Esercizi svolti sulla Legge di Ampere

Sorgenti di Campo magnetico-Legge di Ampere-Proprietà magnetica

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In questo articolo troverete esercizi svolti sulla Legge di Ampere e su sorgenti sorgenti di Campo magnetico, Proprietà magnetica della materia, estratti dal celebre libro “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. Questo spazio è pensato per gli studenti di ingegneria, fisica e matematica, e mira a fornire soluzioni dettagliate e chiaramente spiegate del capitolo 7, con particolare attenzione alle esigenze di un corso di Fisica 2.

Qui troverete una raccolta di esercizi su argomenti cruciali come le Sorgenti di Campo Magnetico, la Legge di Ampere e le Proprietà Magnetiche. Ogni problema è affrontato con un approccio metodico e approfondito, garantendo che anche i concetti più complessi siano facilmente comprensibili.

Il nostro obiettivo è quello di rendere l’apprendimento stimolante e coinvolgente, offrendo non solo soluzioni, ma anche spiegazioni che illuminano le logiche sottostanti e le applicazioni pratiche di questi principi fondamentali della fisica. Che tu stia preparando un esame, cercando di rafforzare le tue conoscenze o semplicemente esplorando l’affascinante mondo dell’elettromagnetismo, questo sito è progettato per supportarti in ogni passo del tuo percorso educativo.

Esplora gli esercizi, immergiti nelle spiegazioni dettagliate e scopri come i principi dell’elettromagnetismo si applicano nel mondo reale. Siamo qui per aiutarti a trasformare le sfide accademiche in opportunità di crescita e comprensione.

Autori e revisori degli esercizi su sorgenti di campo magnetico, legge di Ampere e proprietà magnetica della materia.

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Autore: Valerio Brunetti.

Revisore: Giulia Romoli.

Testi degli esercizi sulla legge di Ampere

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due fili conduttori, molto lunghi, distanti $2a = 4\;\text{cm}$ , paralleli all’asse $x$ , sono percorsi dalla stessa corrente $i = 50\;\text{A}$ , con versi indicati in figura. Calcolare il campo magnetico $\vec{B}(z)$ sull’asse dei fili.

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Figura 1: schema esercizio 1.

Svolgimento.

Per risolvere il problema, è utile richiamare la legge di Biot-Savart. Come è noto, un filo conduttore rettilineo di lunghezza infinita attraversato da una corrente di intensità $i$ genera un campo magnetico. Sia $P$ un punto nello spazio dove si desidera valutare il campo magnetico $\vec{B}_P$ generato dal filo. La legge di Biot-Savart afferma che il modulo del campo magnetico $\vec{B}_P$ prodotto da un filo rettilineo infinito percorso da una corrente $i$ , misurato in un punto $P$ dello spazio, è proporzionale alla corrente $i$ che scorre nel filo e inversamente proporzionale alla distanza $r$ del punto $P$ dal filo:

(1) $\begin{equation*} \centering B_P= \dfrac{\mu_0 i }{2\pi r}, \end{equation*}$

dove $\mu_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto ( $\mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\;\text{Tm/A}$ ). Evidentemente, in tutti i punti equidistanti dal filo si misura lo stesso campo magnetico. Data una circonferenza di raggio $r$ concentrica al filo, contenuta nel piano perpendicolare al filo e passante per $P$ , su tutti i punti della circonferenza si misura un campo magnetico pari a $B_P$ , essendo tutti i punti alla stessa distanza $r$ dal filo. La direzione del campo magnetico $\vec{B}_P$ è perpendicolare alla distanza $\vec{r}$ tra il filo e il punto $P$ o, equivalentemente, coincide con la tangente nel punto $P$ alla circonferenza sopra definita (vedi figura 2). Il verso di $\vec{B}_P$ si ottiene con la regola della mano destra o regola della vite. Le linee del campo magnetico sono circonferenze concentriche al filo e risultano concatenate alla corrente $i$ , sorgente del campo stesso. Sia la regola della mano destra che la regola della vite sono utili per descrivere il fenomeno: una vite disposta secondo la corrente indica con il suo verso di rotazione il verso delle linee del campo magnetico; equivalentemente, la regola della mano destra afferma che, se il pollice della mano destra, tenuta chiusa a pugno, punta nel verso della corrente, le linee del campo magnetico circondano la corrente nel verso indicato dalle altre dita.

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Figura 2: rappresentazione del campo magnetico come definito nella legge di Biot-Savart.

