Revisori: Silvia Lombardi, Patrizio Di Lorenzo e Simone Brozzesi.

Il protone è una particella con carica elettrica positiva, pari, in modulo, a quella della carica elementare dell’elettrone . Trascureremo nel seguito le dimensioni del protone utilizzando un modello secondo cui tutta la carica si concentra in un punto. In questo problema abbiamo due protoni a distanza , allora è evidente che siamo in presenza di un’interazione coulombiana repulsiva; fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che l’origine coincida con la posizione del primo protone, l’asse coincida con la retta passante per la posizione dei due protoni e orientato come in figura 1.    

Figura 1: situazione fisica esercizio 1.

Si ricorda che l’espressione della forza di Coulomb date due cariche e poste lungo l’asse e poste a distanza l’una dall’altra è

(1)  

dove è la costante dielettrica nel vuoto e è il versore nella direzione dell’asse . Allora la forza esercitata dal protone 1 sul protone 2 è

(2)  

Sostituendo i valori numerici delle grandezze fisiche presenti nell’equazione (2) troviamo:

Ciò significa che la forza agente sul protone 2 è concorde al verso dell’asse , mentre quella agente sul protone 1 ha stesso modulo e direzione ma è discorde al verso dell’asse , in accordo con il terzo principio della dinamica.

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con l’asse coincidente con la retta congiungente le due cariche come in figura 2.    

Figura 2: situazione fisica esercizio 2.

Allora, dalla legge di Coulomb, possiamo scrivere la relazione

(3)  

con , e .

Per determinare in maniera univoca il valore delle due incognite e la sola relazione precedente non è sufficiente dato che sono presenti due incognite in un’unica equazione. Tuttavia conosciamo la relazione che intercorre tra le due cariche .

Abbiamo ricondotto il problema alla risoluzione del seguente sistema di due equazioni nelle incognite e

dove abbiamo definito le costanti e . Risolviamo usando il metodo di sostituzione

(4)  

La (4) è un equazione di secondo grado con soluzioni

(5)  

numericamente pari a e . Entrambe le soluzioni sono fisicamente accettabili per il sistema studiato.

Sostituendo queste nella seconda equazione del sistema troviamo le due soluzioni equivalenti:

Figura 4: rappresentazione del sistema di riferimento.

Il sistema iniziale è costituito da due cariche elettriche puntiformi, entrambe di carica , a distanza una dall’altra. Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in modo che l’asse coincida con la retta congiungente le due cariche e che l’origine disti da entrambe le cariche , come in figura 4. Nel primo punto studiamo il sistema iniziale con l’aggiunta di una carica puntiforme nel punto del piano , con .

La simmetria del problema ci suggerisce che la forza agente sulla particella di carica sia diretta solo lungo l’asse . Calcoliamo , tenendo conto del fatto che, per il principio di sovrapposizione, essa sarà data dalla somma della forza generata dalla particella in su , che chiameremo , e della forza generata dalla particella situata in su , che indicheremo con .

Dunque, indicando con i moduli delle forze e , otteniamo

(6)  

dove: e .

I segni delle componenti delle forze ed sono dovuti a due fattori, ossia al segno della carica e alla posizione relativa delle particelle 1,2 rispetto alla carica . La proprietà delle particelle 1,2 di avere la stessa carica ma posizione relativa opposta rispetto a è causa del segno meno sul secondo termine del membro di destra. Ordinando i fattori e sostituendo i dati numerici si ottiene

(7)  

da cui si conclude che il modulo della forza agente su è:

Rappresentiamo più dettagliatamente le forze applicate alla sola carica come in figura 6, scegliendo un nuovo sistema di riferimento con assi paralleli al precedente e origine nella carica.    

Anche qui per calcolare la forza agente sulla carica applichiamo il principio di sovrapposizione

(8)  

dove le forze e , pur mantenendo lo stesso significato fisico del caso precedente sono vettori diversi; questo è ovvio dato che è cambiata la configurazione geometrica del problema e quindi cambia sia la direzione della retta congiungente le particelle che la loro distanza. Questi parametri contribuiscono rispettivamente a direzioni, versi e moduli delle forze.

La disposizione delle particelle nel piano implica che la componente di entrambe le forze debba essere nulla. Per quanto riguarda le componenti delle forze agenti sulla carica si può dire subito per ragioni di simmetria che queste risultano uguali in modulo e opposte in segno, determinando una risultante . È possibile verificare analiticamente quanto affermato, proiettando le forze sull’asse e

(9)  

dove , , e con , gli angoli come in figura 6. Dalla geometria del problema mostrata in figura 5, osserviamo che e , allora =. Inoltre, poiché le particelle 1 e 2 hanno stessa carica e stessa distanza dalla particella in , deduciamo che .

Allora la (9) diventa

(10)  

dove le componenti lungo l’asse si sono elise perché uguali ed opposte e lungo l’asse si sono sommate perchè uguali. Sostituendo i dati numerici si ottiene

Figura 8: rappresentazione del sistema di riferimento.

