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Esercizi lavoro elettrico e potenziale elettrostatico

Lavoro elettrico e potenziale elettrostatico

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I seguenti esercizi svolti sul lavoro elettrico sono tratti dal libro ‘Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. L’obiettivo di questo lavoro è fornire soluzioni al capitolo 2, cercando di essere il più chiari e dettagliati possibile.

Questi esercizi coprono vari aspetti del potenziale elettrico, un concetto fondamentale in Fisica 2. Il potenziale elettrico è una grandezza scalare che descrive l’energia potenziale per unità di carica in un campo elettrico. Comprendere questo concetto è cruciale per risolvere problemi complessi che coinvolgono campi elettrici, lavoro elettrico e distribuzioni di carica.

Di seguito, troverete 18 esercizi svolti passo per passo, con spiegazioni dettagliate e annotazioni utili. Gli esercizi spaziano da problemi semplici, ideali per chi sta iniziando a familiarizzare con il potenziale elettrico, a problemi più complessi che richiedono una comprensione approfondita delle leggi dell’elettromagnetismo.

Speriamo che queste soluzioni possano servire come guida e strumento di apprendimento, aiutando gli studenti a migliorare le proprie competenze e a prepararsi efficacemente per gli esami. Buono studio!
 

Autori e revisori degli esercizi su lavoro elettrico e potenziale elettrostatico.

Leggi...

Autore: Valerio Brunetti.

Revisore: Silvia Lombardi.


 

Testi esercizi su lavoro elettrico e potenziale elettrostatico

 

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due cariche q_1=8q e q_2=-2q sono poste sull’asse x a distanza \ell=\text{0,2 m}.
Calcolare i punti dell’asse x in cui:
 

  1. il campo elettrostatico E è nullo;
  2. il potenziale V è nullo.

 
 

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Figura 1: schema esercizio 1.

Svolgimento punto 1.

Innanzitutto, anche se il problema non lo specifica, consideriamo q>0. Il sistema è unidimensionale, scegliamo quindi come sistema di riferimento l’asse x con origine nella prima carica positiva q_1 e verso positivo diretto lungo la seconda carica q_2. Abbiamo quindi x_{q_1}=0 e x_{q_2}=\ell. La carica q_1 genera un campo elettrostatico per convenzione uscente dalla particella la cui equazione è data da

(1) \begin{equation*} E_{q_1}(x)=\begin{cases} \dfrac{|q_1|}{4\pi\varepsilon_0x^2} & \text{per } x>0 \\\\ -\dfrac{|q_1|}{4\pi\varepsilon_0x^2} & \text{per } x<0, \end{cases} \end{equation*}

invece la carica q_2, essendo negativa, genera un campo elettrostatico entrante nella particella la cui equazione è data da:

(2) \begin{equation*} E_{q_2}(x)=\begin{cases} -\dfrac{|q_2|}{4\pi\varepsilon_0(x-\ell)^2} & \text{per } x>\ell \\\\ \dfrac{|q_2|}{4\pi\varepsilon_0(x-\ell)^2} & \text{per } x<\ell. \end{cases} \end{equation*}

Nello spazio 0<x<\ell il campo elettrico totale dato dalla somma di E_{q_1}(x) ed E_{q_2}(x) è sempre diretto nel verso positivo delle x , ne segue che tra le due cariche il campo elettrostatico non è mai nullo.

Indaghiamo per \bm x<\bm 0: in questa regione q_1 dà un contributo negativo (ovvero il campo è diretto nel verso negativo delle x) al campo elettrostatico totale, mentre q_2 dà un contributo positivo (ovvero diretto nel verso positivo delle x). Il campo elettrostatico totale si annulla quando la somma dei singoli campi si annulla

(3) \begin{equation*} -{|q_1|\over 4\pi\varepsilon_0 x^2}+{|q_2|\over 4\varepsilon_0 (x-\ell)^2}=0 \quad \Leftrightarrow\quad -{4\over x^2}+{1\over (x-\ell)^2}=0, \end{equation*}

dove abbiamo semplificato il fattore comune \dfrac{2q}{4\pi\varepsilon_0}. Questo ci porta alla seguente equazione di secondo grado

(4) \begin{equation*} 3x^2-8 \ell x+4 \ell^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x= 2\ell \quad \vee \quad x={2\over 3 }\ell . \end{equation*}

Ricordiamo che l’equazione vale per x<0 quindi non possiamo accettare nessuna soluzione.

Indaghiamo per \bm x>\bm \ell: in questa regione q_1 genera un campo elettrostatico positivo mentre q_2 dà un contributo negativo. Il campo elettrostatico si annulla quando

(5) \begin{gather*} \frac{|q_1|}{4\pi\varepsilon_0 x^2}-\frac{|q_2|} {4\pi\varepsilon_0 (x-\ell)^2}=0 . \end{gather*}

Si nota che questa equazione è la stessa di (3) e pertanto possiamo accettare solamente x=2\ell, essendo x>\ell. Concludiamo il primo punto dell’esercizio con la seguente soluzione

\[\boxcolorato{fisica}{E(x)=0\quad \Leftrightarrow\quad x=2\ell=\text{0,4 m}.}\]

Svolgimento punto 2.

Per definizione associamo un potenziale elettrostatico positivo alle cariche positive, mentre uno negativo alle cariche negative. Troviamo rispettivamente per le cariche q_1 e q_2 i seguenti potenziali

(6) \begin{align*} V_{q_1}(x)={8q\over 4\pi\varepsilon_0|x|}, && V_{q_2}(x)=-{2q\over 4\pi\varepsilon_0|x-\ell|}. \end{align*}

Tre casi distinti sono rappresentati nella figura 2, di seguito rappresentata.      

