Moti vari cinematica 2

Moti vari

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Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale è vincolato a muoversi lungo una retta di moto vario. Si scelga un sistema di riferimento fisso Ox con l’asse delle x coincidente con la retta lungo la quale il punto materiale è vincolato a muoversi. Sia x(t) la legge oraria del corpo in Ox. Nel sistema di riferimento Ox il punto materiale ha un’accelerazione \ddot{x}(t)=2 t-3. La posizione x(t) soddisfa le seguenti condizioni x(0)=0 e x(3)=5. Si richiede di calcolare dove si trova il punto materiale all’istante t=12 \,\textbf{s}.

Richiami teorici.

Chiamiamo x(t), \dot{x}(t) e \ddot{x}(t) rispettivamente la legge oraria, la velocità e l’accelerazione del punto materiale nel sistema di riferimento Ox.

Per ottenere l’equazione per la velocità è necessario integrare ambo i membri rispetto al tempo dell’equazione per l’accelerazione, e a sua volta l’equazione per la posizione è ottenuta integrando ambo i membri rispetto al tempo l’equazione della velocità. Una volta integrato ambo i membri rispetto al tempo dell’equazione considerata (accelerazione o velocità), imponendo le condizioni iniziali del problema è possibile determinare le costanti di integrazione, da cui le leggi cercate. La relazione che lega posizione, velocità e accelerazione può essere riassunta nel seguente schema rappresentato in figura.

 

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Inoltre, ricordiamo l’integrale di una funzione polinomiale. Sia f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, f(t)=t^{\alpha} con \alpha \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}, il suo integrale indefinito è

(1)   \begin{equation*} \int f(t)\, dt=\frac{1}{\alpha+1} t^{\alpha+1} + c, \end{equation*}

dove c è la costante d’integrazione.

 

Svolgimento.

Consideriamo

(2)   \begin{equation*} \ddot{x}(t)=2 t-3. \end{equation*}

Integrando ambo i membri rispetto al tempo la precedente equazione, si ottiene

(3)   \begin{equation*} \dot{x}(t)=t^2-3t+c, \end{equation*}

dove c è una costante di integrazione da determinare. Integrando rispetto al tempo ambo i membri la precedente equazione, si trova

(4)   \begin{equation*} x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+ct+k, \end{equation*}

dove k è una costante di integrazione da determinare. Per poter determinare il valore numerico delle costanti c e k imponiamo x(0)=0 e x(3)=5. Sfruttando la precedente equazione e imponendo le condizioni x(0)=0 e x(3)=5, si ottiene il seguente sistema

(5)   \begin{equation*} \begin{cases} 0=k\\[10pt] 5=9-\dfrac{27}{2}+3c+k, \end{cases} \end{equation*}

da cui

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} k=0\\[10pt] c=\dfrac{19}{6}. \end{cases} \end{equation*}

Sostituendo le costanti trovate nel precedente sistema nell’equazione \eqref{4}, si ottiene

(7)   \begin{equation*} \boxed{x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+\frac{19t}{6}.} \end{equation*}

Sostituendo nella precedente equazione t=12 \,\textbf{s}, si ha

    \[\boxcolorato{fisica}{ x(12)=398\, \text{m}.}\]