Per il principio di sovrapposizione la forza risultante sull’i-esima carica è data dalla somma su delle forze esercitate dalle cariche , con , e

(11)  

(12)  

(13)  

È evidente che le forze in gioco hanno come unica componente non nulla quella lungo l’asse ; dunque, sia il versore in tale direzione, possiamo scrivere

(14)  

Sostituendo i dati numerici forniti si ha:

Osservazione 1. Si vuole far osservare al lettore che abbiamo scelto a priori i versi delle forze mettendo il segno davanti e di conseguenza avendo posto le cariche negative in modulo. Ad esempio consideriamo la forza .

Figura 10: rappresentazione delle forze agenti sulla carica.

La configurazione del problema vede tre cariche disposte sui vertici di un triangolo equilatero di lato . Si osserva che essendo il triangolo equilatero. Cerchiamo la forza agente sulla carica situata nell’origine del nostro sistema di riferimento. Come al solito sfruttiamo il principio di sovrapposizione per scriverla come somma degli effetti indipendenti dovuti all’interazione coulombiana con la carica e con la carica

(15)  

dove abbiamo utilizzato la notazione per indicare la forza esercitata dalla carica sulla carica . Proiettiamo le forze lungo gli assi e

(16)  

Sostituendo l’espressione dei moduli delle forze contenute nelle relazioni precedenti otteniamo (si veda il problema 4)

(17)  

Notiamo che nella stima dei moduli delle forze in gioco le cariche si prendono in valore assoluto. I dati numerici del problema , , , , con costante dielettrica nel vuoto e . Consideriamo (17) e procediamo sostituendo i valori numerici

(18)  

Si conclude che:

Figura 12: rappresentazione delle forze agenti sulla carica .

Calcoliamo la forza sulla carica 4 è data dalla somma delle forze di interazione tra e le cariche , con , in accordo con il principio di sovrapposizione

(19)  

È evidente che la direzione del vettore è parallelo e concorde con l’asse positivo delle e è parallelo e concorde con l’asse negativo delle . Studiamo allora : sia l’angolo che si forma tra e il semiasse positivo , allora

(20)  

dove abbiamo sostituito e .

A questo punto, possiamo proiettare le forze lungo gli assi, ottenendo dall’equazione (19) quanto segue

(21)  

Esplicitando l’espressione dei moduli delle forze date dall’equazione che definisce la forza di Coulomb, si ottiene

(22)  

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

Figura 14: in figura viene rappresentato il sistema descritto dal problema dal punto di vista di un’osservatore il cui sguardo sia parallelo all’asse .

Ciascuna carica sarà responsabile della presenza di un campo elettrico di direzione radiale rispetto alla carica stessa. Per visualizzare meglio ciò che sta accadendo, proponiamo di seguito due disegni: il primo si propone di schematizzare i vettori del campo elettrico generato dalle due cariche che giacciono sull’asse , il secondo vuole schematizzare invece il comportamento dei campi elettrici dovuti alle cariche posizionate sull’asse .    

Figura 15: in figura viene rappresentato il campo elettrico sui punti dell’asse generato dalle cariche poste sull’asse .

Figura 16: in figura viene rappresentato il campo elettrico sui punti dell’asse generato dalle cariche poste sull’asse .

Notiamo che, dal momento che la configurazione geometrica delle cariche è un quadrato, a una distanza fissata, l’angolo formato dal vettore campo elettrico con l’asse delle ascisse sarà lo stesso indipendentemente da quale sia la carica che lo genera. Inoltre, dalle figure 15 e 16 è facile intuire che in ogni punto dell’asse le componenti del campo elettrico risultante ed saranno nulle in quanto le azioni delle cariche simmetriche rispetto all’asse delle ascisse si compensano lungo le direzioni e . Da queste considerazioni possiamo concludere che il campo elettrico risultante giace interamente sull’asse e sarà dato dalle proiezioni dei campi di ciascuna particella su di esso. Altrettanto facilmente si può intuire che i contributi di ciascuna particella in un generico punto sono tra loro uguali in quanto ognuna di esse ha caricha e, data la simmetria del sistema, sarà equidistante da . Infine possiamo affermare che

(23)  

dove con ed indichiamo rispettivamente la componente e il modulo del campo elettrico generato dalla i-esima carica. Dalla legge di Coulomb possiamo ricavare il campo elettrico tenendo conto del fatto che la distanza tra la generica carica e il punto sarà (stiamo sfruttando banalmente il teorema di Pitagora) . Di conseguenza otteniamo

(24)  

da cui, proiettando sull’asse , otteniamo

(25)  

dove abbiamo utilizzato la relazione , che deriva dal fatto che in un triangolo rettangolo il coseno di un angolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa.

Dalla (23) troviamo infine:

Figura 18: rappresentazione delle forze agenti sulla carica .

