Esercizio corpo rigido 53

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 53  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un cilindro pieno di raggio R/4 rotola senza strisciare dentro un tubo di raggio R. Nella metà di destra del tubo l’attrito è nullo. Se all’istante iniziale il cilindro è fermo nella parte di sinistra e la quota del centro di massa è R/2, determinare la posizione di arrivo del cilindro e la velocità angolare \omega. Si supponga il tubo fisso.

 

 

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Svolgimento.

Definiamo un sistema di riferimento fisso Oxyz in modo che il punto più basso del tubo sia a quota nulla e la quota più bassa raggiungibile dal centro di massa del cilindro sia pari a R/4. Denotiamo con \tilde{y} la quota più alta raggiunta dal centro di massa del cilindro nella parte destra del tubo. Per chiarezza chiameremo la posizione A come quella iniziale, la B come quella con quota minima del cilindro, e la C come quella con quota maggiore raggiunta nella parte destra del tubo, come mostrato in figura 2.

 

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Nel resto della risoluzione denoteremo l’energia cinetica come K, quella potenziale gravitazionale come U e l’energia meccanica totale come E=K+U.

La dinamica del cilindro pieno avviene nel seguente modo: per ipotesi il cilindro rotola senza strisciare (cioè il moto è di puro rotolamento) sulla parte di tubo scabra, dalla posizione A alla posizione B. In B il cilindro ha velocità angolare \vec{\omega}. Da B a C il cilindro risale sulla parte destra del tubo ruotando a velocità angolare costante \vec{\omega}, non essendovi attrito, e dato che rispetto al centro di massa la somma dei momenti esterni risulta nulla, fino a raggiungere la posizione finale C, a quota \tilde{y}, in cui il centro di massa ha velocità nulla. In altri termini da B a C il cilindro ruota a velocità angolare costante \vec{\omega} e il centro di massa ha velocità \vec{v}_{\text{CM}} che istante per istante diminuisce per effetto della forza peso fino ad annullarsi, cioè \vec{v}_{\text{CM}}=\vec{0}, in corrispondenza della quota \tilde{y}. Nella quota \tilde{y} il cilindro avrà velocità angolare \vec{\omega}, per poi ritornare indietro per effetto della forza peso. Nella posizione A il cilindro ha energia cinetica nulla, cioè K_A=0, quindi la sua energia meccanica sarà solamente di tipo potenziale e data da

(1)   \begin{equation*} E_A = U_A = mg\frac{R}{2}+\text{costante}. \end{equation*}

Riguardo la velocità angolare del cilindro \omega possiamo osservare come la sua variazione derivi dal momento della forza di attrito agente tra la parte sinistra del tubo ed il cilindro, come descritto dalla seconda legge cardinale della dinamica dei corpi rigidi, cioè

(2)   \begin{equation*} M^{\text{(ext)}}=I_{\text{CM}}\frac{d\omega}{dt}, \end{equation*}

essendo M^{\text{(ext)}} il modulo del momento risultante delle forze esterne agenti sul corpo rispetto al suo centro di massa, I_{\text{CM}} il momento di inerzia del corpo rispetto al centro di massa e \omega la sua velocità angolare istantanea. Si noti che la forza peso ha momento nullo rispetto al centro di massa, quindi non dà contributo al momento risultante. Inoltre, la reazione vincolare è diretta sempre verso il centro del cilindro, pertanto ha momento nullo rispetto al centro del cilindro. L’unica forza che genera un momento esterno rispetto al centro del disco è la forza di attrito statico nella zona che va da A a B; tale momento si annulla quando il cilindro giunge nella parte destra per assenza di forze d’attrito, con la conseguenza che in quella zona (cioè nella zona da B a C), secondo la (2), la velocità angolare si manterrà costante. Iniziamo dal descrivere la conservazione dell’energia tra la posizione A e la posizione B; chiaramente l’energia si conserva perché il cilindro si muove di puro rotolamento. Introducendo la componente della velocità istantanea del centro di massa v_{\text{CM}} e il momento d’inerzia del cilindro rispetto al suo asse di simmetria, cioè

(3)   \begin{equation*} I_{\text{CM}}=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{R}{4}\right)^2; \end{equation*}

allora l’energia cinetica nel punto più basso della traiettoria vale

(4)   \begin{equation*} K_B = \frac{1}{2} m v_{\text{CM}}^2 + \frac{1}{2} I_C \omega^2 = \frac{m}{2}\left(\omega\frac{R}{4}\right)^2 + \frac{m}{4}\left(\frac{R}{4}\right)^2\omega^2 = \frac{3}{64}mR^2\omega^2, \end{equation*}

avendo usato la condizione del moto di puro rotolamento: v_{\text{CM}}=-\omega {R}/{4}. Si osservi che la precedente equazione è un’applicazione del teorema di König per l’energia cinetica. In B il cilindro ha energia potenziale

