Moti vari cinematica 6

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Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un camion percorre 35 \textrm{km} verso nord, poi 10 \textrm{km} verso est e infine 6 \textrm{km} verso sud. Si determini l’angolo \alpha che lo spostamento complessivo forma con la direzione est.

Svolgimento Metodo punta coda.

Indichiamo con \vec{s}_1, \vec{s}_2, \vec{s}_3 e \vec{s}_{\text{tot}} rispettivamente il primo spostamento verso nord, il secondo verso est, il finale verso sud e lo spostamento complessivo. Scegliamo un sistema di riferimento fisso O{xy} tale per cui l’origine O coincide con la posizione iniziale del camion, l’asse y individua la direzione nord-sud ed è orientato verso nord. Siano \hat{x}, \hat{y} i versori rispettivamente dell’asse delle x e dell’asse delle y. Analogamente l’asse delle x individua la direzione est-ovest ed è orientato verso est. In virtù del sistema di riferimento adottato i vettori \vec{s}_1,\vec{s}_2,\vec{s}_3 e \vec{s}_{\text{tot}} sono orientati come in figura 1.   

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   Come si evince dallo schema del problema, i vettori \vec{s}_{\text{tot}}, \vec{s}_2 e

(1)   \begin{equation*} 	\vec{s}_4=\vec{s}_1+\vec{s}_3 	\end{equation*}

formano un triangolo rettangolo dove il primo vettore è l’ipotenusa, mentre gli altri due ne sono i cateti. Siccome \vec{s}_1 e \vec{s}_3 hanno verso opposto, ossia \vec{s}_1=s_1\,\hat{y}=\text{35 km}\,\hat{y} e \vec{s}_3=-s_3\,\hat{y}=-\text{6 km}\,\hat{y}, si ha che

(2)   \begin{equation*} 	\vec{s}_4=s_1\,\hat{y}- s_3\,\hat{y} =(s_1-s_3)\,\hat{y}, 	\end{equation*}

da ciò segue che il modulo di \vec{s}_4 vale |\vec{s}_4|=29 \textrm{km}. La relazione trigonometrica che lega il modulo del vettore \vec{s}_2 e il modulo dello spostamento complessivo \vec{s}_{4} è

(3)   \begin{equation*} 	|\vec{s}_{4}|=|\vec{s}_2|\tan{\alpha}, 	\end{equation*}

dove \alpha è l’angolo rappresentato in figura 1m cioè l’angolo che forma \vec{s}_{\text{tot}} con l’asse delle x. Invertendo quest’ultima equazione si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{		\alpha=\arctan{\left(\frac{|\vec{s}_{4}|}{|\vec{s}_{2}|}\right)} \simeq 71 \mbox{\textdegree}.}\]

  

Metodo Algebrico.

Come si evince dallo schema del problema si ha

(4)   \begin{equation*}	\begin{cases} 	\vec{s}_1=\text{35 km}\,\hat{y}\\[10pt]		\vec{s}_2=\text{10 km}\,\hat{x}\\[10pt] 	\vec{s}_3=-\text{6 km}\,\hat{y}.	\end{cases} 	\end{equation*}

Sommando opportunatamente membro a membro le precedenti equazioni del sistema (4) si ottiene quanto segue

(5)   \begin{equation*} 	\begin{cases} 	\vec{s}_{4}=\vec{s}=\vec{s}_1+\vec{s}_3=\text{29 km}\, \hat{y}\\ 	\vec{s}_{\text{tot}}=\vec{s}_1+\vec{s}_2+\vec{s}_3=\text{10 km}\,\hat{x}+\text{29 km}\,\hat{y}, 	\end{cases} 	\end{equation*}

da cui |\vec{s}_{\text{tot}}|\simeq30.67 \textrm{km} e |\vec{s}_4|=29 \textrm{km}. La prosecuzione della risoluzione di quest’esercizio con questo metodo è equivalente al precedente metodo.