In figura 18 abbiamo indicato con la convenzione la forza esercitata dalla carica i-esima sulla carica j-esima. Da quanto affermato in precedenza sappiamo che sarà un vettore parallelo all’asse mentre sarà parallelo all’asse . Contrariamente ai primi due, il vettore avrà invece sia una componente lungo l’asse dell’ascisse che lungo l’asse delle ordinate. Come mostrato in figura 18 sappiamo però che l’angolo tra quest’ultima forza e ciascuno dei due assi è pari a ; questo viene dal fatto che la congiungente tra la particella e è proprio la diagonale del quadrato i cui vertici sono le particelle stesse. Già da queste considerazioni preliminari siamo in grado di scrivere il sistema

(27)  

Dal principio di sovrapposizione, sappiamo che la forza risultante sulla carica è pari alla somma delle forze esercitate dalle singole cariche, ovvero si avrà

(28)  

Per trovare la forza dunque non dobbiamo far altro che trovare le componenti di ogni vettore forza applicato alla carica . Per fare ciò, sfruttiamo la legge di Coulomb, secondo la quale la forza elettrostatica presente tra due generiche cariche e poste a una certa distanza è descritta dalla relazione

(29)  

dove è il versore che congiunge le due cariche (nel nostro caso la direzione di tale versore è stata già discussa).

Ricordando che nel nostro sistema il lato del quadrato vale e che di conseguenza la diagonale vale , possiamo sfruttare la legge di Coulomb; in questo modo, la (27) diventa

(30)  

dove abbiamo considerato il modulo delle cariche in quanto il segno relativo alle forze di interazione elettrostatica era già stato discusso in precedenza. A questo punto non dobbiamo far altro che sostituire le espressioni così trovate all’interno dell’equazione (28). Avremo così

(31)  

ossia:

Figura 19: rappresentazione dei campi elettrici in un generico punto dell’asse .

Figura 20: rappresentazione dei campi elettrici.

In figura 21 rappresentiamo il campo elettrico valutato in un generico punto dell’asse    

Figura 21: valutazione campo elettrico di una sola carica.

dove è l’angolo che forma il vettore con l’asse delle e è l’angolo che forza la proiezione con l’asse delle e pertanto possiamo scrivere

(32)  

Ripetendo il medesimo ragionamento per ogni carica si ha

(33)  

A questo punto, per trovare l’espressione di ogni campo elettrico, dobbiamo semplicemente calcolare i loro moduli. Sappiamo che in quanto i moduli delle cariche sono tra loro uguali, così come lo è la distanza di ciascuna carica dal punto . Allora avremo, come conseguenza della legge di Coulomb

(34)  

A questo punto, dal principio di sovrapposizione, sappiamo che il campo elettrico risultante sarà pari alla somma vettoriale dei quattro campi dati, ossia, facendo riferimento alla (33), avremo

(35)  

Ricordiamo inoltre che, essendo , avremo e dalla trigonometria sappiamo anche che

(36)  

Sostituendo queste ultime due relazioni nella (35) otteniamo:

Figura 23: rappresentazione sistema di riferimento.

Ponendo una carica di prova esattamente al centro del quadrato essa sarà immersa nei campi elettrostatici generati dalle quattro cariche ai vertici. Per il principio di sovrapposizione possiamo scrivere

(37)  

Le linee di campo radiali che originano dalle cariche e sono uscenti, mentre quelle che originano da e sono entranti.

Definito l’angolo tra e il semiasse positivo delle , come illustrato in figura 23, allora le proiezioni dell’equazione vettoriale (37) sugli assi e sono

(38)  

dove in (38) e (38) si è tenuto conto del fatto che , poiché le cariche sono uguali in modulo e si trovano alla stessa distanza da . Infatti, essendo , si ha che , dove è la distanza delle cariche da . Queste uguaglianze, insieme alla simmetria del problema, determinano un angolo di proiezione uguale per tutti e quattro i vettori. Per non appesantire la notazione, si è indicato con il modulo del campo elettrostatico generato dalla i-esima carica nell’origine , che è pari a , con che rappresenta la semidiagonale del quadrato, quindi . Abbiamo dunque

(39)  

La forza agente sulla carica di prova è

(40)  

I dati numerici forniti sono: il lato del quadrato , le cariche e e infine il valore della costante dielettrica nel vuoto . Dunque, da (39) e (40) troviamo direttamente la soluzione

cioè

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano con l’origine coincidente con il centro dell’esagono come in figura 25    

Figura 25: rappresentazione sistema di riferimento.

Dunque, ciò che è necessario calcolare è il campo elettrostatico totale presente nell’origine , il quale per il principio di sovrapposizione è dato da

(41)  

Tutti i campi hanno componente positiva, mentre per quanto concerne le componenti sono positive per e , negative per e e nulle per e .

Abbiamo dunque

(42)  

dove è l’angolo di proiezione di sull’asse delle pari a ; in particolare per la geometria del problema coincide con tutti gli altri angoli relativi alla proiezione degli altri cinque campi.

