Moti vari cinematica 1

Moti vari

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Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un punto materiale è vincolato a muoversi lungo una retta. Scelto un sistema di riferimento fisso Ox tale per cui l’asse delle x sia coincidente con la retta lungo la quale il punto materiale è vincolato a muoversi, la posizione del punto materiale è data dalla seguente legge oraria

(1)   \begin{equation*} x(t)=t^3-3 t+1, \end{equation*}

dove t è espresso in secondi e x in metri. Calcolare l’istante t\geq0 in cui la velocità e l’accelerazione hanno lo stesso valore numerico.

Richiami teorici.

Di seguito ricordiamo alcuni fatti che possono tornare utili per la risoluzione dell’esercizio.

  1. Sia f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}, f(t)=t^{\alpha} con \alpha \in \mathbb{R}, la sua derivata è f^{\prime}(t)=\alpha\, t^{\alpha-1}. Inoltre, ricordiamo che la derivata di una costante è nulla.
  2. Data un’equazione completa di secondo grado

    (2)   \begin{equation*} at^2+bt+c=0 \end{equation*}

    con a\in\mathbb{R}\setminus\{0\} e b,\,c\in\mathbb{R}, la formula risolutiva è

    (3)   \begin{equation*} t_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \end{equation*}

    dove

    (4)   \begin{equation*} \Delta\coloneqq b^2-4ac. \end{equation*}

    Il \Delta si chiama discriminante. Se \Delta>0 allora l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte, se \Delta=0 allora l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti, altrimenti se \Delta<0 l’equazione non ammette soluzioni reali, cioè ci sono due soluzioni complesse e coniugate.\newline In fisica t_{1,2} rappresentano degli istanti di tempo che in generale devono essere non negativi, per cui se uno dei due tempi è negativo va scartato.

  3. La derivata del vettore posizione è la velocità e si denota con

    (5)   \begin{equation*} \dot{x}(t)=\dfrac{dx}{dt}; \end{equation*}

    mentre la derivata seconda del vettore posizione (o la deriva prima della velocità) è l’accelerazione del corpo e si denota con

    (6)   \begin{equation*} \ddot{x}(t)=\dfrac{d^2x}{dt^2}; \end{equation*}

 

Svolgimento.

Utilizziamo come notazione x(t), x^{\prime}(t) e x^{\prime\prime}(t) per rappresentare rispettivamente la la posizione, la velocità e l’accelerazione del punto materiale. Derivando ambo i membri della legge oraria rispetto al tempo, si ricava che l’equazione della velocità è

(7)   \begin{equation*} \dot{x}(t)=3t^2-3, \end{equation*}

mentre l’equazione dell’accelerazione

(8)   \begin{equation*} \ddot{x}(t)=6t. \end{equation*}

Uguagliando le due precedenti equazioni, si ottiene

(9)   \begin{equation*} 3t^2-3=6t, \end{equation*}

o anche

(10)   \begin{equation*} 3t^2-6t-3=0, \end{equation*}

da cui

    \[\boxcolorato{fisica}{ t \simeq \text{2,414 s}.}\]