Moti vari cinematica 4

Moti vari

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Esercizio 4  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale è vincolato a muoversi su di un piano orizzontale. Si scelga un sistema di riferimento fisso Oxy tale per cui il piano xy sia coincidente con il piano orizzontale sul quale è vincolato a muoversi il punto materiale. Il punto materiale lungo l’asse delle x ha legge oraria x(t)=t^3-3 t+1, mentre lungo l’asse delle y ha legge oraria y(t)=t^2+1. Calcolare l’istante di tempo t\geq0 in cui il vettore velocità e il vettore accelerazione risultino perpendicolari.

 

Richiami teorici.

Dati due vettori

(1)   \begin{equation*} \vec{a}=a_x\,\hat{x}+a_y\,\hat{y}+a_z\,\hat{z} \end{equation*}

e

(2)   \begin{equation*} \vec{b}=b_x\,\hat{x}+b_y\,\hat{y}+b_z\,\hat{z}, \end{equation*}

dove a_x, a_y, b_x, b_y, a_z, b_z \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} sono rispettivamente la componente del vettore \vec{a} lungo l’asse delle x, la componente del vettore \vec{a} lungo l’asse delle y, la componente del vettore \vec{a} lungo l’asse delle z, la componente del vettore \vec{b} lungo l’asse delle x, la componente del vettore \vec{b} lungo l’asse delle y, la componente del vettore \vec{b} lungo l’asse delle z, il versore dell’asse delle x, il versore dell’asse delle y e il versore dell’asse delle z; il loro prodotto scalare è

(3)   \begin{equation*} \vec{a}\cdot \vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z. \end{equation*}

Svolgimento.

Procediamo come nell’esercizio moti vari 2. Si ha

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} x(t)=t^3-3t+1\\ y(t)=t^2+1, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}(t)=3t^2-3 \\[10pt] \dot{y}(t)=2t , \end{cases} \end{equation*}

conseguentemente

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} \ddot{x}(t)=6t \\[10pt] \ddot{y}(t)=2 . \end{cases} \end{equation*}

Siano \vec{v}(t) e \vec{a}(t) rispettivamente la velocità e l’accelerazione del punto materiale nel sistema di riferimento Oxy; sfruttando i due precedenti sistemi, si ha

(7)   \begin{equation*} \vec{v}(t)=\left(3t^2-3\right)\hat{x}+2t\,\hat{y} \end{equation*}

e

(8)   \begin{equation*} \vec{a}(t)=6t\,\hat{x}+2\,\hat{y}. \end{equation*}

Due vettori si dicono perpendicolari se il loro prodotto scalare è nullo. Pertanto, sfruttando le due precedenti equazioni il prodotto scalare \vec{v}\cdot\vec{a}=0 diventa

(9)   \begin{equation*} 18t^3-18t+4t=0, \end{equation*}

ovvero

(10)   \begin{equation*} t(18t^2-14)=0. \end{equation*}

La precedente equazione ha come risultati t_1=0, t_{2,3}=\pm7/9\sim\text{0,8 s}. Scartando le soluzioni negative troviamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ t=0 \quad \vee \quad t \sim\text{0,8 s}.}\]

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