Moti vari 2

Home » Moti vari 2

More results...

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un punto materiale è vincolato a muoversi lungo una retta di moto vario. Si scelga un sistema di riferimento fisso $Ox$ con l’asse delle $x$ coincidente con la retta lungo la quale il punto materiale è vincolato a muoversi. Sia $x(t)$ la legge oraria del corpo in $Ox$ . Nel sistema di riferimento $Ox$ il punto materiale ha un’accelerazione $\ddot{x}(t)=2 t-3.$ La posizione $x(t)$ soddisfa le seguenti condizioni $x(0)=0$ e $x(3)=5$ . Si richiede di calcolare dove si trova il punto materiale all’istante $t=12 \,\textbf{s}$ .

Richiami teorici. Chiamiamo $x(t)$ , $\dot{x}(t)$ e $\ddot{x}(t)$ rispettivamente la legge oraria, la velocità e l’accelerazione del punto materiale nel sistema di riferimento $Ox$ .

Per ottenere l’equazione per la velocità è necessario integrare ambo i membri rispetto al tempo dell’equazione per l’accelerazione, e a sua volta l’equazione per la posizione è ottenuta integrando ambo i membri rispetto al tempo l’equazione della velocità. Una volta integrato ambo i membri rispetto al tempo dell’equazione considerata (accelerazione o velocità), imponendo le condizioni iniziali del problema è possibile determinare le costanti di integrazione, da cui le leggi cercate. La relazione che lega posizione, velocità e accelerazione può essere riassunta nel seguente schema rappresentato in figura.

Rendered by QuickLaTeX.com

Inoltre, ricordiamo l’integrale di una funzione polinomiale. Sia $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R},$ $f(t)=t^{\alpha}$ con $\alpha \in \mathbb{R}\setminus\{-1\}$ , il suo integrale indefinito è

(1) $\begin{equation*} \int f(t)\, dt=\frac{1}{\alpha+1} t^{\alpha+1} + c, \end{equation*}$

dove $c$ è la costante d’integrazione.

Svolgimento. Consideriamo

(2) $\begin{equation*} \ddot{x}(t)=2 t-3. \end{equation*}$

Integrando ambo i membri rispetto al tempo la precedente equazione, si ottiene

(3) $\begin{equation*} \dot{x}(t)=t^2-3t+c, \end{equation*}$

dove $c$ è una costante di integrazione da determinare.
Integrando rispetto al tempo ambo i membri la precedente equazione, si trova

(4) $\begin{equation*} x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+ct+k, \end{equation*}$

dove $k$ è una costante di integrazione da determinare.
Per poter determinare il valore numerico delle costanti $c$ e $k$ imponiamo $x(0)=0$ e $x(3)=5$ . Sfruttando la precedente equazione e imponendo le condizioni $x(0)=0$ e $x(3)=5$ , si ottiene il seguente sistema

(5) $\begin{equation*} \begin{cases} 0=k\\[10pt] 5=9-\dfrac{27}{2}+3c+k, \end{cases} \end{equation*}$

da cui

(6) $\begin{equation*} \begin{cases} k=0\\[10pt] c=\dfrac{19}{6}. \end{cases} \end{equation*}$

Sostituendo le costanti trovate nel precedente sistema nell’equazione \eqref{4}, si ottiene

(7) $\begin{equation*} \boxed{x(t)=\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+\frac{19t}{6}.} \end{equation*}$

Sostituendo nella precedente equazione $t=12 \,\textbf{s}$ , si ha

$\boxcolorato{fisica}{ x(12)=398\, \text{m}.}$