Esercizio misti meccanica 8

Esercizi misti Meccanica classica

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Esercizio 8  (\bigstar \bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale si trova su una piattaforma circolare di raggio R e centro O, che ruota con velocità angolare costante (modulo, direzione e verso) \vec{\omega} in senso orario, come mostrato in figura 1. All’istante iniziale t_0=0, il punto materiale si trova a una distanza r_0 dal centro O della piattaforma e si muove verso di esso con una velocità relativa costante \vec{v}_{r} rispetto alla piattaforma. Determinare, in direzione e modulo, la velocità assoluta del punto all’istante t=	t^* nel sistema di riferimento fisso Oxyz rappresentato in figura 1.

 

 

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Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale O x^\prime y^\prime z^\prime, solidale con la piattaforma che ruota, tale per cui il punto materiale si trovi sull’asse delle x^\prime per ogni istante t\geq 0 e z\equiv z^\prime, come illustrato in figura 2. Siano, inoltre, \omega e v_r rispettivamente la componente di \vec{\omega} lungo l’asse z^\prime e la componente di \vec{v}_r lungo x^\prime. Osserviamo che siccome la piattaforma si muove in senso orario \omega<0 e che v_r<0 perché il punto materiale si muove nella direzione negativa delle x^\prime.  

 

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  Osservando dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime, il corpo si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v_r diretta lungo il semiasse negativo delle x^\prime. Pertanto, essendo r_0 la posizione iniziale del corpo, la sua legge oraria è

(1)   \begin{equation*} 		x^\prime (t)=r_0+v_rt,\quad \text{per $t\geq 0$}. 	\end{equation*}

Per determinare la posizione del corpo all’istante t=t^*, sostituiamo t=t^* nella precedente equazione e otteniamo

(2)   \begin{equation*} 		x^\prime (t^*)=r_0+v_rt^*. 	\end{equation*}

In base al teorema delle velocità relative, la velocità assoluta \vec{v}_a del punto materiale nel sistema di riferimento fisso Oxy, è data dalla somma della velocità radiale \vec{v}_r e della velocità tangenziale \vec{v}_t del corpo, cioè

(3)   \begin{equation*} 		\vec{v}_a = \vec{v}_r + \vec{v}_t = \vec{v}_r + \vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\,\prime}, 	\end{equation*}

dove \vec{r}^{\,\prime} il vettore posizione del corpo nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y. In questo caso particolare, queste due velocità hanno direzioni ortogonali fra di loro, pertanto il modulo della loro somma è dato da

(4)   \begin{equation*} 		|\vec{v}_a | = \sqrt{ |\vec{v}_r|^2 + |\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\,\prime}|^2}.  	\end{equation*}

Essendo i vettori \vec{\omega} e \vec{r}^{\,\prime} ortogonali fra loro, si ha che |\vec{\omega} \wedge \vec{r}^\prime| =\left \vert \omega\right \vert  r^\prime, da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{|\vec{v}_a | = \sqrt{ v_r^2 + (\omega r^\prime)^2}.}\]

    Per determinare la direzione della velocità assoluta \vec{v}_a basta considerare il triangolo di ipotenusa |\vec{v}_a| e i cui cateti hanno lunghezza pari a |\vec{v}_r| e |\vec{v}_t|, come illustrato in figura 3.    

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Per questo triangolo, vale la relazione

(5)   \begin{equation*} 		|\vec{v}_t| =|\vec{v}_r| \cdot \tan(\alpha),  	\end{equation*}

dove \alpha è l’angolo che la velocità \vec{v}_a forma con la direzione radiale. Questo angolo è dato da

(6)   \begin{equation*} 		\alpha = \arctan \left( \dfrac{|\vec{v}_t|}  {|\vec{v}_r|}\right)  = \arctan\left(\dfrac{\left \vert \omega\right \vert r^\prime }{ \left \vert  v_r\right \vert }\right), 	\end{equation*}

in cui r^\prime rappresenta la distanza percorsa nell’intervallo di tempo \Delta t = t^*-t_0=t^*. Questa è data dal valore assoluto |x^\prime (t^*)|=|r_0+v_rt^*|. Pertanto, l’angolo \alpha è dato da

    \[\boxcolorato{fisica}{\alpha=  \arctan \left( \dfrac{\left \vert\omega\right \vert  |r_0+v_rt^*|}{\left \vert v_r\right \vert }  \right).}\]

Si osservi che per dedurre la direzione della velocità \vec{v}_a si è usato il metodo punta-coda. È interessante osservare che \alpha dipende dal tempo, pertanto istante per istante \vec{v}_a cambia direzione. Siano \hat{x} e \hat{y} rispettivamente i versori dell’asse delle x e delle y. Esprimiamo per completezza \vec{v}_a rispetto ai versori \hat{x} e \hat{y}. Abbiamo dunque

(7)   \begin{equation*} 		\vec{v}_a=-\left \vert \vec{v}_a \right \vert \cos \alpha \, \hat{x}-\left \vert \vec{v}_a \right \vert \sin \alpha \, \hat{x}, 	\end{equation*}

o anche

    \[\boxcolorato{fisica}{	\vec{v}_a=-\sqrt{ v_r^2 + (\omega r^\prime)^2} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{\left \vert \omega\right \vert  |r_0+v_rt^*|}{\left \vert v_r\right \vert }  \right)\right)  \hat{x}-\sqrt{ v_r^2 + (\left \vert \omega\right \vert  r^\prime)^2} \sin \left(\arctan \left( \dfrac{\omega |r_0+v_rt^*|}{\left \vert v_r\right \vert }  \right)\right) \hat{y}.}\]