Moti vari 3

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Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale è vincolato a muoversi su di una retta. Si scelga un sistema di riferimento fisso Ox con l’asse delle x coincidente con la retta lungo la quale è vincolato a muoversi il punto materiale. Sia x(t) la legge oraria del punto materiale in Ox. L’accelerazione del punto materiale è \ddot{x}(t)=t^2+1. Le condizioni del problema sono x(0)=0 e \dot{x}(3)=7\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}. Calcolare la posizione del punto materiale all’istante t=8 \,\textbf{s}.

 

 

Svolgimento. Procediamo come nell’esercizio moti vari 2. Consideriamo

(1)   \begin{equation*} \ddot{x}(t)=t^2+1. \end{equation*}

Integrando ambo i membri rispetto al tempo la precedente equazione, si ottiene

(2)   \begin{equation*} \dot{x}(t)=\frac{t^3}{3}+t+c, \end{equation*}

dove c è una costante di integrazione da determinare.
Integrando ambo i membri rispetto al tempo la precedente equazione, si ha

(3)   \begin{equation*} x(t)=\frac{t^4}{12}+\frac{t^2}{2}+ct+k, \end{equation*}

dove k è una costante d’integrazione da determinare.
Per poter determinare il valore numerico delle costanti c e k imponiamo le condizioni x(0)=0 e \dot{x}(3)=7. Dalle due precedenti equazioni, imponendo x(0)=0 e \dot{x}(3)=7, si ottiene

(4)   \begin{equation*} \begin{cases} 0=k\\[10pt] 7=9+3+c, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} k=0\\ c=-5. \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo le costanti determinate nel precedente sistema nell’equazione \eqref{3}, si trova

(6)   \begin{equation*} \boxed{x(t)=\frac{t^4}{12}+\frac{t^2}{2}-5t.} \end{equation*}

Sostituendo t=8\,\textbf{s} nella precedente equazione, otteniamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ x(12)=333\, \text{m}.}\]