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Figura 2: studio della distanza da q_2 al variare di r=|x|.

    Caso \bm x<\bm 0 Il potenziale totale è

(7) \begin{align*} &\frac{8q}{4\pi\varepsilon_0\left \vert x \right \vert }-\frac{2q}{4\pi\varepsilon_0(\left \vert x \right \vert +\ell)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad \frac{4}{- x }-\frac{1}{- x +\ell}=0 \quad \Leftrightarrow\\[10pt] &\Leftrightarrow\quad 4(-x+\ell)+x=0 \quad \Leftrightarrow\quad x={4\over 3}\ell. \end{align*}

Il risultato non è accettabile in quanto {4\over 3}\ell non è minore di zero.

Caso \bm 0<\bm x<\bm\ell: il potenziale totale è

(8) \begin{equation*} \frac{8q}{4\pi\varepsilon_0\left \vert x \right \vert }-\frac{2q}{4\pi\varepsilon_0(\ell-\left \vert x \right \vert )}=0 \quad \Leftrightarrow\quad 4(\ell-x)-x=0 \quad \Leftrightarrow\quad x={4\over 5}\ell= \text{0,16 m}. \end{equation*}

Il risultato è accettabile in quanto oltre che ad essere positivo è anche compreso tra 0 ed \ell.

Caso \bm x > \bm\ell: il potenziale totale è

(9) \begin{equation*} \frac{8q}{4\pi\varepsilon_0\left \vert x \right \vert }-\frac{2q}{4\pi\varepsilon_0(\left \vert x \right \vert -\ell)}=0 \quad \Leftrightarrow\quad 4(x-\ell)-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x={4\over 3}\ell\sim \text{0,27 m}. \end{equation*}

Il risultato è accettabile in quanto oltre che ad essere positivo è anche maggiore di \ell.

Si conclude che

\[\boxcolorato{fisica}{V(x)=0 \quad \Leftrightarrow\quad x=\text{0,16 m.}\quad \vee \quad x\sim\text{0,27 m.}}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Tre cariche: q_1=4\cdot 10^{-8}\,\text{C}, q_2=-2\cdot 10^{-8}\,\text{C} e q_3=6\cdot 10^{-8}\,\text{C} sono allineate ed equidistanti \ell=50\,\text{cm}. Calcolare il lavoro W fatto dalle forze elettrostatiche per allontanare q_3 di \ell=50\, \text{cm}.

 
 

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Figura 3: schema esercizio 2.

Svolgimento.

La forza elettrostatica è conservativa, per questo è possibile definire un potenziale elettrostatico in modo tale che il lavoro svolto dalle forze elettrostatiche, per portare un sistema dalla stato A (inizio) allo stato B (fine), sia l’opposto della variazione di energia potenziale elettrostatica, ovvero:

(10) \begin{equation*} W=-\Delta U=U_{\text{inizio}}-U_{\text{fine}}. \end{equation*}

L’energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche discreto è data dalla somma delle energie potenziali associate a ciascuna coppia di cariche, nello stato iniziale abbiamo quindi la seguente energia potenziale:

(11) \begin{equation*} U_{\text{inizio}}=-{q_1|q_2|\over 4\pi\varepsilon_0\ell}+{q_1q_3\over 4\pi\varepsilon_0\,2\ell}-{|q_2|q_3\over 4\pi\varepsilon_0\ell}. \end{equation*}

Il segno dell’energia potenziale elettrostatica è dato dal prodotto della coppia di cariche, si avrà quindi un’energia positiva per cariche di segno concorde mentre sarà negativa per cariche di segno discorde. A denominatore va inserita la distanza (quindi una quantità positiva) tra le due cariche. Nello stato finale troviamo la seguente energia potenziale elettrostatica:

(12) \begin{equation*} U_{\text{fine}}=-{q_1|q_2|\over 4\pi\varepsilon_0\ell}+{q_1q_3\over 4\pi\varepsilon_0\,3\ell}-{|q_2|q_3\over 4\pi\varepsilon_0\,2\ell}. \end{equation*}

Ne segue che il lavoro svolto dalle forze elettrostatiche è:

(13) \begin{align*} W=U_{\text{inizio}}-U_{\text{fine}}&={1\over 4\pi\varepsilon_0\ell}\bigg({q_1q_3\over 2}-|q_2|q_3 -{q_1q_3\over 3}+{|q_2|q_3\over 2}\bigg)=\\ &={q_3\over 4\pi\varepsilon_0\ell}\bigg({q_1\over 6}-{|q_2|\over 2}\bigg)=\text{-3,6}\cdot 10^{-6}\,\text{ J}. \end{align*}

Concludiamo con la seguente soluzione:

\[\boxcolorato{fisica}{W=\text{-3,6}\cdot 10^{-6}\,\text{ J}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Tre cariche q_1=-4\cdot 10^{-8}\,\text{C}, q_2=3\cdot 10^{-8} \,\text{C} e q_3=2\cdot 10^{-9}\, \text{C} sono poste sui vertici di un triangolo equilatero di lato \ell=60\,\text{cm}. Calcolare il lavoro W fatto dalle forze elettrostatiche per portare q_3 all’infinito.

 
 

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Figura 4: dettaglio schema esercizio 3.

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