Moti vari cinematica 7

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Esercizio 7  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). In un sistema di riferimento fisso Ox, consideriamo un punto che si muove seguendo la legge oraria x(t) = (5 - 4t) metri, valida per t \geq 0. Si richiede di calcolare:

  1. la velocità del punto nel generico istante t \geq 0;
  2. la posizione del punto per t = 0 e t = 2\,\text{s};
  3. il tempo in cui il punto attraversa l’origine del sistema di riferimento.

 

 

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Svolgimento.

La legge oraria del punto materiale è espressa in termini di una singola coordinata spaziale. Quindi, possiamo adottare come sistema di riferimento un asse orizzontale x orientato verso destra, come illustrato nella figura 1.

Indichiamo con x_0 la posizione del punto al tempo t = 0 e con x_1 la sua posizione al tempo t = 2, come mostrato nella figura. Dato che i valori esatti di x_0 e x_1 non sono ancora noti, essi sono stati posizionati a destra dell’origine per convenzione, assumendo senza perdita di generalità che x_0 > 0 e x_1 > x_0 > 0.

 

  1. La velocità del punto materiale si calcola derivando la legge oraria rispetto al tempo:

        \[\boxcolorato{fisica}{ v(t) = \frac{d}{dt}x(t) = -4\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}.}\]

    Dato che la velocità è costante nel tempo (non dipende da t), il punto materiale si muove in un moto rettilineo uniforme. Inoltre, poiché la velocità calcolata è negativa, il punto si sta spostando nella direzione negativa dell’asse delle x. Di conseguenza, possiamo aspettarci che x_1 < x_0.

  2. Per determinare i valori numerici delle posizioni x_0 e x_1, precedentemente definite, è necessario sostituire i valori t = 0 e t = 2 nella legge oraria. Questo ci porta ai seguenti risultati:

        \[\begin{aligned} & x_0 = x(0) = (5 - 4 \cdot 0)\text{m}, \\ & x_1 = x(2) = (5 - 4 \cdot 2)\text{m}. \end{aligned}\]

    Da queste, otteniamo che:

        \[\boxcolorato{fisica}{ x_0 = 5\ \text{m}\, , \quad x_1 = -3\ \text{m}.}\]

    Concludiamo quindi che, nella figura, il punto x_1 si deve situare a sinistra dell’origine O, in accordo con il fatto che la velocità è negativa.

  3. Il tempo in cui il punto passa per l’origine è il valore t = t^* tale per cui: x(t^*) = 0. Quindi  

    (1)   \begin{equation*} 			x(t^*)=5-4t^*=0, 		\end{equation*}

    che ci fa trovare

        \[\boxcolorato{fisica}{ t^* = 5/4\ \text{s} = \text{1,25}\ \text{s}.}\]

    Potevamo aspettarci a priori un valore di tempo compreso tra 0 e 2, una volta considerato che l’origine è situata tra il punto x_0 da cui ha origine il moto a t = 0, ed il punto x_1, raggiunto a t = 2.Potevamo aspettarci a priori un valore di tempo compreso tra 0 e 2, una volta considerato che l’origine è situata tra il punto x_0 da cui ha origine il moto a t=0, ed il punto x_1, raggiunto a t=2.

Osservazione.

Il primo quesito e il primo punto del secondo quesito possono essere rapidamente risolti confrontando la legge oraria fornita dal problema con la formula generale del moto rettilineo uniforme:

(2)   \begin{equation*} x(t) = x_{\text{in}} + vt, \end{equation*}

dove x_{\text{in}} rappresenta la posizione iniziale del punto e v la sua velocità, che è costante. Questa espressione descrive una retta in cui il coefficiente angolare corrisponde alla velocità del punto e il termine noto alla sua posizione iniziale al tempo t = 0. Di conseguenza, nel nostro caso specifico, deduciamo immediatamente che v=-4\, \text{m}\cdot \text{s}^{-1} e x_0=5\ \text{m}.

 

 

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