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Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due automobili, A e B, si spostano lungo una strada rettilinea con velocità di modulo uguale v_A = v_B = v e viaggiano affiancate. Ad un certo istante, l’automobile B inizia una fase di sorpasso accelerando uniformemente con un’accelerazione a_B > 0.

Dopo aver percorso un tratto di strada di lunghezza d, l’automobile B guadagna un vantaggio rispetto ad A di \ell.

Calcolare il modulo dell’accelerazione a_B durante la fase di sorpasso.

Esprimere il risultato in funzione dei parametri del problema v, d e \ell.

Si assuma che nello svolgimento del problema si assuma che d\neq \ell.

Svolgimento.

Il moto dei due corpi è unidimensionale, svolgendosi lungo la stessa direzione e verso. Stabiliamo un sistema di riferimento fisso Ox con l’origine O posizionata al punto occupato dalle due automobili all’istante t=0. L’asse delle x è allineato con la traiettoria di A e B, seguendo l’orientamento indicato nella figura 1.  

 

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  Senza ledere la generalità del discorso, consideriamo che all’istante t=0 le due automobili si trovino alla stessa coordinata x_A(0)=x_B(0)=0 e, successivamente a quello stesso istante di tempo l’automobile B inizia ad accelerare con accelerazione a_B>0.

L’automobile B si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, pertanto la sua legge oraria è

(1)   \begin{equation*} 		x_B(t)=x_B (0)+v_{B}t+\frac{1}{2}a_{B}t^{2}=vt+\frac{1}{2}a_{B}t^{2}\qquad\forall t>0, 	\end{equation*}

dove abbiamo usato x_B(0)=0 e v_B=v.

L’automobile A si muove di moto rettilineo uniforme, di conseguenza la sua legge oraria è

(2)   \begin{equation*} 		x_{A}(t)=x_A (0)+v_{A}t=vt\qquad\forall t>0, 	\end{equation*}

dove abbiamo usato x_A(0)=0 e v_A=v.

Per calcolare l’accelerazione a_B dell’automobile B è necessario sfruttare la differenza di cammino \ell tra le due automobili dopo che B ha percorso un tratto d rispetto alla posizione di partenza (cioè quando le due auto si trovavano nell’origine O), come illustrato in figura 2.

 

 

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  Definiamo l’istante di tempo t=t^{*}>0 come il momento in cui il corpo B percorre la distanza d. Ciò implica che

(3)   \begin{equation*} 		x_B(t^*)=d, 	\end{equation*}

e

(4)   \begin{equation*} 		x_A(t^*)=d-\ell, 	\end{equation*}

come rappresentato in figura 2.

Utilizzando l’equazione \eqref{A}, la condizione \eqref{condizioneA} può essere espressa come

(5)   \begin{equation*} 		vt^{*}=d-\ell \quad \Leftrightarrow \quad t^{*}=\frac{d-\ell}{v}>0. 	\end{equation*}

Valutando l’equazione \eqref{B}, che descrive il moto di B, all’istante di tempo t^* otteniamo

(6)   \begin{equation*} 		x_B(t^*)=d\quad\Leftrightarrow\quad vt^{*}+\frac{1}{2}a_B (t^{*})^{2}=d, 	\end{equation*}

da cui sostituendo l’espressione di t^* ottenuta all’equazione \eqref{tstar} segue che

(7)   \begin{equation*} 		v\left(\dfrac{d-\ell}{v}\right)+\dfrac{1}{2 }a_B\left(\dfrac{d-\ell}{v}\right)^{2}=d, 	\end{equation*}

ovvero

(8)   \begin{equation*} 		\dfrac{1}{2} a_B\dfrac{\left(d-\ell\right)^2}{v^2}=d -\left({d-\ell}\right), 	\end{equation*}

o anche

(9)   \begin{equation*} 		a_B\left(d-\ell\right)^2=2v^2\ell, 	\end{equation*}

infine, sfruttando il fatto che d\neq \ell, abbiamo

    \[\boxcolorato{fisica}{ 	a_B = \dfrac{2v^2 \ell}{(d-\ell)^2}.}\]

 

  Osserviamo che a_B>0 come atteso dalla fisica del problema.

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