Esercizio 7 . Un punto materiale percorre il tratto
orizzontale, dove in
ha velocità di modulo
e in
ha velocità di modulo
minore di
, in quanto tra
e
l’accelerazione al quale è sottoposto è
, con
costante avente unità di misura
. Dopo
il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in
. Si ha:
,
e
. Calcolare il valore di
in funzione degli altri parametri del problema.
Svolgimento. eriale considerato parte dal punto con velocità
, diretta lungo l’asse
, e raggiunge il punto
con velocità
, ancora diretta lungo l’asse delle
. Raggiunto
, il punto materiale prosegue il suo moto nel vuoto; il suo moto, pertanto, sarà composizione di un moto orizzontale (rettilineo uniforme di velocità
) ed uno verticale (rettilineo uniformemente accelerato, di accelerazione
diretta nel verso negativo delle
). La composizione dei due moti darà dunque origine ad una traiettoria parabolica, illustrata in figura 2. Scegliamo un sistema di riferimento fisso
, orientato come in figura 2. Nel problema in esame, il punto materiale considerato parte dal punto
con velocità
, diretta lungo l’asse
, e raggiunge il punto
con velocità
, ancora diretta lungo l’asse delle
. Raggiunto
, il punto materiale prosegue il suo moto nel vuoto; il suo moto, pertanto, sarà composizione di un moto orizzontale (rettilineo uniforme di velocità
) ed uno verticale (rettilineo uniformemente accelerato, di accelerazione
diretta nel verso negativo delle
). La composizione dei due moti darà dunque origine ad una traiettoria parabolica, illustrata in figura 2.
Le leggi orarie lungo l’asse delle e delle
sono
(1)
in cui si è considerata l’ordinata dalla quale ha inizio il moto considerato, ed anche
, ossia velocità iniziale nulla nella direzione dell’asse delle
. Considerando che il punto tocca suolo a
, la seconda equazione del sistema diventa
(2)
dalla quale è possibile ricavare il tempo in cui il punto tocca suolo ovvero
(3)
In corrispondenza dell’istante di tempo appena ricavato, il punto avrà anche percorso una distanza lungo pari a
, e dunque varrà:
(4)
dalla quale è possibile ricavare , cioè
(5)
Concentriamo adesso la nostra attenzione su quanto è accaduto precedentemente nel tratto : il moto in tale tratto è decelerato, con accelerazione che varia linearmente in funzione della velocità, ossia
. Se consideriamo la definizione dell’accelerazione, possiamo scrivere la precedente equazione come un’equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti, cioè
(6)
ed ancora, applicando la regola della catena , si avrà
(7)
in cui è possibile semplificare per , ottenendo pertanto
(8)
la quale possiamo integrare rispetto ad , considerando come estremi di integrazione
e
, ossia gli estremi del tratto orizzontale percorso, vale a dire
(9)
Si ha
e
(10)
da cui
(11)
o anche
Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises.