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Esercizio 1  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri su un piano orizzontale una guida liscia di forma parabolica, rappresentata dall’equazione y(x)=5x^2, con x e y espresse in metri. Un punto P si muove con velocità costante, v_0, lungo la guida. Determinare le componenti dell’accelerazione quando il punto P passa per il vertice della parabola e per il punto di ascissa x^*.

 

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Prima di procedere allo svolgimento dell’esercizio enunciamo una proposizione che tornerà utile per lo svolgimento dell’esercizio.

Proposizione.

Sia x=x(t) derivabile in tutto il suo dominio naturale tale che \dfrac{dx}{dt}(t)\neq0 e sia t=t(x) la sua inversa. Definiamo a=a(t)=\dfrac{dv}{dt}(t)=\dfrac{d^2x }{dt^2}(t) e siano \tilde{a}(x)=\left( a\circ t\right)(x) \,\, \text{e}\,\,\tilde{v}(x)=\left(v \circ t \right)(x) .

Allora si ha che

(1)   \begin{equation*} \tilde{a}(x)=\dfrac{d\tilde{v}}{dx}(x)\,\,\tilde{v}(x). \end{equation*}

 

Svolgimento.  Siccome la velocità è costante in ogni istante vale

(2)   \begin{equation*} v_0^2=\tilde{v}_x^2+\tilde{v}_y^2, \end{equation*}

dove \tilde{v}_x e \tilde{v}_y sono rispettivamente la componente nella direzione x e y della velocità.
Si osserva che

(3)   \begin{equation*} \tan \alpha=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\tilde{v}_y(x)}{\tilde{v}_x(x)}=10x, \end{equation*}

dove \alpha è l’angolo che forma la componente v_x della velocità tangente alla parabola con l’asse orizzontale.
Dalla (3) si ottiene

    \[\tilde{v}_y=10x\tilde{v}_x.\]

Sostituiamo \tilde{v}_y in (2) ottenendo

    \[\tilde{v}_x(x)=\dfrac{v_0}{\sqrt{1+100x^2}},\]

da cui

    \[\tilde{v}_y(x)=\dfrac{10xv_0}{\sqrt{1+100x^2}}.\]

Applicando (1) si ottiene

    \[\begin{cases} a_x(x)=\tilde{v}_x(x)\dfrac{d\tilde{v}(x)_x}{dx}=\left( \dfrac{v_0}{\sqrt{1+100x^2}}\right) \left( \dfrac{-100v_0x}{(\sqrt{1+100x^2})^3}\right)=\dfrac{-100xv_0^2}{(1+100x^2)^2};\\ a_y(x)=\tilde{v}_x(x)\dfrac{d\tilde{v}(y)}{dx}=\left( \dfrac{v_0}{\sqrt{1+100x^2}}\right)\dfrac{10v_0}{\sqrt{(1+100x^2)^3}}=\dfrac{10\left(v_0\right)^2}{(1+100x^2)^2}.\\ \end{cases}\]

Dalla quale si trova che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \begin{cases} a_x(0)=0;\\ a_y(0)=10v_0;\\ a_x(x^*)=\dfrac{-100x^*v_0^2}{(1+100(x^*)^2)^2};\\\ a_y(x^*)=\dfrac{10v_0}{(1+100(x^*)^2)^2}.\\ \end{cases}}\]

 

Approfondimento.

Di seguito la dimostrazione della proposizione.

Abbiamo

(4)   \begin{equation*} \dfrac{d\tilde{v}}{dx}\left(x\right)=\dfrac{d\left(v\circ t\right)}{dx}\left( x\right)\overset{*}{=}\dfrac{dv}{dt}\left(t(x) \right)\,\dfrac{dt}{dx}\left(x\right), \end{equation*}

dove in * abbiamo applicato la regola della catena.
Consideriamo ora \tilde{a}=a \circ t, dunque

    \[\tilde{a}(x)=a(t(x))=\dfrac{dv}{dt}\left(t(x)\right)\]

e con (4) possiamo riscrivere

(5)   \begin{equation*} \tilde{a}(x)=\dfrac{\dfrac{d\tilde{v}}{dx}(x)}{\dfrac{dt}{dx}\left(x\right)}=\frac{d\tilde{v}}{dx}\left(x\right)\,\dfrac{1}{\dfrac{dt}{dx}\left(x\right)}. \end{equation*}

Osserviamo che (5) è ben definita perchè per ipotesi \dfrac{dt}{dx}\left(x\right)\neq0.

Per la regola della derivata della funzione inversa si ha che

(6)   \begin{equation*} \dfrac{dx}{dt}(t)=\dfrac{1}{\frac{dt}{dx}(x)} \quad \mbox{ dove } x=x(t) \end{equation*}

ed applicando la (6) alla (5), allora (5) diventa

    \[\tilde{a}(x)= \tilde{v}(x)\,\frac{d\tilde{v}}{dx}\left(x\right).\]

\phantom{a}\qquad\qed