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Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un cannone lancia un proiettile A dall’origine di un sistema di riferimento fisso con velocità v_A= \left(\dfrac{v_0 \cos\alpha}{\sqrt{2}} ,\,\dfrac{v_0\cos\alpha}{\sqrt{2}},\, v_0\sin\alpha\right) ad un istante generico t>0. Un altro punto materiale B viene lanciato da r_B=(x_B,0,0) con velocità v_B \equiv \left(\dfrac{v_0}{6},\,\dfrac{\sqrt{3}v_0}{6},\,0 \right) al tempo t_0=0.  Calcolare l’angolo \alpha della velocità v_A e l’istante di lancio t^* di A affinché A colpisca B.

 

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Svolgimento.  Il punto materiale B si muove di moto rettilineo uniforme nel piano xy, pertanto le sue legge orarie sono

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=x_B+\dfrac{v_0}{6}t\\\\ y(t)=\dfrac{\sqrt{3}}{6}v_0t \end{cases}. \end{equation*}

Da (1)_2 abbiamo

(2)   \begin{equation*} t=\dfrac{6y}{\sqrt{3}v_0} \end{equation*}

e sostituendola in (1)_1 otteniamo

(3)   \begin{equation*} y\left(x\right)=\sqrt{3}\left(x-x_B\right), \end{equation*}

ovvero la traiettoria di B.
Procediamo in modo analogo per A

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=\dfrac{v_0\cos\alpha}{\sqrt{2}}\left(t-t^\star\right)\\\\ y(t)=\dfrac{v_0\cos\alpha}{\sqrt{2}}\left(t-t^\star\right)\\\\ z(t)=v_0\sin\alpha \left(t-t^\star\right)-\dfrac{1}{2}g\left(t-t^\star\right)^2 \end{cases} \end{equation*}

e da (4)_1 abbiamo

(5)   \begin{equation*} t-t^\star=\dfrac{\sqrt{2}x}{v_0\cos\alpha} \end{equation*}

che, sostituita in (4)_2, fornisce

(6)   \begin{equation*} y=x. \end{equation*}

Mettendo a sistema (3) e (6) otteniamo

(7)   \begin{equation*} \begin{cases} y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}x_B\\\\ y=x \end{cases} \end{equation*}

che ha come soluzione

(8)   \begin{equation*} \begin{cases} x\equiv x_f=-\dfrac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\,x_B\\\\ y\equiv y_f=-\dfrac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\,x_B \end{cases} \end{equation*}

che è il punto dove si incontreranno B ed il punto materiale A.
Rappresentiamo i due punti materiali che si incontrano nel punto (x_f,y_f)

 

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e la traiettoria del punto A nello spazio.

 

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Ricordiamo la formula della gittata per un corpo che si muove di moto parabolico partendo dall’origine del sistema di riferimento:

(9)   \begin{equation*} {\displaystyle d={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\alpha )}{g}}} \end{equation*}

e calcoliamo la distanza tra l’origine e (x_f,y_f)

(10)   \begin{align*} &\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}x_B\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}x_B\right)^2}=\sqrt{2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}x_B\right)^2}=\\ &=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}x_B=d_G. \end{align*}

Imponendo che d=d_G abbiamo

(11)   \begin{equation*} \dfrac{v_0^2\sin\left(2\alpha\right)}{g}=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1}x_B, \end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} \alpha=\dfrac{1}{2}\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{6}\,g\,x_B}{v_0^2\left(\sqrt{3}-1\right)}\right). \end{equation*}

Si conclude che l’angolo cercato è

    \[\boxcolorato{fisica}{ \alpha=\dfrac{1}{2}\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{6}\,g\,x_B}{v_0^2\left(\sqrt{3}-1\right)}\right).}\]

Inoltre, da (2), si ha

(13)   \begin{equation*} t^\star=\dfrac{6y_f}{\sqrt{3}v_0}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\,\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\, \dfrac{x_B}{v_0}=3\left(\sqrt{3}+1\right)\dfrac{x_B}{v_0}. \end{equation*}

Si conclude che il tempo t^\star cercato è

    \[\boxcolorato{fisica}{ t^\star=3\left(\sqrt{3}+1\right)\dfrac{x_B}{v_0}.}\]