Esercizi svolti su correnti alternate e trasformatori ideali

Oscillazioni elettriche e correnti alternate

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Questo articolo presenta 28 esercizi svolti sulle correnti alternate e trasformatori ideali, inclusi circuiti RLC, RL e RC. Gli esercizi sono risolti in modo dettagliato e minuzioso, ideali per corsi di Fisica 2 per ingegneria, fisica e matematica. Gli esercizi sono tratti dal libro ‘Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde’ di P. Mazzoldi, M. Nigro, e C. Voci. L’obiettivo di questo lavoro è fornire soluzioni chiare e dettagliate del capitolo 9.

Autori e revisori degli esercizi su oscillazioni elettriche-correnti alternate-circuiti RLC-trasformatori ideali

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Autore: Valerio Brunetti

Revisore: Silvia Lombardi.

Testi degli esercizi su oscillazioni elettriche-correnti alternate-circuiti RLC-trasformatori ideali

Esercizio 1 $(\bigstar\bigsta\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un circuito $LC$ con $C=64\,\mu \text{F}$ la corrente varia con la legge $i(t)=\text{1,6}\sin(2500\,t-\text{0,68})\text{A}$ (dove i 2500 sono intesi in $\text{s}^{-1}$ dato che l’argomento del seno deve essere adimensionale). Calcolare:

l’istante $t$ in cui la corrente raggiunge il suo valore massimo a partire dall’istante $t=0\,\text{s}$ ;
il valore dell’induttanza $L$ ;
l’energia totale $U$ immagazzinata nel circuito stesso.

Svolgimento punto 1.

La corrente è descritta da una funzione sinusoidale il cui massimo lo si ottiene quando l’argomento del seno è pari a $\pi/2$ , pertanto si ha

(1) $\begin{equation*} \sin(2500\,t-\text{0,68})=1 \qquad\Leftrightarrow \qquad 2500\,t-\text{0,68}={\pi\over 2} , \end{equation*}$

da cui

(2) $\begin{equation*} 2500\,t=0,68+{\pi\over 2} , \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{ t={\text{0,68}+\pi/2\over 2500\,\text{s}^{-1}}=9\cdot 10^{-4}\,\text{s}.}$

Svolgimento punto 2.

La pulsazione naturale in un circuito $LC$ in serie è

(3) $\begin{equation*} \omega={1\over \sqrt{LC}}, \end{equation*}$

che è la stessa che si trova come argomento della funzione sinusoidale della corrente ( $\omega=2500 \ \text{s}^{-1}$ ), quindi

$\boxcolorato{fisica}{L={1\over \omega^2 C}=\text{2,5}\cdot 10^{-3}\,\text{H}.}$

Svolgimento punto 3.

In assenza di resistenze non abbiamo alcuna dissipazione di energia; segue allora che la somma dell’energia immagazzinata dal condensatore e dall’induttore è costante nel tempo

(4) $\begin{equation*} U=U_C(t)+U_L(t)={q^2(t)\over 2C}+{1\over 2}L i^2(t). \end{equation*}$

Risulta chiaro che quando la carica è massima la corrente è nulla o quando la corrente è massima la carica è nulla. Pertanto essendo $i_{\max}=\text{1,6}\,\text{A}$ si ha

(5) $\begin{equation*} U={1\over 2}Li_{\max}^2={1\over 2}L (\text{1,6}\,\text{A})^2, \end{equation*}$

cioé

$\boxcolorato{fisica}{ U\approx\text{3,2}\cdot 10^{-3}\,\text{J}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Nel circuito di figura $\mathcal{E}=24\,\text{V}$ , $C=4\,\mu \text{F}$ e $L=60 \,\text{mH}$ . Inizialmente l’interruttore $T$ rimane chiuso per un tempo molto lungo nella posizione 1 e quindi commuta nella posizione 2. Calcolare:

la frequenza $\nu$ delle oscillazioni del circuito $LC$ ;
il valore massimo della corrente $i_0$ .

Figura 1: dettaglio schema esercizio 2.

Svolgimento punto 1.