Consideriamo ora la figura 26    

Figura 26: analisi geometrica del problema.

che rappresenta la parte del poligono con le cariche e ; è importante osservare che si tratta di un triangolo isoscele con base pari a . Tracciamo l’altezza che parte dall’origine del nostro sistema di riferimento rispetto alla base e otteniamo la figura 27    

Figura 27: analisi geometrica del problema.

dalla quale si osserva che otteniamo due triangoli rettangoli avente un cateto pari ad e angolo opposto a tale cateto pari a , quindi per il teorema del seno per i triangoli rettangoli otteniamo

(43)  

dove è la distanza delle cariche dall’origine, nonchè l’ipotenusa del nostro triangolo rettangolo, per cui

(44)  

Per questioni geometriche ogni carica si trova rispettivamente alla distanza dall’origine e possiamo concludere che

(45)  

Allora il sistema (42) diventa

(46)  

Noto il campo elettrostatico nell’origine, è semplice ora scrivere l’espressione della forza agente su una carica posta in

(47)  

dove nell’ultimo passaggio si è sostituito il risultato trovato in (46). A questo punto ricordandoci che , possiamo trovare la soluzione:

I dati numerici sostituiti sono: , e .

Figura 29: sistema di riferimento e valutazione campo elettrico.

Proiettando lungo gli assi cartesiani, avremo

(48)  

Osserviamo che la carica è distribuita in modo uniforme, quindi

(49)  

dove in questo caso , da cui

(50)  

infatti, se la carica è distribuita in modo uniforme possiamo definire la densità lineare come il rapporto tra la carica e la lunghezza della curva sul quale è distribuita tale carica. Sostituendo (50) in (48) otteniamo

(51)  

Impostando la seguente proposizione

(52)  

troviamo che

(53)  

quindi

(54)  

Siccome abbiamo calcolato il contributo di due cariche infinitesime dobbiamo integrare su metà semianello, quindi Abbiamo quindi

(55)  

Si conclude che la risposta al punto 1 del problema è quella che segue:

(56)  

Quindi possiamo concludere immediatamente che il campo elettrico totale nell’origine è

(57)  

Analogamente a quanto visto prima, si possono seguire gli stessi passi per convincerci di quanto appena detto. Scegliamo quattro elementini elementari che come abbiamo visto sono uguali in modulo su ogni punto della nostra distribuzione essendo la carica distribuita in modo uniforme e calcoliamo il campo elettrico nell’origine facendo riferimento alla figura 30    

Figura 30: sistema di riferimento e scelta delle cariche.

    Notiamo che lungo l’asse il campo totale risulta nullo e lungo l’asse otteniamo

(58)  

dove ora . Integriamo su metà semianello e otteniamo

(59)  

Si conclude che la risposta al punto 3, è:

Figura 32: rappresentazione del sistema di riferimento e l’angolo .

Il campo elettrico totale generato dai due elementi in è

(60)  

Proiettiamo tali campi rispetto al sistema di riferimento

(61)  

La carica sul semianello è distribuita in modo omogeneo, quindi

(62)  

ed essendo entrambe le cariche alla stessa distanza si ha che

(63)  

pertanto

(64)  

Dunque lungo l’asse il campo elettrico totale é nullo per ragioni di simmetria; infatti, per ogni elemento di carica nella parte superiore, la componente del campo elettrico generato lungo l’asse è positiva ma esiste sempre un elementino di carica simmetrico al precedente che genera un campo elettrico nel verso opposto lungo l’asse delle , annullando il precedente. Abbiamo dunque

(65)  

Ricordando che per una distribuzione di carica omogenea con densità di carica lineare. Nel nostro caso perché la carica è distribuita su un quarto ci circonferenza e tenendo conto che si ha . Ora è necessario sommare tutti i contributi forniti da ogni elemento infinitesimo , integrando per , cioè per metà semianello; infatti, per ora abbiamo considerato ogni coppia di elementi infinitesimi , perciò dovremo integrare solo per angoli

(66)  

In conclusione abbiamo che:

Figura 34: valutazione campo elettrico.

Il campo elettrostatico è

(67)  

Integrando tra si ha

(68)  

dove teniamo conto che come visto sopra e nella eq. (68) è stata usata la formula di duplicazione del coseno . In conclusione

(69)  

con e . Per risolvere questo problema si segue il classico approccio già utilizzato in esercizi precedenti con distribuzioni continue di carica. L’obiettivo, quindi, è quello di calcolare, attraverso il principio di sovrapposizione degli effetti, l’espressione del campo elettrico come integrale di tutti i contributi dati dagli elementi infinitesimi di carica a distanza dall’origine, con , che costituiscono la distribuzione. In questo senso, per risolvere il problema è necessario fare alcune considerazioni di carattere geometrico:

1. Come si vede dalla figura 36, i contributi del campo lungo sono uguali e opposti, quindi si eliminano e la componente del campo totale nel punto risulta nulla per simmetriali.
2. Il sistema è simmetrico rispetto all’asse , quindi ai fini della risoluzione basterà limitare il calcolo all’effetto delle cariche nell’intervallo dell’asse e prendere due volte le quantità ottenute.

Per risolvere il problema consideriamo due elementi infinitesimi di carica e posti entrambi a distanza dall’origine del nostro sistema di riferimento. I due elementi di carica generano i campi e , come mostrato in figura 36.    

Figura 36: rappresentazione campi elettrici.