L’esercizio ci chiede di calcolare il campo magnetico $\vec{B}_P$ generato dai due fili sull’asse $z$ in un punto generico $P \equiv (0,0,z)$ . Il piano $yz$ è perpendicolare ai due fili ed è facile dimostrare che tutti i punti sull’asse $z$ sono equidistanti dai due fili. In altre parole, scegliendo un punto qualsiasi $P$ sull’asse $z$ , la distanza $r$ del punto $P$ dal centro di entrambi i fili è la stessa. Poiché nei due fili scorre la stessa intensità di corrente, $i$ , ci aspettiamo che il modulo del campo magnetico generato da ciascun filo in $P$ sia uguale, ovvero $B_1 = B_2 = B$ , e che abbia la rappresentazione analitica come in (1).

Valutiamo il campo magnetico in un punto generico $P \equiv (0,0,z)$ , come mostrato in figura 3.

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Figura 3: rappresentazione del campo magnetico come definito nella legge di Biot-Savart.

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Figura 4: rappresentazione del campo magnetico come definito nella legge di Biot-Savart.

Per sommare i contributi di entrambi i fili e ottenere il valore del campo magnetico totale $\vec{B}_P$ in $P$ , è necessario ricordare che dati due vettori qualsiasi, il modulo della somma di due vettori non è necessariamente uguale alla somma dei moduli. I due vettori $\vec{B}_1$ e $\vec{B}_2$ non sono infatti paralleli, ma ciascuno è perpendicolare alla distanza $\vec{r}$ di $P$ dal filo corrispondente (vedere figura 3). Definiamo $\theta$ l’angolo che ciascun vettore forma con l’asse $z$ (da semplici considerazioni geometriche, si può notare come $\theta_1=\theta_2$ ). Scomponiamo ciascun vettore $\vec{B}_{1}$ e $\vec{B}_2$ nelle sue componenti lungo l’asse $y$ e lungo l’asse $z$

(2) $\begin{align*} \vec{B}_P&=\vec{B}(z)=\\[10pt] &=\underbrace{B\sin\theta\,\hat{z} + B\cos\theta\,\hat{y}}_{\vec{B}_1} \;+\; \underbrace{B\sin\theta\,\hat{z} - B\cos\theta\,\hat{y}}_{\vec{B}_2}=\\[10pt] &=2B\sin\theta \,\hat{z}=\\[10pt] &=\frac{2 \mu_0 i \sin(\theta)}{2\pi r}\,\hat{z}= \\[10pt] &=\frac{ \mu_0 i \sin(\theta)}{\pi r}\,\hat{z}. \end{align*}$

Il campo magnetico totale $\vec{B}_P$ sarà quindi diretto secondo il verso positivo dell’asse $z$ come in figura 3. Osserviamo che l’angolo $\theta$ e la distanza $r$ dipendono entrambi dalla posizione di $P$ sull’asse $z$ . L’esercizio richiede di far dipendere $\vec{B}_P$ solo dalla quota $z$ del punto scelto. Da semplici considerazioni di trigonometria, ponendo $\overline{OP}=z$ si trova che

(3) $\begin{equation*} \centering r= \sqrt{z^2+a^2} \quad \text{e}\quad \sin(\theta) = \frac{a}{\sqrt{ z^2+a^2}}, \end{equation*}$

da cui $\vec{B}(z)$ diventa:

$\boxcolorato{fisica}{\vec{B}(z) = \frac{ \mu_0 i a}{\pi \left(z^2+a^2\right)}\, \hat{z}.}$

A quota $z=0$ il campo magnetico assume il valore massimo e vale

(4) $\begin{equation*} \centering \vec{B}(0)=\frac{\mu_{0}i}{\pi a}\hat{z}=(1\;\text{mT})\;\hat{z}. \end{equation*}$

Osservazione.

Si vuole far osservare al lettore che le linee di campo di $\vec{B}_1$ , generate dal filo con corrente entrante, sono circonferenze concentriche al filo e con verso di rotazione orario, opposto al verso di rotazione antiorario delle linee di campo di $\vec{B}_2$ , generate dal filo con corrente uscente. D’altra parte, facendo riferimento alla figura 2, con una corrente che scorre verso l’alto, il verso di rotazione delle linee di campo è antiorario; è necessario invertire il verso della corrente affinché il verso di rotazione delle linee di campo magnetico diventi orario. Questa proprietà si ritrova ogni volta che si ha il prodotto vettoriale di due grandezze fisiche. Infatti, la legge di Biot-Savart deriva dalla prima legge elementare di Laplace, in cui è presente il prodotto vettoriale tra il vettore $d\vec{s}$ , diretto come la corrente che scorre nel filo, e il versore $\hat{r}$ , diretto come la distanza $\vec{r}$ tra il filo e il punto $P$ in cui il campo magnetico viene valutato. Il campo magnetico che compare nella legge di Biot-Savart è quindi proporzionale al prodotto vettoriale di due vettori, il primo diretto come la corrente che scorre nel filo ( $d\vec{s}$ ) e il secondo come la distanza ( $\hat{r}$ ). Sapendo che vale la seguente proprietà matematica per i prodotti vettoriali:

