Moto parabolico 7

Moto parabolico

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Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale percorre il tratto AB orizzontale, dove in A ha velocità di modulo v_1 e in B ha velocità di modulo v_2 minore di v_1, in quanto tra A e B l’accelerazione al quale è sottoposto è -kv, con k costante avente unità di misura \text{s}^{-1}. Dopo B il punto prosegue nel vuoto e tocca il suolo in D. Si ha: \overline{AB}=b, \overline{BC}=h e \overline{CD}=d. Calcolare il valore di v_1 in funzione degli altri parametri del problema.

 

 

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Svolgimento. eriale considerato parte dal punto A con velocità \vec{v}_1, diretta lungo l’asse x, e raggiunge il punto B con velocità \vec{v}_2, ancora diretta lungo l’asse delle x. Raggiunto B, il punto materiale prosegue il suo moto nel vuoto; il suo moto, pertanto, sarà composizione di un moto orizzontale (rettilineo uniforme di velocità v_2) ed uno verticale (rettilineo uniformemente accelerato, di accelerazione g diretta nel verso negativo delle y). La composizione dei due moti darà dunque origine ad una traiettoria parabolica, illustrata in figura 2. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Cxy, orientato come in figura 2. Nel problema in esame, il punto materiale considerato parte dal punto A con velocità \vec{v}_1, diretta lungo l’asse x, e raggiunge il punto B con velocità \vec{v}_2, ancora diretta lungo l’asse delle x. Raggiunto B, il punto materiale prosegue il suo moto nel vuoto; il suo moto, pertanto, sarà composizione di un moto orizzontale (rettilineo uniforme di velocità v_2) ed uno verticale (rettilineo uniformemente accelerato, di accelerazione g diretta nel verso negativo delle y). La composizione dei due moti darà dunque origine ad una traiettoria parabolica, illustrata in figura 2.

 

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Le leggi orarie lungo l’asse delle x e delle y sono

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle x(t) = v_2 t\\\\ \displaystyle y(t) = BC - \frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \end{equation*}

in cui si è considerata y_0=BC l’ordinata dalla quale ha inizio il moto considerato, ed anche v_{0y}=0, ossia velocità iniziale nulla nella direzione dell’asse delle y. Considerando che il punto tocca suolo a y(t)=0, la seconda equazione del sistema diventa

(2)   \begin{equation*} BC=\frac{1}{2}gt^2, \end{equation*}

dalla quale è possibile ricavare il tempo t in cui il punto tocca suolo ovvero

(3)   \begin{equation*} t=\sqrt{\frac{2BC}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{g}}. \end{equation*}

In corrispondenza dell’istante di tempo appena ricavato, il punto avrà anche percorso una distanza lungo x pari a CD=d, e dunque varrà:

(4)   \begin{equation*} d=v_2\sqrt{\frac{2h}{g}}, \end{equation*}

dalla quale è possibile ricavare v_2, cioè

(5)   \begin{equation*} v_2=d\sqrt{\frac{g}{2h}}. \end{equation*}

Concentriamo adesso la nostra attenzione su quanto è accaduto precedentemente nel tratto AB: il moto in tale tratto è decelerato, con accelerazione che varia linearmente in funzione della velocità, ossia a=-kv. Se consideriamo la definizione dell’accelerazione, possiamo scrivere la precedente equazione come un’equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti, cioè

(6)   \begin{equation*} \frac{dv}{dt}=-kv, \end{equation*}

ed ancora, applicando la regola della catena \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dx}{dt}\dfrac{dv}{dx}=v\dfrac{dv}{dx}, si avrà

(7)   \begin{equation*} v\frac{dv}{dx}=-kv, \end{equation*}

in cui è possibile semplificare per v, ottenendo pertanto

(8)   \begin{equation*} \frac{dv}{dx}=-k, \end{equation*}

la quale possiamo integrare rispetto ad x, considerando come estremi di integrazione 0 e b, ossia gli estremi del tratto orizzontale percorso, vale a dire

(9)   \begin{equation*} \int_0^b \frac{dv}{dx} \, dx = - \int_0^b k \, dx. \end{equation*}

Si ha

    \[\int_0^b \frac{dv}{dx} dx = \int_{v_1}^{v_2} dv=v_2-v_1,\]

e

(10)   \begin{equation*} - \int_0^b k \, dx=-kb, \end{equation*}

da cui

(11)   \begin{equation*} v_2-v_1=-kb, \end{equation*}

o anche

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_1=kb+v_2=kb+d\sqrt{\frac{g}{2h}}.}\]

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises.