Seconda legge della dinamica per sistemi a massa variabile

Revisori: Alberto Cella, Andrea Corradini.

Quando Newton enunciò la seconda legge della dinamica, definì innanzitutto la quantità di moto (o impulso) come il prodotto tra la massa e la velocità di un corpo. Successivamente, formulò il secondo principio affermando che la variazione della quantità di moto di un corpo di massa è pari alla forza risultante che agisce su di esso e avviene nella direzione della forza applicata. In forma matematica, tale principio si esprime come

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dove rappresenta la quantità di moto del corpo rispetto a un sistema di riferimento inerziale, e è la sua velocità istantanea. Poiché la massa del corpo è costante nel tempo, l’equazione si semplifica e si ottiene:

dove è l’accelerazione del corpo in un generico istante . Tuttavia, la formulazione generale in termini di quantità di moto ha portato, nel tempo, a interrogarsi sulla validità della legge anche nel caso in cui la massa del corpo sia variabile nel tempo.

Iniziamo col chiarire che, con sistema a massa variabile intendiamo un corpo o un insieme di corpi la cui massa totale cambia nel tempo, in quanto vi è possibilmente ingresso e uscita di materia dal sistema. Esempi tipici includono:

• un razzo che espelle gas combusto nello spazio (la massa diminuisce);
• un carrello carico di sabbia che la disperde attraverso un buco sul fondo (la massa diminuisce);
• un carrello che raccoglie sabbia da un nastro trasportatore (la massa aumenta);
• una goccia d’acqua che si forma lentamente su un rubinetto (la massa cresce fino al distacco).

Le leggi della dinamica, nella forma più nota, sono generalmente enunciate per punti materiali, ossia oggetti puntiformi di massa costante, oppure per sistemi di punti materiali, cioè un insieme costituito in ogni istante dagli stessi punti materiali. Tale richiesta è dovuta al fatto che, escludendo fenomeni relativistici, la massa non può essere creata o distrutta, e quindi la massa di un insieme di punti materiali può variare solo se vi sono punti che entrano o escono dall’insieme considerato.

Osserviamo quindi che, nell’accezione sopra riportata, un sistema fisico può variare la sua massa solo perché i punti materiali che lo costituiscono a un certo istante non sono in generale gli stessi punti materiali che lo costituiscono all’istante .

Riassumendo, un sistema è a massa variabile non perché i punti materiali che lo costituiscono cambino la loro massa, ma solo perché stiamo cambiando nel tempo i confini tra ciò che chiamiamo sistema e l’ambiente esterno. In altre parole, a ogni istante scegliamo arbitrariamente quali punti materiali includere o meno in ciò che desideriamo sia il sistema, cioè facciamo variare nel tempo la quantità di punti materiali di cui sommiamo la quantità di moto nella maniera che riteniamo più conveniente.

Ad esempio, consideriamo un carrello carico di sabbia che la perde attraverso un buco sul fondo; in base a una nostra preferenza come osservatori, scegliamo di chiamare sistema, istante per istante, l’insieme di punti materiali costituito dal carrello e dai granelli di sabbia in esso contenuti in quel momento. Ma questa è solo una nostra scelta arbitraria: per quale ragione dovremmo smettere di tener conto delle proprietà fisiche di alcuni granelli di sabbia, per il solo fatto che questi si stanno allontanando dal carrello?

La variabilità e l’arbitrarietà temporale sopra descritta riguardo i confini del sistema, cioè dei contributi che decidiamo di inserire nel computo totale della quantità di moto, costituisce un primo segnale di allarme per la validità di qualunque legge fisica: se cambiamo a nostro piacimento nel tempo i punti materiali presi in esame, la quantità di moto di ciò che chiamiamo sistema varia anche solo per effetto di queste scelte arbitrarie. Non sembra ragionevole che una quantità fisica come una forza dipenda da una nostra scelta di includere o trascurare (in maniera variabile nel tempo) alcuni punti materiali nella nostra analisi.