Siccome la carica è distribuita omogeneamente, allora deve essere e pertanto, a parità di distanza dall’ origine del sistema di riferimento, sarà . Lungo , quindi, si deve considerare due volte la relativa componente di , che per le ragioni appena esposte è

(70)  

Come visto nei precedenti esercizi, per una distribuzione di carica vale la relazione . Nel caso specifico trattato nel problema, la distribuzione di carica è omogenea, pertanto è una costante. È quindi necessario calcolare l’espressione di attraverso opportune considerazioni geometriche. Per farlo, occorre tenere conto di come le grandezze , e siano correlate tra loro. In particolare, si nota che , quindi il differenziale è legato al differenziale dalla relazione , da cui si ottiene . Questo ci permette di scrivere, infine, l’espressione del differenziale che compare nell’equazione (70).

Prima di procedere all’integrazione del campo elettrico, è necessario adattare l’espressione di per esplicitare la dipendenza da , dato che, come visibile in figura 36, è funzione di . In particolare, dall’equazione (70) si osserva la relazione , da cui segue che

(71)  

in cui l’ultima relazione è una diretta conseguenza del fatto che , come detto precedentemente. A questo punto si hanno tutti gli strumenti necessari per procedere all’integrazione. Il differenziale ha la forma

(72)  

A questo punto, si può svolgere l’integrale che, come detto all’inizio, sarà limitato all’intervallo per la simmetria del sistema. L’angolo rappresenta il valore massimo di . Dato che e è la lunghezza del filo, che rappresenta il valore massimo di , allora il valore massimo di sarà . Inoltre, sarà . Si noti inoltre che, essendo la distribuzione di carica omogenea, come detto in precedenza, è una costante e può quindi essere portata fuori dall’integrale insieme alle altre costanti. Si otterrà quindi

(73)  

Essendo quindi, per costruzione, come visibile in figura 35, e , risulta così dimostrata l’espressione per il campo elettrico richiesta dal problema:

Figura 38: contributi degli elementi di carica e della distribuzione dei lati paralleli all’asse .

Figura 39: Contributi degli elementi di carica e della distribuzione sul lato parallelo all’asse .

Il secondo passo consiste, come si vede nella figure 38 e 39 nel considerare la distribuzione di carica uniforme sui tre lati come costituita da elementi infinitesimi di carica uguali in modulo. Per motivi di calcolo che saranno definiti in seguito, si scelgono quattro elementi di carica: sul lato parallelo all’asse nel semipiano , sul lato parallelo all’asse nel semipiano , sulla metà del lato parallelo all’asse che si trova nel semipiano e sulla metà del lato parallelo all’asse che si trova nel semipiano . Ad ognuno dei è associato un campo elettrico con nel punto considerato, come mostrato nelle figure 38 e 39. Partendo dai due lati paralleli all’asse , dalla figura 38 si osserva come il sistema considerato sia simmetrico sia rispetto all’asse che rispetto all’asse . Tale simmetria gioca un ruolo fondamentale nella scelta dei e . Proprio in virtù della simmetria rispetto all’ asse , infatti, si vede come, preso un elemento sul lato appartenente al semipiano , sia sempre possibile individuare un elemento , uguale in modulo, sul lato opposto, che è il suo simmetrico rispetto all’asse . Da questa osservazione, si deduce quindi che i campi e nel punto saranno uguali in modulo, avranno la stessa direzione ma verso opposto. Le rispettive componenti e , saranno quindi uguali e opposte, facendo sì che tutti i contributi si annullino a vicenda. Per questo motivo questi contributi possono essere esclusi dal calcolo. Un ragionamento analogo può essere fatto per il lato del quadrato parallelo all’asse . Come visibile in figura 39, il lato è simmetrico rispetto all’asse , che lo divide in due segmenti di lunghezza . Su ognuno dei due segmenti si prendono i due elementi di carica e , ai quali sono associati i campi e nel punto . Anche in questo caso, si vede come per ogni nel semipiano è sempre possibile individuare un , suo simmetrico rispetto all’asse , nel semipiano . Essendo e uguali in modulo, ed in virtù di questa simmetria, quindi, i due campi e nel punto formeranno lo stesso angolo con l’asse . Per tale ragione le componenti e saranno uguali e concordi, sommandosi, mentre le componenti e saranno uguali e opposte, annullandosi a vicenda. Per questa ragione, quindi, si includono nel calcolo del campo elettrico nel punto solo le componenti dei campi generati da e . E’ possibile, tuttavia, fare un’ulteriore semplificazione. In virtù della già citata simmetria rispetto all’asse del lato parallelo all’asse , ed in virtù del fatto che e vengono scelti uguali, è possibile restringere l’intervallo su cui calcolare il campo elettrico. I due contributi dati dalle due distribuzioni di carica sui due segmenti di lunghezza del lato sono identici, quindi anzichè calcolare questi contributi nell’intervallo dell’asse , basterà limitare il calcolo all’intervallo e considerare due volte le quantità ottenute.    

Figura 40: dettaglio schema esercizio 15.

