Esercizio leggi della dinamica 1

Dinamica del punto materiale Leggi di Newton in meccanica classica

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Esercizio 1 (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar \largewhitestar\largewhitestar). Il sistema in figura è composto da due masse m_1=10 kg e m_2=5 kg in equilibrio. Se la forza di attrito statico tra il blocco di massa m_1 e il piano di appoggio è massima, quanto vale il coefficiente di attrito statico?

 

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Svolgimento. Chiamiamo \theta = 30^\circ e rappresentiamo lo schema delle forze scegliendo un sistema di riferimento Oxy orientato come in figura.

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Ricordiamo che il secondo principio della dinamica afferma che, in un sistema di riferimento inerziale, la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

(1)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt}, \end{equation*}

dove \vec{P}=m\vec{v}.
Applichiamo (1) ed otteniamo

(2)   \begin{equation*} \begin{cases} N=m_1g\\ f_s = T_3 \\ T_1 \sin \theta = T_3\\ T_1 \cos \theta = T_2\\ T_2 = m_2 g \end{cases}, \end{equation*}

dove N è il modulo della reazione vincolare tra m_1 e il piano di appoggio, f_s è la forza di attrito statico tra m_1 e il piano di appoggio, T_1,T_2 e T_3 sono le tensioni sviluppate dai fili, rappresentati in figura, supposti inestensibili e di massa trascurabile ed infine m_1g e m_2g sono le forze peso.
Dal sistema (2) otteniamo

    \[f_s = T_3 = T_1 \sin \theta = \dfrac{T_2}{\cos \theta} \; \sin \theta =m_2 g \, \tan \theta.\]

Sapendo che la forza di attrito statico deve essere massima, poniamo

    \[f_s=N\mu_s,\]

dove \mu_s è il coefficiente di attrito statico che dobbiamo determinare.

Dunque

    \[f_s = m_1 g \mu_s\quad \Leftrightarrow \quad\mu_s = \dfrac{f_s}{m_1 g} = \dfrac{m_2 g \, \tan \theta }{m_1 g} = \dfrac{m_2}{m_1} \tan \theta.\]

Utilizzando i valori dati dal problema concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \mu_s = \dfrac{\sqrt{3}}{6} = 0.29.}\]

 

Fonte: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.