Esercizio misti meccanica 2

Esercizi misti Meccanica classica

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Esercizio 2  (\bigstar \bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar). Su un piano orizzontale sono poste due guide lisce, perpendicolari tra loro, lungo le quali posso scorrere gli estremi di un’asta \overline{AB}, lunga \ell. Inizialmente l’asta è disposta lungo l’asse y. L’estremo B viene mantenuto in moto con velocità costante v_B. Determinare il modulo della velocità e dell’accelerazione dell’estremo A quando B raggiunge la posizione X_B.

 

 

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Svolgimento.

Dal sistema di riferimento fisso Oxy possiamo scrivere la posizione di A e B, gli estremi dell’asta sono vincolati a muoversi sulle due guide lisce

(1)   \begin{equation*}  \begin{cases} x_B=\ell \cos \theta\\ y_B=0\\ x_A=0\\ y_A=\ell \sin \theta \\ \end{cases} \end{equation*}

Deriviamo rispetto al tempo (1)

    \[\begin{cases} \dot{x}_B=-\ell \dot{ \theta} \sin \theta\\ \dot{y}_B=0\\ \dot{x}_A=0\\ \dot{y}_A=\ell \dot{ \theta} \cos \theta \\ \end{cases}\]

Sapendo che l’estremo B è mantenuto a velocità costante v_B si ha che

(2)   \begin{equation*}  \dot{x}_B=-\ell \dot{ \theta} \sin \theta=v_B. \end{equation*}

Dalla (2) si trova che

    \[\dot{ \theta}=-\dfrac{v_B}{\ell\sin \theta}.\]

Posto x_B=X_B, si trova che

    \[\tan \theta =\dfrac{\sqrt{\ell^2-X_B^2}}{X_B}.\]

Sostituiamo \dot{ \theta} in \dot{ y}_A, ottenendo

    \[\boxcolorato{fisica}{\dot{ y}_A=\left(\ell\cos \theta\right)\left(-\dfrac{v_B}{\ell\sin \theta} \right)=-\dfrac{v_B}{\tan \theta}= -\dfrac{v_BX_B}{\sqrt{\ell^2-X_B^2}}.}\]

 

Deriviamo nuovamente rispetto al tempo la (1)

    \[\begin{cases} \ddot{x}_B=-\ell(\ddot{ \theta} \sin \theta+\dot{ \theta}^2\cos \theta )=0\\ \ddot{y}_B=0\\ \ddot{x}_A=0\\ \ddot{y}_A=\ell(\ddot{ \theta} \cos \theta-\dot{ \theta}^2 \sin \theta )\\ \end{cases}\]

Dal sistema ricaviamo

    \[\ddot{ \theta}=-\dfrac{\dot{ \theta}^2}{\tan \theta}.\]

Sostituiamo \dot{ \theta} e \ddot{ \theta} in \ddot{y}_A si ottiene

    \[\begin{aligned} & \ddot{y}_A=-\ell\left(\dfrac{\dot{ \theta}^2 \cos\theta}{\tan \theta}+\dot{ \theta}^2 \sin \theta\right)=\\ &=-\ell\dot{ \theta}^2\left(\dfrac{\cos\theta}{\tan \theta}+\sin \theta\right)=\\ &=-\dfrac{\ell v_B^2}{\ell^2(\sin \theta)^2}\left(\dfrac{\cos^2\theta}{\sin \theta}+\sin \theta\right)=\\ &=-\dfrac{\ell v_B^2}{\ell^2(\sin \theta)^3}=\\ &=-\left(\dfrac{v_B^2}{\ell}\right)\left(\dfrac{\ell^3}{(\sqrt{\ell^2-X_B^2})^3} \right). \end{aligned}\]

Si conclude che i valori cercati sono

    \[\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} \dot{ y}_A=\left(\ell\cos \theta\right)\left(-\dfrac{v_B}{\ell\sin \theta} \right)=-\dfrac{v_B}{\tan \theta}= -\dfrac{v_BX_B}{\sqrt{\ell^2-X_B^2}};\\\\ \ddot{y}_A=-\left(\dfrac{v_B^2}{\ell}\right)\left(\dfrac{\ell^3}{(\sqrt{\ell^2-X_B^2})^3} \right). \end{cases}}\]

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