Una volta impostato il problema e fatte le opportune considerazioni sulla geometria e la simmetria del sistema, si può passare al calcolo del campo elettrico nel punto , come richiesto dall’esercizio. Tale quantità, per il principio di sovrapposizione, deve essere calcolata come integrale di tutti i contributi associati agli elementi di carica che costituiscono la distribuzione, secondo la relazione

(74)  

in cui è l’angolo che il vettore forma con l’asse . Per poter integrare il è necessario riadattare l’espressione del differenziale : per farlo, consideriamo l’espressione della densità di carica omogenea, definita come , da cui ricaviamo . Inoltre, essendo la carica sul lato del quadrato di lunghezza , per la densità di carica vale quindi l’espressione . Inserendo l’espressione di e di nell’espressione di nell’equazione (74), si ottiene

(75)  

Definendo come la distanza dell’elemento di carica dall’origine, e applicando le regole trigonometriche dei triangoli rettangoli al triangolo di cateti , ed ipotenusa , si ha

(76)  

da cui

(77)  

Andando a sostituire le quantità ottenute nell’equazione (75) si ottiene:

(78)  

cioè:

(79)  

In questo modo si è ottenuta un espressione per in funzione del differenziale , che è la variabile su cui si andrà ad integrare per calcolare la quantità richiesta dal problema. A questo punto, quindi, l’espressione di ricavata può essere sostituita nell’equazione (74) e procedere all’integrazione. Si osservi come, per costruzione il valore massimo di si ha per ed è pari a , mentre l’angolo è zero radianti per . Il campo elettrico nel punto è, quindi, dato dall’integrale

(80)  

Si ottiene quindi l’espressione del campo elettrico generato dalla distribuzione di carica nel punto :

Figura 42: rappresentazione di 4 cariche infinitesime in “fila”.

Le cariche infinitesime generano un campo elettrico radiale. L’asse individua una direzione radiale comune a tutte le particelle della sbarretta. Notiamo che l’intensità del campo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra la particella e il punto, come vedremo di seguito. Abbiamo dunque trovato che il campo elettrico risultante nel punto avrà lo stesso orientamento dell’asse . Inoltre, come conseguenza della legge di Coulomb, sia ogni singola carica pari a , avremo che il vettore campo elettrico infinitesimo generato da essa può essere scritto come

(81)  

dove è la distanza tra la carica e il punto , ossia , con punto di ascissa in cui si sta considerando la carica . A questo punto, per il principio di sovrapposizione, possiamo dire che il campo elettrico risultante sarà la somma dei campi elettrici generati da ogni particella (come risulta intuitivamente dalla figura 42). Essendo la distribuzione uniforme, possiamo scrivere , da cui la (81) diventa

(82)  

Possiamo dunque procedere con l’integrazione

(83)  

cioè

(84)  

Dal momento che sappiamo che la carica su tutta la sbarretta vale ed è distribuita in modo uniforme, possiamo scrivere

(85)  

da cui (84) diventa

(86)  

pertanto:

Figura 44: sistema di riferimento con origine nel centro della prima sbarretta.

Il campo elettrostatico generato dalla barretta in un generico punto si ottiene sommando tutti i contributi dati dagli elementi infinitesimi in cui si può suddividere la sbarretta. Si avrà infatti che ciascuno di essi produrrà un certo campo elettrico che, per la legge di Coulomb, avrà direzione radiale rispetto a e sarà della forma

(87)  

dove abbiamo considerato il campo elettrico orientato lungo l’asse in quanto tale direzione è radiale rispetto a tutte le cariche (si veda il problema 16) e in particolare è la distanza tra la carica e il punto . Pertanto abbiamo che la distanza tra e la carica considerata è uguale ad , dove con si indica la distanza della carica rispetto all’origine del sistema di riferimento scelto; ricordando anche che vale la relazione , dove è la densità di carica lineare della sbarretta, possiamo riscrivere il campo elettrico come segue

(88)  

Sappiamo inoltre che la carica è distribuita uniformemente: questo ci permette di affermare che è costante e di conseguenza si ha

(89)  

pertanto

(90)  

Integriamo su tutta la lunghezza della sbarretta per trovare il campo elettrico totale nel punto generato dalla prima sbaretta. In particolare, nel riferimento da noi scelto, avremo che , dunque

(91)  

dove abbiamo osservato che e da cui ricaviamo

(92)  

Una volta trovato il campo elettrico generato dalla singola sbarretta, possiamo occuparci di trovare la forza dovuta ad esso. Infatti sappiamo che, a causa di , lungo l’asse agirà una forza di origine elettrostatica orientata nella stessa direzione e verso del campo.    

Figura 45: in figura viene mostrata la forza che la sbarretta di sinistra esercita sulla sbarretta di destra.

La forza mostrata in figura 45 è la forza elettrostatica esercitata dalla sbarretta centrata nell’origine sulla seconda; data la simmetria del problema, anche quest’ultima eserciterà una forza sulla prima di uguale intensità ma orientata in senso opposto. La forza è data dalla somma delle forze infinitesime che ciascuna carica presente sulla prima sbarretta esercita nella regione di spazio . Il campo elettrico è definito come il prodotto tra la forza e la carica di prova posta nel punto in cui lo si vuole calcolare, cioè

(93)  

da cui, ripetendo gli stessi passaggi logici del caso precedente e utilizzando l’espressione del campo elettrico trovata, otteniamo

(94)  

Integrando sulla lunghezza della seconda sbarretta, otteniamo

(95)  

da cui si ricava il risultato finale:

Figura 46: schema del problema in un sistema di riferimento alternativo.