(5) $\begin{equation*} \centering \vec{B} \propto d\vec{s} \wedge \hat{r} \quad \text{mentre} \quad \vec{B}_{inv} \propto (-d\vec{s}) \wedge \hat{r} = -(d\vec{s} \wedge \hat{r}) \propto -\vec{B}, \end{equation*}$

è facile intuire come invertire il verso della corrente sia equivalente a invertire il verso di rotazione delle linee di campo magnetico concentriche al filo.

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due fili conduttori indefiniti distanti $2a = 4\;\text{cm}$ , paralleli all’asse $x$ , sono percorsi rispettivamente dalle correnti $i_1 = 50\;\text{A}$ e $i_2=25\;\text{A}$ , concordi all’asse $x$ . Calcolare:

il valore del campo magnetico $\vec{B}$ nel punto $Q\equiv(0,0,a)$ ;
l’angolo $\alpha$ che $\vec{B}$ forma con l’asse $z$ .

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Figura 5: schema esercizio 2.

Svolgimento punto 1.

Questo esercizio è simile all’esercizio 1, ma in questo caso le correnti sono entrambe uscenti e di intensità diversa ( $\left \vert i_1\right \vert \neq \left \vert i_2\right \vert$ ). I moduli dei due campi magnetici generati dai due fili in un punto $Q \equiv (0,0,a)$ sull’asse $z$ si ottengono, come nel primo esercizio, dalla legge di Biot-Savart (1). Considerando che entrambi i fili distano dal punto $Q$ una distanza $r = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ , si ha:

(6) $\begin{equation*} \vec{B}_1=\frac{\mu_0 i_1}{2\pi r}\,\hat{r}_1=\frac{\mu_0 i_1}{2\sqrt{2}\pi a}\,\hat{r}_1 \quad\quad \quad \text{e}\quad \quad \quad \vec{B}_2=\frac{\mu_0 i_2}{2\pi r}\,\hat{r}_2=\frac{\mu_0 i_2}{2\sqrt{2}\pi a}\,\hat{r}_2, \end{equation*}$

dove i due campi magnetici $\vec{B}_1$ e $\vec{B}_2$ sono orientati come in figura 6.

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Figura 6: valutazione del campo magnetico nel punto $Q\equiv(0,0,a)$ (Esercizio 2).

Osservando la figura 6 si evince che $\hat{r}_1=\cos \left(\theta_1\right)\,\hat{z}-\sin\left(\theta_1\right)\,\hat{y}$ e $\hat{r}_2=-\cos\left(\theta_2\right)\,\hat{z}-\sin \left(\theta_2\right)\,\hat{y}$ e quindi (6) diventa

(7) $\begin{equation*} \vec{B}_1=\dfrac{\mu_0i_1}{2\sqrt{2}\pi a}\left(\cos \left(\theta_1\right)\,\hat{z}-\sin\left(\theta_1\right)\,\hat{y}\right)\quad \quad\text{e}\quad\quad \vec{B}_2=\dfrac{\mu_0i_2}{2\sqrt{2}\pi a}\left(-\cos\left(\theta_2\right)\,\hat{z}-\sin \left(\theta_2\right)\,\hat{y}\right). \end{equation*}$

Dalla geometria del problema risulta chiaro che $\theta_1=\theta_2=\theta$ , pertanto applicando la formula (3) con $z=a$ si ottiene l’angolo cercato

(8) $\begin{equation*} \cos(\theta_1) =\cos \left(\theta_2\right)= \frac{a}{\sqrt{ a^2+a^2}}= \frac{a}{\sqrt{ 2a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \end{equation*}$

da cui segue che $\theta_1=\theta_2=\theta=\dfrac{\pi}{4}$ . Calcoliamo il campo magnetico nel punto $Q$ sfruttando (7) e (8)

