Moto parabolico 7

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Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale percorre il tratto $AB$ orizzontale, dove in $A$ ha velocità di modulo $v_1$ e in $B$ ha velocità di modulo $v_2$ minore di $v_1$ , in quanto tra $A$ e $B$ l’accelerazione al quale è sottoposto è $-kv$ , con $k$ costante avente unità di misura $\text{s}^{-1}$ . Dopo $B$ il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in $D$ . Si ha: $\overline{AB}=b$ , $\overline{BC}=h$ e $\overline{CD}=d$ . Calcolare il valore di $v_1$ in funzione degli altri parametri del problema.

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Svolgimento. eriale considerato parte dal punto $A$ con velocità $\vec{v}_1$ , diretta lungo l’asse $x$ , e raggiunge il punto $B$ con velocità $\vec{v}_2$ , ancora diretta lungo l’asse delle $x$ . Raggiunto $B$ , il punto materiale prosegue il suo moto nel vuoto; il suo moto, pertanto, sarà composizione di un moto orizzontale (rettilineo uniforme di velocità $v_2$ ) ed uno verticale (rettilineo uniformemente accelerato, di accelerazione $g$ diretta nel verso negativo delle $y$ ). La composizione dei due moti darà dunque origine ad una traiettoria parabolica, illustrata in figura 2. Scegliamo un sistema di riferimento fisso $Cxy$ , orientato come in figura 2. Nel problema in esame, il punto materiale considerato parte dal punto $A$ con velocità $\vec{v}_1$ , diretta lungo l’asse $x$ , e raggiunge il punto $B$ con velocità $\vec{v}_2$ , ancora diretta lungo l’asse delle $x$ . Raggiunto $B$ , il punto materiale prosegue il suo moto nel vuoto; il suo moto, pertanto, sarà composizione di un moto orizzontale (rettilineo uniforme di velocità $v_2$ ) ed uno verticale (rettilineo uniformemente accelerato, di accelerazione $g$ diretta nel verso negativo delle $y$ ). La composizione dei due moti darà dunque origine ad una traiettoria parabolica, illustrata in figura 2.

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Le leggi orarie lungo l’asse delle $x$ e delle $y$ sono

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle x(t) = v_2 t\\\\ \displaystyle y(t) = BC - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \end{equation*}$

in cui si è considerata $y_0=BC$ l’ordinata dalla quale ha inizio il moto considerato, ed anche $v_{0y}=0$ , ossia velocità iniziale nulla nella direzione dell’asse delle $y$ . Considerando che il punto tocca suolo a $y(t)=0$ , la seconda equazione del sistema diventa

(2) $\begin{equation*} BC=\frac{1}{2}gt^2, \end{equation*}$

dalla quale è possibile ricavare il tempo $t$ in cui il punto tocca suolo ovvero

(3) $\begin{equation*} t=\sqrt{\frac{2BC}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}. \end{equation*}$

In corrispondenza dell’istante di tempo appena ricavato, il punto avrà anche percorso una distanza lungo $x$ pari a $CD=d$ , e dunque varrà:

(4) $\begin{equation*} d=v_2\sqrt{\frac{2h}{g}}, \end{equation*}$

dalla quale è possibile ricavare $v_2$ , cioè

(5) $\begin{equation*} v_2=d\sqrt{\frac{g}{2h}}. \end{equation*}$

Concentriamo adesso la nostra attenzione su quanto è accaduto precedentemente nel tratto $AB$ : il moto in tale tratto è decelerato, con accelerazione che varia linearmente in funzione della velocità, ossia $a=-kv$ . Se consideriamo la definizione dell’accelerazione, possiamo scrivere la precedente equazione come un’equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti, cioè

(6) $\begin{equation*} \frac{dv}{dt}=-kv, \end{equation*}$

ed ancora, applicando la regola della catena $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dv}{dx}=v\dfrac{dv}{dx}$ , si avrà

(7) $\begin{equation*} v\frac{dv}{dx}=-kv, \end{equation*}$

in cui è possibile semplificare per $v$ , ottenendo pertanto

(8) $\begin{equation*} \frac{dv}{dx}=-k, \end{equation*}$

la quale possiamo integrare rispetto ad $x$ , considerando come estremi di integrazione $0$ e $b$ , ossia gli estremi del tratto orizzontale percorso, vale a dire