \dot{y}_C rappresentano rispettivamente la velocità di C nella direzioni dell’asse delle x e delle y. Pertanto La velocità del punto C è

(1)   \begin{equation*} \vec{v}_C=\dot{x}_C\,\dot{x}+\dot{y}_C\,\hat{y}. \end{equation*}

Inoltre, sia y_P l’ordinata del punto P e \theta l’angolo compreso tra il guinzaglio e il segmento parallelo all’asse x con un estremo nel punto C, come mostra la figura 3.

 

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Il testo richiede che le componenti \dot{x}_C e \dot{y}_C siano espresse in funzione delle variabili v_0 e x_C. Per fare ciò, notiamo che per ipotesi il guinzaglio (supposto inestensibile) deve essere sempre teso: questo significa che \dot{\ell}=0, ossia che la lunghezza del guinzaglio non varia nel tempo. Osservando la figura 3, dalla geometria del problema, deduciamo che

(2)   \begin{equation*} \ell^2=x_C^2+(y_P-y_C)^2, \end{equation*}

da cui, derivando rispetto al tempo ambo i membri della precedente relazione, otteniamo

(3)   \begin{equation*} 2\ell\dot{\ell}=0=2x_C\dot{x}_C+2(y_P-y_C)(\dot{y}_P-\dot{y}_C), \end{equation*}

da cui

(4)   \begin{equation*} 0=x_C\dot{x}_C+\dot{y}_P(y_P-y_C)-\dot{y}_C(y_P-y_C), \end{equation*}

o anche, ricordando che y_P-y_C=\sqrt{\ell^2-x_C^2} e \dot{y}_P=v_0, si ottiene

(5)   \begin{equation*} x_C\dot{x}_C+v_0\sqrt{\ell^2-x_C^2}-\dot{y}_C\sqrt{\ell^2-x_C^2}=0. \end{equation*}

Dalla figura 3 si deduce che

(6)   \begin{equation*} \vec{v}_C=-v_C\cos \theta \,\hat{x}+v_C\sin \theta \,\hat{y}=\dot{x}_C \,\hat{x}+\dot{y}_C \,\hat{y}, \end{equation*}

da cui

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}_C=-v_C\cos \theta \\ \dot{y}_C=v_C\sin \theta . \end{cases} \end{equation*}

Facendo il rapporto membro a membro delle equazioni (7)_2 e (7)_1, si ottiene

(8)   \begin{equation*} \tan \theta=-\dfrac{\dot{y}_C}{\dot{x}_C}. \end{equation*}

Inoltre, notiamo che

(9)   \begin{equation*} \tan \theta =\dfrac{y_P-y_C}{x_C}=\dfrac{\sqrt{\ell^2-x_C^2}}{x_C}. \end{equation*}

Pertanto, si ha

(10)   \begin{equation*} -\dfrac{\dot{y}_C}{\dot{x}_C}=\dfrac{\sqrt{\ell^2-x_C^2}}{x_C}, \end{equation*}

ossia

(11)   \begin{equation*} \dot{y}_C=-\dfrac{\dot{x}_C\left(\sqrt{\ell^2-x_C^2}\right)}{x_C}. \end{equation*}

Sostituendo \dot{y}_C (calcolata nell’equazione (11)) nell’equazione (5), si ottiene

(12)   \begin{equation*} \begin{aligned} &x_C\dot{x}_C+\dfrac{\dot{x}_C\left(\ell^2-x_C^2\right)}{x_C}+v_0\sqrt{\ell^2-x_C^2}=0\quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow \quad x_C^2\dot{x}_C+\dot{x}_C\left(\ell^2-x_C^2\right)+v_0x_C\sqrt{\ell^2-x_C^2}=0\quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad \dot{x}_C(x_C^2+\ell^2-x_C^2)=-v_0x_C\sqrt{\ell^2-x_C^2}\quad \Leftrightarrow\\[10pt] & \Leftrightarrow\quad\dot{x}_C=-\dfrac{v_0x_C\sqrt{\ell^2-x_C^2}}{\ell^2}. \end{aligned} \end{equation*}

Sostituendo \dot{x}_C (calcolata nell’equazione (12)) nell’equazione (11), si trova

(13)   \begin{equation*} \dot{y}_C=-\dfrac{\dot{x}_C\left(\sqrt{\ell^2-x_C^2}\right)}{x_C}=-\dfrac{\left(\sqrt{\ell^2-x_C^2}\right)}{x_C}\left(-\dfrac{v_0x_C\sqrt{\ell^2-x_C^2}}{\ell^2}\right)=\dfrac{v_0\left(\ell^2-x_C^2\right)}{\ell^2}. \end{equation*}

Sfruttando le equazioni (12) e (13) possiamo calcolare v_C. Abbiamo dunque

(14)   \begin{equation*} v_C=\sqrt{\dot{x}_C^2+\dot{y}_C^2}, \end{equation*}

ossia

(15)   \begin{equation*} v_C=\sqrt{\dfrac{v_0^2x_C^2\left(\ell^2-x_C^2\right)}{\ell^4}+\dfrac{v_0^2\left(\ell^2-x_C^2\right)^2}{\ell^4}}=\sqrt{\dfrac{v_0^2\left(\ell^2-x_C^2\right)\left(x_C^2+\ell^2-x_C^2\right)}{\ell^4}}=\sqrt{\dfrac{v_0^2\ell^2\left(\ell^2-x_C^2\right)}{\ell^4}}, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{v_C=\dfrac{v_0}{\ell}\sqrt{\ell^2-x_C^2}.}\]

 

 


Fonte.

Problemi di meccanica e termodinamica — S.Longhi, M.Nisoli, R.Osellame, S.Stagira.

 

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