Inizialmente il circuito è chiuso nella posizione $1$ ; il circuito è del tipo $RC$ con una d.d.p. data da $\mathcal{E}$ . La carica di un circuito $RC$ può essere trovata applicando la legge di Kirchoff per le tensioni alla maglia considerata. Sappiamo che il potenziale dovuto al resistore è dato dalla prima legge di Ohm, ossia

(6) $\begin{equation*} V_R(t)=Ri(t)=R\dfrac{dq}{dt}, \end{equation*}$

dove $V_R$ è il potenziale ai capi della resistenza. Il potenziale tra le due lastre del condensatore è invece, dalla definizione di capacità C di un condensatore, pari a

(7) $\begin{equation*} V_C=\frac{q}{C}. \end{equation*}$

Applicando la legge di Kircoff alle maglie si ha

(8) $\begin{equation*} \mathcal{E} -V_R-V_C=0, \end{equation*}$

ossia:

(9) $\begin{equation*} \mathcal{E}-\frac{q}{C}=R\dfrac{dq}{dt}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{dt}{RC}=-\frac{dq}{\mathcal{E}C-q}. \end{equation*}$

Integriamo ambo i membri dell’equazione partendo da un tempo fissato $t_0=0\,[\text{s}]$ . A tale tempo, anche la carica $q_0$ è nulla in quanto il condensatore è scarico, dunque otteniamo

(10) $\begin{equation*} \int_{0}^{t} {\dfrac{dt}{RC}}=-\int_{0}^{q} {\frac{dq}{\mathcal{E}C-q}}. \end{equation*}$

Svolgiamo gli integrali e otteniamo:

(11) $\begin{equation*} \ln(\mathcal{E}C-q(t))-\ln(\mathcal{E}C)=-\frac{t}{RC}, \end{equation*}$

da cui

(12) $\begin{equation*} \dfrac{\mathcal{E}C-q(t)}{\mathcal{E}C}=e^{-t/RC}, \end{equation*}$

cioè

(13) $\begin{equation*} q(t)=\mathcal{E} C\big(1-e^{-t/RC}\big). \end{equation*}$

Abbiamo ottenuto la funzione che descrive la quantità di carica in funzione del tempo. Si noti che, per tempi molto lunghi, teoricamente per $t\to +\infty$ , il condensatore si carica completamente e dunque si ha $q(\infty)=\mathcal{E}C$ , sostanzialmente per tempi molto lunghi il condensatore si comporta come un circuito aperto. Quindi assumiamo il condensatore completamente carico e cambiamo la posizione dell’interruttore in $2$ ; siamo ora in presenza di un circuito $LC$ .

Abbiamo già visto nell’esercizio 1 la pulsazione naturale del circuito $LC$ , cioè $\omega=1/\sqrt{Lc}$ , ne ricaviamo la frequenza dividendo per $2\pi$ . Concludiamo con la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{\nu={1\over 2\pi\sqrt{LC}}=325\,\text{Hz}.}$

Svolgimento punto 2.

Sappiamo che l’energia iniziale è

(14) $\begin{equation*} U=\dfrac{q^2_{\max}}{2C}=\dfrac{q^2_{\infty}}{2C}=\dfrac{\mathcal{E}^2C^2}{2C}=\dfrac{\mathcal{E}^2C}{2}, \end{equation*}$

e sapendo che l’energia si conserva si ha

(15) $\begin{equation*} \dfrac{1}{2}Li^2_0=\dfrac{\mathcal{E}^2C}{2}, \end{equation*}$

da cui

(16) $\begin{equation*} i^2_0=\dfrac{\mathcal{E}^2C}{L}, \end{equation*}$

cioè

(17) $\begin{equation*} i_0=\sqrt{\dfrac{\mathcal{E}^2C}{L}}=\mathcal{E}\sqrt{\dfrac{C}{L}}=\dfrac{\mathcal{E}C}{\sqrt{LC}}=\omega\mathcal{E}C\approx\text{0,196}\,\text{A}. \end{equation*}$

Si conclude che

$\boxcolorato{fisica}{ i_0={\mathcal{E}\over \omega L}=\omega\mathcal{E}C\approx\text{0,196}\,\text{A}.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . In un circuito $LC$ , $L=20\,\text{mH}$ e $C=4\,\mu \text{F}$ . All’istante $t=0\,\text{s}$ la corrente vale $i=8\,\text{mA}$ e la carica sul condensatore $q=2\,\mu \text{C}$ ; il condensatore è in carica. Calcolare: