Esercizi forza elettrostatica e campo elettrico

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I seguenti esercizi sulla forza elettrostatica sono tratti dal libro “Elementi di Fisica, Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. Questo capitolo rappresenta il punto di partenza per il corso di Fisica 2, concentrandosi principalmente sulla forza elettrostatica e sul campo elettrico. L’obiettivo è quello di fornire le soluzioni dettagliate degli esercizi, offrendo una guida chiara e comprensibile che aiuti lo studente a padroneggiare questi concetti fondamentali.

Questi esercizi sono stati selezionati per coprire una gamma di difficoltà, partendo dai problemi più semplici fino a quelli più complessi, per garantire una comprensione progressiva e approfondita della materia. Ogni esercizio è stato rivisto con cura per assicurare la massima accuratezza e chiarezza nelle soluzioni proposte.

Abbiamo scelto di risolvere gli esercizi del libro “Elementi di Fisica, Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, in quanto è uno dei testi più utilizzati nei corsi universitari di Fisica 2. Questo libro è noto per la sua chiarezza e per la struttura ben organizzata degli esercizi, che presentano una difficoltà crescente in modo progressivo. Se desiderate superare l’esame di Fisica 2, questo è il luogo ideale: qui potrete apprendere le tecniche di problem solving necessarie per affrontare con successo questi problemi. Invitiamo, dunque, il lettore a seguire attentamente le spiegazioni e a utilizzare questo materiale come strumento di supporto nello studio della fisica elettrostatica.

Autori e revisori degli esercizi forza elettrostatica e campo elettrico.

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Autore: Valerio Brunetti.

Revisori: Silvia Lombardi, Patrizio Di Lorenzo e Simone Brozzesi.

Testi degli esercizi su forza elettrica e campo elettrico

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due protoni in un nucleo di elio distano $d=10^{-15}\, \text{m}$ . Calcolare la forza $F$ con cui interagiscono.

Svolgimento.

In generale, due cariche elettriche puntiformi $q_1$ e $q_2$ interagiscono per mezzo della forza di Coulomb, giacente sulla retta congiungente le due cariche. Questa risulta essere attrattiva tra cariche di segno opposto ( $q_1 \, q_2<0$ ), mentre è repulsiva nel caso di interazione tra cariche con lo stesso segno ( $q_1\, q_2>0$ ).

Il protone è una particella con carica elettrica positiva, pari, in modulo, a quella della carica elementare dell’elettrone $e=\text{1,6} \cdot 10^{-19} \; \text{C}$ . Trascureremo nel seguito le dimensioni del protone utilizzando un modello secondo cui tutta la carica si concentra in un punto. In questo problema abbiamo due protoni a distanza $d$ , allora è evidente che siamo in presenza di un’interazione coulombiana repulsiva; fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che l’origine coincida con la posizione del primo protone, l’asse $x$ coincida con la retta passante per la posizione dei due protoni e orientato come in figura 1.

Figura 1: situazione fisica esercizio 1.

Si ricorda che l’espressione della forza di Coulomb date due cariche $Q$ e $q$ poste lungo l’asse $x$ e poste a distanza $d$ l’una dall’altra è

(1) $\begin{equation*} \vec{F}= \frac{Qq}{4 \pi\varepsilon_0 d^2} \, \hat{x}\;, \end{equation*}$

dove $\varepsilon_0 =\text{8,85}\cdot 10^{-12}\,\text{C}^2\,\text{m}^{-2}\, \text{N}^{-1}$ è la costante dielettrica nel vuoto e $\hat{x}$ è il versore nella direzione dell’asse $x$ . Allora la forza esercitata dal protone 1 sul protone 2 è

(2) $\begin{equation*} \vec{F}= \frac{e\cdot e}{4 \pi\varepsilon_0 d^2} \, \hat{x}= \frac{e^2}{4 \pi\varepsilon_0 d^2}\, \hat{x}\;. \end{equation*}$

Sostituendo i valori numerici delle grandezze fisiche presenti nell’equazione (2) troviamo:

$\boxcolorato{fisica}{\vec{F}=230 \;\text{N} \; \hat{x} \;.}$

Ciò significa che la forza agente sul protone 2 è concorde al verso dell’asse $x$ , mentre quella agente sul protone 1 ha stesso modulo e direzione ma è discorde al verso dell’asse $x$ , in accordo con il terzo principio della dinamica.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due sferette cariche $q_1$ e $q_2$ si respingono con una forza $F_1=\text{5,4} \cdot 10^{-2}\, \text{N}$ quando distano $r=10\, \text{cm}$ . Sapendo che la loro somma è $q_1+q_2 = 5 \cdot 10^{-7}\, \text{C}$ , calcolare $q_1$ e $q_2$ .

Svolgimento.

Abbiamo due sferette cariche $q_1$ e $q_2$ che interagiscono tramite la forza di Coulomb $F_1$ nota quando la distanza tra le due è $r$ . Nella risoluzione del problema trascureremo le dimensioni delle “sferette”; è infatti questa parola che lascia intendere che il raggio $R$ delle sfere sia piccolo rispetto ad $r$ .

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con l’asse $x$ coincidente con la retta congiungente le due cariche come in figura 2.

Figura 2: situazione fisica esercizio 2.

Allora, dalla legge di Coulomb, possiamo scrivere la relazione

(3) $\begin{equation*} F_1= \frac{q_1q_2}{4 \pi\varepsilon_0 r^2}, \end{equation*}$

con $F_1=\text{5,4} \cdot 10^{-2} \;\text{N}$ , $\varepsilon_0= \text{8,85} \cdot 10^{-12}\; \text{C}^2 \text{m}^{-2} \text{N}^{-1}$ e $r=\text{0,1}\;\text{m}$ .

Per determinare in maniera univoca il valore delle due incognite $q_1$ e $q_2$ la sola relazione precedente non è sufficiente dato che sono presenti due incognite in un’unica equazione. Tuttavia conosciamo la relazione che intercorre tra le due cariche $q_1+q_2=5 \cdot 10^{-7} \; \text{C}$ .

Abbiamo ricondotto il problema alla risoluzione del seguente sistema di due equazioni nelle incognite $q_1$ e $q_2$

$\begin{cases} q_1q_2= A \\ q_1+q_2=B ,\\ \end{cases}$

dove abbiamo definito le costanti $A=F_1 4 \pi \varepsilon_0 r^2$ e $B=5 \cdot 10^{-7} \; \text{C}$ . Risolviamo usando il metodo di sostituzione

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} q_2^2-Bq_2+A=0\\ q_1=B-q_2. \end{cases} \end{equation*}$

La (4) $_1$ è un equazione di secondo grado con soluzioni

(5) $\begin{equation*} q_{2_{1,2}}=\dfrac{B\pm\sqrt{B^2-4A}}{2}, \end{equation*}$

numericamente pari a $q_2=2 \cdot 10^{-7} \; \text{C}$ e $q_2=3 \cdot 10^{-7} \; \text{C}$ . Entrambe le soluzioni sono fisicamente accettabili per il sistema studiato.

Sostituendo queste nella seconda equazione del sistema troviamo le due soluzioni equivalenti:

$\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} q_1= 3 \cdot 10^{-7} \text{C} \\ q_2= 2 \cdot 10^{-7}\text{C}\\ \end{cases} \hspace{0.5cm}\lor\hspace{0.8cm} \begin{cases} q_1= 2 \cdot 10^{-7} \text{C} \\ q_2= 3 \cdot 10^{-7}\text{C}\;.\\ \end{cases}}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due cariche uguali $q=2 \cdot 10^{-8}\, \text{C}$ sono poste a distanza $2a = 5\, \text{cm}$ . Calcolare:

la forza $F_x$ su una carica $q_0$ = $10^{-10}\, \text{C}$ posta a distanza $x = 1\, \text{cm}$ dal centro O;
la forza $F_y$ sulla stessa carica posta a distanza $y= 1\, \text{cm}$ dal centro lungo l’asse delle due cariche.