Il procedimento è del tutto analogo al caso precedente: scegliamo dunque una carica infinitesima della prima barretta e valutiamo il campo elettrostatico generato in un generico punto . Come già visto nella soluzione , si ha

(96)  

A questo punto, per trovare l’espressione del campo elettrico, integriamo entrambi i membri della (96) con , pertanto

(97)  

ossia

(98)  

Riportiamo dunque di seguito il dettaglio del sistema composto da due sbarrette nel nuovo sistema di riferimento    

Figura 47: rappresentazione delle due sbarrette.

È importante notare che la distanza tra le due sbarette è , da cui si deduce immediatamente che l’inizio della prima sbaretta si trova nella posizione .

Calcoliamo ( è la forza al quale è sottoposta una carica infinitesima appartenente alla seconda sbaretta per via della presenza del campo elettrico definito da (98)

(99)  

È rilevante osservare che abbiamo posto . La forza totale si trova integrando lungo l’intervallo , cioè

(100)  

ossia:

Come ottenuto nella soluzione .

Figura 49: diagramma campo elettrico.

I campi elettrici delle rispettive cariche e nel punto sono

(101)  

dove è la distanza della carica da e è la distanza della carica da . Notiamo che geometricamente le sbarrette sono uguali tra loro e in particolari hanno la stessa carica distribuita in modo omogeneo quindi i campi generati nel punto hanno stesso modulo. Per convincersi di ciò basta riscrivere la (101) in funzione della densità lineare di carica di ciascuna sbarra

(102)  

Sappiamo ora che, essendo la carica distribuita uniformemente, la densità non sarà altro che il quoziente tra la carica totale presente sulla sbarretta e la sua lunghezza; dal momento che entrambe le sbarrette sono lunghe ed entrambe possiedono una carica totale , possiamo scrivere che , da cui

(103)  

L’espressione dei due campi elettrici si trova integrando lungo il profilo delle sbarrette; per la prima avremo

(104)  

da cui

(105)  

Con un procedimento del tutto analogo, si arriva allo stesso risultato per , infatti

(106)  

In figura 49 è rappresentato l’orientamento dei due vettori: e . Essendo essi ortogonali tra di loro e giacenti sugli assi del sistema di riferimento considerato, avremo che il vettore campo elettrico totale è

(107)  

Dunque, chiamando , possiamo scrivere

(108)  

cioè:

Figura 51: in figura viene mostrata la geometria del campo generato da una carica infinitesima.

Il campo elettrico ha espressione analitica

(109)  

da cui, sfruttando il fatto che la carica è distribuita uniformemente lungo la sbarretta, e che dunque , ricaviamo

(110)  

A questo punto ci interessa trovare una funzione che esprima la distanza del punto dalla carica in funzione dell’angolo . Notiamo infatti dalla figura 51 che vale quanto segue

(111)  

Notiamo che il valore di è costante, infatti è un punto fissato nello spazio; pertanto, le grandezze e saranno tra loro inversamente proporzionali e varieranno in modo che il loro prodotto resti sempre lo stesso. Sappiamo inoltre dalla trigonometria che

(112)  

da cui, ricordando che è una costante, differenziando entrambi i membri, ricaviamo

(113)  

Sostituendo i risultati della (111) e della (113), possiamo riscrivere il campo elettrico come segue

(114)  

Integrando ambo i membri dell’ultima relazione ottenuta si trova il vettore campo elettrico . Nei limiti dell’approssimazione suggerita dal testo, ossia che il filo sia molto lungo, possiamo ipotizzare che l’angolo vari nell’intervallo , da cui

(115)  

Dunque abbiamo trovato:

Figura 53: diagramma delle forze agenti sulla pallina.

Dalla seconda legge della dinamica, sappiamo che

(116)  

da cui, sapendo che la pallina si trova in equilibrio, e dunque che , troviamo

(117)  

Riscriviamo la (117) come segue

(118)  

da cui

(119)  

pertanto

(120)  

cioè:

Figura 55: diagramma delle forze.

dove è la tensione del filo, è la forza elettrica e è la forza peso. Infatti la particella è sottoposta alla forza peso e alla tensione del filo e in particolare risentirà di una forza elettrostatica dovuta al campo elettrico generato dalla lastra. Dal secondo principio della dinamica avremo

(121)  

da cui, poiché all’equilibrio l’accelerazione della massetta deve essere nulla, si ottiene

(122)  

Scomponendo le forze lungo gli assi e del sistema, otteniamo

(123)  

cioè, utilizzando (142),

(124)  

cioè

(125)  

dunque:

(126)  

dove è il verso normale ad ogni punto di ogni piano indefinito parallelo alla sorgente(piano indefinito carico). Introduciamo un sistema di riferimento come in figura 54.    

Figura 57: sistema di riferimento problema 22.

