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Esercizi svolti sul moto armonico

Moto circolare e moto armonico

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Sommario

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In questo articolo proponiamo alcuni esercizi sul moto armonico, un tipo particolare di moto periodico che riveste notevole importanza in quanto molto utile nella descrizione di numerosi fenomeni naturali. Dopo una breve introduzione teorica in cui presentiamo i principali parametri ed equazioni del moto armonico, viene dato spazio ai problemi grazie ai quali il lettore può applicare i concetti e le tecniche apprese dalla teoria.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Federico Manzoni.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Notazioni

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A    ampiezza del moto;
\omega    pulsazione del moto;
T    periodo del moto;
t    variabile temporale;
x(t)    legge oraria;
v(t)    velocità;
a(t)    accelerazione.


 
 

Richiami di teoria

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Il moto in un sistema di riferimento unidimensionale Ox di un corpo si dice armonico se la sua legge oraria è del tipo

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ x(t)= A \cos(\omega t+ \phi) \qquad \forall t \in \mathbb{R}, } \end{equation*}

dove il parametro A>0 è detto ampiezza del moto, \omega>0 è detta pulsazione e \phi è detta fase. Poiché la funzione \cos è periodica di periodo 2\pi, il moto armonico risulta periodico, ovvero si ripete sempre uguale a intervalli di tempo regolari. L’intervallo di tempo dopo il quale il moto si ripete è detto periodo e si indica in genere con il simbolo T. Esso si calcola imponendo che l’argomento del coseno aumenti di 2\pi, ovvero:

\[ \omega(t+T)+\phi= \omega t + \phi+2\pi \iff \omega T = 2\pi, \]

da cui

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ T=\frac{2 \pi}{\omega}, } \end{equation*}

relazione che esprime appunto il legame tra periodo e pulsazione del moto armonico.

Si possono ottenere delle informazioni qualitative sul moto armonico osservando l’equazione (1): poiché -1 \leq \sin t\leq 1, si vede che la posizione del corpo è confinata tra i valori -A e A, ovvero

\[ -A \leq x(t) \leq A \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \]

Più precisamente, osserviamo che x(t)=A negli istanti di tempo per i quali l’argomento del coseno è un multiplo di 2\pi, mentre x(t)=-A negli istanti di tempo in cui l’argomento del coseno è pari a un multiplo dispari di \pi. Il corpo in moto armonico oscilla dunque all’infinito tra queste due posizioni estreme, passando per l’origine del sistema di riferimento negli istanti di tempo t che rendono nullo il coseno.

Osserviamo che una descrizione equivalente del moto armonico può avvenire utilizzando la funzione \sin al posto del coseno, in quanto \cos(t)= \sin\left ( t + \frac{\pi}{2}\right ). Dunque, scegliendo opportunamente il parametro \phi, si può usare indifferentemente la funzione coseno o la funzione seno.

Derivando (1) si ottengono rispettivamente la velocità e l’accelerazione del corpo:

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{fisica}{ v(t)= -A \omega \sin(\omega t +\phi), \quad a(t)= - A\omega^2 \cos(\omega t +\phi) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. } \end{equation*}

Da tali equazioni si vede che, nei punti in cui la distanza dall’origine è massima, la velocità è nulla e l’accelerazione è massima ma in verso opposto. Invece la velocità è massima quando x(t)=0.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale si muove, lungo l’asse x di un sistema di riferimento Ox, di moto armonico semplice con ampiezza A, periodo T e fase iniziale \phi_0. Si determinino:

\[\quad\]

  1. la legge oraria x(t), la velocità v(t) e l’accelerazione a(t) in funzione di t;

    2.  

  2. il massimo modulo della velocità v_{\mathrm{max}} e dell’accelerazione a_{\mathrm{max}}.

Svolgimento.

Schematizziamo il problema in figura 1.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: schematizzazione del problema.

\[\quad\]

Svolgimento punto 1.

Da (1) abbiamo x(t)=A \cos(\omega t +\phi_0); usando inoltre (2) si ottiene

\[ \boxcolorato{fisica}{ A \cos \left ( \frac{2\pi}{T}t +\phi_0 \right ) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. } \]

Derivando tale relazione ricaviamo

\[ \boxcolorato{fisica}{ v(t) =-\frac{2\pi A}{T} \sin\left ( \frac{2\pi}{T}t +\phi_0 \right ), \quad a(t) =-\frac{4\pi^2 A}{T^2} \cos\left ( \frac{2\pi}{T}t +\phi_0 \right ) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. } \]

Svolgimento punto 2.

Il massimo modulo della velocità e dell’accelerazione si ottiene dalle equazioni appena ricavate, osservando che le funzioni seno e coseno assumono massimo modulo pari a 1, da cui

\[ \boxcolorato{fisica}{ v_{\mathrm{max}}= \frac{2\pi A}{T}, \qquad a_{\mathrm{max}}= \frac{4\pi^2 A}{T^2}. } \]

 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale si muove, lungo l’asse x di un sistema di riferimento Ox, di un moto armonico semplice di periodo T e legge oraria x(t). Il moto è caratterizzato dalle seguenti condizioni:

\[\quad\]

  • all’istante di tempo t_1 si ha x(t_1)=0;

    •  

  • all’istante di tempo t_2 si ha v(t_2)=v_2 con v_2>0;

Si determini la legge oraria x(t) del moto.

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