(9) $\begin{align*} \vec{B}_Q&=\vec{B}_1+\vec{B}_2=\\[10pt] &=\dfrac{\mu_0i_1}{2\sqrt{2}\pi a}\left(\cos \left(\theta_1\right)\,\hat{z}-\sin\left(\theta_1\right)\,\hat{y}\right)+\dfrac{\mu_0i_2}{2\sqrt{2}\pi a}\left(-\cos\left(\theta_2\right)\,\hat{z}-\sin \left(\theta_2\right)\,\hat{y}\right)=\\[10pt] &=\dfrac{\mu_0i_1}{2\sqrt{2}\pi a}\left(\cos \left(\theta\right)\,\hat{z}-\sin\left(\theta\right)\,\hat{y}\right)+\dfrac{\mu_0i_2}{2\sqrt{2}\pi a}\left(-\cos\left(\theta\right)\,\hat{z}-\sin \left(\theta\right)\,\hat{y}\right)=\\[10pt] &=\frac{\mu_0}{2\sqrt{2}\pi a}\frac{1}{\sqrt{2}}(i_1-i_2)\,\hat{z}-\frac{\mu_0}{2\sqrt{2}\pi a}\frac{1}{\sqrt{2}}(i_1+i_2)\,\hat{y}=\\[10pt] &=\underbrace{\frac{\mu_0}{4\pi a}(i_1-i_2)\,\hat{z}}_{\displaystyle\vec{B}_{Q,z}} -\underbrace{\frac{\mu_0}{4\pi a}(i_1+i_2)\,\hat{y}}_{\displaystyle\vec{B}_{Q,y}}. \end{align*}$

In particolare il modulo del campo magnetico totale in $Q$ sarà allora dato da

(10) $\begin{align*} {B}Q&=\sqrt{B^2{Q,y}+B_{Q,z}^2}=\\[10pt] &=\frac{\mu_0}{4\pi a} \sqrt{(i_1-i_2)^2+(i_1+i_2)^2}=\\[10pt] &=\frac{\mu_0}{4\pi a} \sqrt{2i_1^2+2i_2^2-2i_1i_2+2i_1i_2}=\\[10pt] &=\frac{\mu_0\sqrt{2}}{4\pi a} \sqrt{i_1^2+i_2^2}, \end{align*}$

e tenendo conto che $i_1=2i_2$

(11) $\begin{equation*} \centering {B}_Q=\frac{\mu_0\sqrt{2}}{4\pi a}\sqrt{4i_2^2+i_2^2}=\frac{\mu_0 \sqrt{10} i_2}{4 \pi a}, \end{equation*}$

ricordando che $\mu_0=4\pi\cdot \, 10^{-7}\, \dfrac{\text{Tm}}{\text{A}}$ e sostituendo i valori numerici forniti dall’esercizio si ottiene

$\boxcolorato{fisica}{{B}_Q = \frac{ \mu_0 \sqrt{10}\, i_2}{4 \pi a} = \frac{ \mu_0 \sqrt{10}\, i_1}{8 \pi a} = \text{3,95}\times10^{-4}\; \text{T}.}$

Svolgimento punto 2.

Rappresentiamo il campo magnetico e l’angolo $\phi$ che forma con l’asse $z$ . L’angolo $\phi$ che il campo magnetico totale forma con l’asse $z$ si ottiene ricordando che

(12) $\begin{equation*} \vec{B}_{Q,y}=-B_Q\sin\phi\,\hat{y} \quad \text{e}\quad \vec{B}_{Q,z}=B_Q\cos\phi\,\hat{z}, \end{equation*}$

da cui

(13) $\begin{equation*} \tan\phi=\left \vert \dfrac{B_{Q,y}}{B_{Q,z}}\right \vert=\left \vert\frac{\dfrac{\mu_0 (i_1+i_2)}{4 \pi a}}{\dfrac{\mu_0 (i_1-i_2)}{4 \pi a}} \right \vert =\left\vert\frac{i_1+i_2}{i_1-i_2}\right\vert=\frac{i_1+i_2}{i_1-i_2}>0\quad \Leftrightarrow \quad \phi=\arctan\left(\frac{i_1+i_2}{i_1-i_2}\right), \end{equation*}$

cioè:

$\boxcolorato{fisica}{\phi=\arctan\left(\frac{i_1+i_2}{i_1-i_2}\right) \approx \text{71,6}^\circ.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due fili conduttori indefiniti, paralleli, distanti $a = 20\;\text{cm}$ , sono percorsi rispettivamente dalle correnti $i_1 = 2\;\text{A}$ e $i_2 = 3\;\text{A}$ , concordi. Nel piano che li contiene è posto un terzo filo percorso dalla corrente $i_3$ . Calcolare la posizione $x$ di equilibrio di questo filo.

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Figura 7: schema esercizio 3.

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