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Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una palla da baseball viene lanciata verso il battitore orizzontalmente a una velocità iniziale v_0. La distanza a cui si trova il battitore è d. Si richiede di rispondere alle domande che seguono.
a) Quanto tempo impiega la palla a coprire la prima metà di d in orizzontale? E la rimanente metà?
b) Quanto cade la palla per effetto della gravità nella prima metà in orizzontale?
E nella rimanente metà?

 

 

Svolgimento punto a).  La palla da baseball compie un moto parabolico, ovvero il suo moto è dato dalla composizione di due moti: rettilineo uniforme lungo l’orizzontale e uniformemente accelerato lungo l’asse verticale con accelerazione di gravità \vec{g}.
Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy con origine O fissato dove si trova la palla all’istante t=0.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Dunque lungo l’asse x il moto è rettilineo uniforme con legge oraria

(1)   \begin{equation*} x(t)=x_0+v_{0,x}t, \end{equation*}

dove x_0 indica la posizione iniziale della palla rispetto al nostro sistema di riferimento che nel nostro caso coincide con l’origine, ovvero

    \[x_0=0,\]

mentre v_{0,x} rappresenta la velocità con la quale la palla si muove lungo l’asse x ed in questo caso è proprio uguale ad v_0, cioè

    \[v_{0,x}=v_0.\]

Dunque (1) diventa

    \[x(t)=v_0t.\]

Lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato con legge oraria

(2)   \begin{equation*} y(t)=y_0+v_{0,y}t+\dfrac{1}{2}at^2, \end{equation*}

dove y_0 è la posizione iniziale della palla che, ovvero

    \[y_0=0,\]

mentre v_{0,y} rappresenta la velocità iniziale lungo l’asse y che possiede la palla ed è uguale a zero poichè inizialmente la velocità della palla è solo orizzontale, quindi

    \[v_{0,y}=0,\]

infine l’accelerazione a con la quale si muove la palla è pari all’accelerazione di gravità in modulo e di verso negativo rispetto al sistema di riferimento scelto, cioè

    \[a=-g.\]

Così (2) diventa

    \[y(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2.\]

Mettendo a sistema (1) e (2) otteniamo

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=v_{0} t\\ y(t)=-\frac{1}{2}gt^2 \end{cases} \end{equation*}

Posto x=\dfrac{d}{2}, da (3)_1 otteniamo che il tempo che la palla impiega a percorrere una distanza orizzontale d/2

    \[\boxcolorato{fisica}{ t=t_1= \dfrac{d}{2v_0}.}\]

Siccome il moto lungo l’asse x è un moto rettilineo uniforme, per percorrere la successiva metà\footnote{In tempi uguali percorre lo stesso spazio ma questo avviene solo se il moto è rettilineo uniforme, ad esempio lungo l’asse y siccome il moto è accelerato questa cosa non vale.}, il tempo t_2 sarà lo stesso, quindi

    \[\boxcolorato{fisica}{t_1=t_2.}\]

 

Svolgimento punto b).  Siano y_1 e y_2 rispettivamente la distanza che percorre la palla lungo l’asse y nel tempo t_1 e t_1+t_2.
Nella seguente figura rappresentiamo il moto parabolico della palla e gli spazi sopra definiti.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Sostituendo t=t_1 in (3)_2 e volendo trovare solo il modulo otteniamo

    \[\left \vert y(t_1)\right \vert =y_1=\left\vert -\dfrac{1}{2}gt_1^2 \right\vert=\dfrac{1}{2}gt_1^2=\dfrac{gd^2}{8v^2_0},\]

quindi la distanza percorsa lungo l’asse y nella prima metà è:

    \[\boxcolorato{fisica}{y_1=\dfrac{gd^2}{8v^2_0}.}\]

Ora sostituiamo t=t_1+t_2=2t_1 in (3)_2 e, volendo determinare il modulo, otteniamo

    \[\left \vert y(t_1+t_2)\right \vert =y_2=\left\vert-\dfrac{1}{2}g(t_1+t_2)^2\right\vert=\dfrac{4g}{2}t_1^2=2g\cdot\dfrac{d^2}{4v_0^2}=4\cdot\dfrac{gd^2}{8v_0^2}=4y_1.\]

Quindi la distanza percorsa lungo l’asse y nella rimanente metà è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ y_2-y_1=3y_1=\dfrac{3gd^2}{8v^2_0}.}\]