(5)   \begin{equation*} U_B = mg\dfrac{R}{4}+\text{costante}. \end{equation*}

Quindi l’energia meccanica totale in B è

(6)   \begin{equation*} E_B= K_B +U_B =\frac{3}{64}mR^2\omega^2+ mg\dfrac{R}{4}+\text{costante}. \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato le due precedente equazioni. Imponendo la conservazione dell’energia tra A e B, otteniamo

(7)   \begin{equation*} E_A=E_B, \end{equation*}

da cui sfruttando le equazioni (1) e (6), otteniamo

(8)   \begin{equation*} mg\frac{R}{2} = \frac{3}{64}mR^2\omega^2 + mg\frac{R}{4}. \end{equation*}

Dalla precedente equazione si può ottenere il valore della velocità angolare nel punto B, cioè

(9)   \begin{equation*} \omega = \sqrt{mg\frac{R}{4}\cdot \frac{64}{3mR^2}} = 4\sqrt{\frac{g}{3R}}. \end{equation*}

Come già detto in precedenza, questo valore di \omega rimarrà invariato (cioè costante) da B a C. Passiamo ora all’analisi della seconda parte del moto del cilindro pieno, quella da B a C. Quando il cilindro giunge nella posizione C esso non ha energia cinetica nulla: il centro di massa ha velocità pari a zero, ma la velocità angolare è non nulla ed uguale ad \omega, e conseguentemente in C la sua energia cinetica sarà puramente rotazionale, cioè

(10)   \begin{equation*} K_C = \frac{1}{2} I_{\text{CM}} \omega^2=\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2, \end{equation*}

mentre l’energia potenziale in C è

(11)   \begin{equation*} U_C = mg\tilde{y}+\text{costante}. \end{equation*}

Avvalendoci delle due precedenti equazioni possiamo scrivere l’energia totale del cilindro in C, cioè

(12)   \begin{equation*} E_C=K_C+ U_C=\dfrac{1}{4}mR^2\omega^2+mg\tilde{y}+\text{costante}. \end{equation*}

Sempre tramite la conservazione dell’energia meccanica possiamo trovare la quota finale della posizione C. Imponiamo la conservazione dell’energia meccanica in A e in C, ottenendo

(13)   \begin{equation*} E_A=E_C, \end{equation*}

conseguentemente avvalendoci delle equazioni (1) e (12) la precedente equazione diventa

(14)   \begin{equation*} mg\frac{R}{2} = \dfrac{1}{4}mR^2\omega^2+mg\tilde{y}, \end{equation*}

o anche

(15)   \begin{equation*} \tilde{y} = \frac{R}{2} - \frac{1}{2mg}\,\frac{mR^2}{32}\,\frac{16g}{3R} = \frac{R}{2} - \frac{R}{12} = \frac{5}{12} R, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il risultato ottenuto nell’equazione (9). Si conclude che la posizione di arrivo è

    \[\boxcolorato{fisica}{\tilde{y}=\frac{5}{12} R.}\]

 

Osservazione. Si osservi il fatto ovvio che da B a C il moto del cilindro non è più di puro rotolamento, ma è dato dalla composizione di un moto circolare uniforme rispetto al suo asse di simmetria, e un moto circolare vario del centro di massa rispetto ad un asse passante per il centro del tubo e perpendicolare al piano sul quale giace il tubo. Il centro di massa si muove di moto circolare rispetto al centro del tubo perché si trova ad una distanza costante da esso durante tutto il suo moto. La velocità angolare del centro di massa rispetto al centro del tubo varia perché nella parte destra del tubo il cilindro è soggetto alla forza peso e alla reazione vincolare, che hanno rispettivamente un momento che varia istante per istante rispetto al centro del tubo perché dipende dall’angolo \theta che forma il segmento che congiunge il centro del tubo con il centro del cilindro con la verticale, e momento nullo. Inoltre, si osservi che come ci si poteva già aspettare si è trovato che: \tilde{y} < y_{\text{in}}=R/2, dato che in C una parte dell’energia iniziale è stata trasforma in energia cinetica rotazionale il cilindro doveva arrivare necessariamente ad una quota inferiore rispetto a quella iniziale.