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Esercizio 58  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato un sistema di riferimento fisso Oxy, si consideri un punto materiale vincolato a muoversi sulla curva \Gamma di equazione y=x^3, dove x\in\mathbb{R}. Il punto materiale è sottoposto ad una forza costante \vec{F}=-30\,\hat{x}\,\text{ N}+ 15\,\hat{y}\,\text{ N}, dove \hat{x} e \hat{y} sono rispettivamente i versori dell’asse delle x e delle y. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza sul punto materiale lungo il tratto di curva con x \in [0,2]\,\text{m}.

Svolgimento.

La posizione del punto materiale si può riscrivere come

(1)   \begin{equation*} \vec{r}=x\,\hat{x}+x^3\,\hat{y}. \end{equation*}

Derivando ambo i membri rispetto al tempo la precedente equazione, si ottiene

(2)   \begin{equation*} \dfrac{d\vec{r}}{dt}=\dot{x}\,\hat{x}+3x^2\dot{x}\,\hat{y}. \end{equation*}

Il lavoro della forza \vec{F} è

(3)   \begin{equation*} L=\int_{t=0}^{t=t_2}\vec{F}\cdot \dfrac{d\vec{r}}{dt}\,dt=\int_{t_1}^{t_2}\left(-30x\dot{x}+45x^2\dot{x}\right)dt, \end{equation*}

dove t=0 è l’istante di tempo corrispondente alla posizione x=0 e t=t_1 è l’istante di tempo corrispondente alla posizione x=2\,\text{m}, inoltre nei precedenti calcoli si è fatto il prodotto scalare tra la forza \vec{F}=-30\,\hat{x}\,\text{ N}+ 15\,\hat{y}\,\text{ N} e il vettore velocità d\vec{r}/dt determinato nell’equazione (2). Svolgendo i calcoli la precedente equazione diventa

(4)   \begin{equation*} \begin{aligned} L&=-15{x^2}+15x^3\bigg \vert^{t=t_2}_{t=0}=\\[10pt] &=\left(-15x^2(t_2)+15x^3(t_2)\right)-\underbrace{\left(-15x^2(t_1)+15x^3(t_1)\right)}_{=0}=\\[10pt] &=-15\cdot4\,\text{J}+15\cdot 8\,\text{J}=60\,\text{J}. \end{aligned} \end{equation*}

Si conclude che il lavoro cercato è

    \[\boxcolorato{fisica}{L = \text{60 J}.}\]