Il campo elettrico generato da una lastra indefinita è diretto perpendicolarmente rispetto al piano della lastra stessa; di conseguenza, scegliendo un sistema di riferimento come quello in figura 57, possiamo scrivere

(127)  

Notiamo inoltre che in figura 57 abbiamo tenuto conto del verso di orientamento del campo generato da ciascuna distribuzione: ricordiamo infatti che le linee di campo, per , saranno dirette in verso uscente dalla lastra, viceversa, se , esse saranno dirette in verso entrante. A questo punto, soffermiamoci ad analizzare cosa succede in ciascuna delle quattro regioni mostrate in figura 57. Per notiamo che i contributi delle lastre esterne saranno negativi mentre il contributo della lastra centrale sarà positivo. Di conseguenza, in questa regione avremo un campo

(128)  

dove gli indici relativi ai moduli dei campi elettrici sono i rispettivi delle distribuzioni di carica proposte dal testo. Utilizzando lo stesso procedimento, calcoliamo il campo nella regione di spazio . In questa zona, facendo riferimento alla figura 57, si ha

(129)  

Ripetiamo dunque lo stesso ragionamento per

(130)  

Infine per si ha

(131)  

Riassumiamo dunque di seguito i risultati ottenuti:

(132)  

dove è la distanza dal centro del disco e è il versore dell’asse di un sistema di riferimento con origine centrato nel centro del disco e con asse perpendicolare al disco stesso. Scegliendo un sistema di riferimento con origine nel centro del disco e asse orientato positivamente nel verso della carica ovvero la carica si trova nella posizione , si ha

(133)  

La sfera di sughero è sottoposta ad una forza di natura elettrostatica dovuta al campo elettrico prodotto dal disco. Inoltre, la pallina risentirà anche della forza peso e della tensione del filo che la tiene connessa al disco. Riportiamo di seguito uno schema che mostri le forze che agiscono sulla pallina all’equilibrio definendo un nuovo sistema di riferimento con origine nella posizione della pallina stessa    

Figura 59: diagramma delle forze agenti sulla pallina di sughero.

Per il secondo principio della dinamica, avremo

(134)  

dove, poichè all’equilibrio il corpo è in quiete, dovrà essere nulla. Si ottiene perciò

(135)  

Facendo riferimento alla figura 59, possiamo riscrivere la (135) nel seguente modo

(136)  

pertanto

(137)  

Sappiamo che questa espressione deve essere uguale al modulo della (133) in quanto entrambe esprimono il campo elettrico generato dal disco, cioè

(138)  

da cui possiamo ricavare l’espressione della distribuzione di carica

(139)  

A questo punto abbiamo che, per definizione, sarà uguale al rapporto tra la carica del disco e la superficie dello stesso, cioè

(140)  

Allora, sostituendo al posto della l’espressione trovata nella (139) e sfruttando il fatto che dalla trigonometria sappiamo che , avremo

(141)  

da cui, in definitiva, ricaviamo:

(142)  

dove è la distanza tra il centro del disco e particella . Dal momento che la carica dell’anello è positiva e la carica è negativa, nello scrivere la forza presente tra le due dobbiamo tenere conto del fatto che tale forza sarà attrattiva e dunque essa dovrà essere orientata negativamente rispetto all’asse . Avremo pertanto

(143)  

Dal secondo principio della dinamica sappiamo che

(144)  

da cui

(145)  

cioè

(146)  

Notiamo che la distanza e pertanto si ha dagli sviluppi di Taylor

(147)  

da cui

(148)  

Ricordiamo che la condizione necessaria e sufficiente affinché il moto di un corpo sia armonico e che sia descritto dalla seguente equazione differenziale del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti

(149)  

dove ovvero la pulsazione del moto armonico; confrontando (148) e (149) si può concludere che il moto del corpo è armonico e in particolare si ha

(150)  

dalla quale è possibile trovare il periodo:

(151)  

All’equilibrio, abbiamo

(152)  

da cui

(153)  

Dividendo entrambi i membri per troviamo il valore della carica

Troviamo inoltre che la carica della massa in funzione della carica :

(154)  

da cui

(155)  

Notiamo che, rispetto al campo elettrico iniziale, in questa nuova configurazione è aumentato. Facendo la differenza tra i due valori avremo:

• Esercizi su lavoro elettrico e potenziale elettrico.
• Esercizi sulla legge di Gauss.
• Esercizi sui conduttori, condensatori, dielettrici ed energia elettrostatica.
• Esercizi sulla corrente elettrica.
• Esercizi sul campo magnetico e forza magnetica.
• Esercizi sulle sorgenti di un campo magnetico e legge di Ampere.
• Esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo.
• Esercizi su oscillazione del campo elettrico e correnti alternate.
• Esercizi sulle onde elettromagnetiche.
• Esercizi sulla riflessione e rifrazione della luce.
• Esercizi sull’ ottica geometrica.
• Esercizi sull’ interferenza.
• Esercizi sulla diffrazione.
• Esercizi sulle proprietà corpuscolari e ondulatorie della materia.

 

Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.

• Cinematica del punto materiale.
• Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
• Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
• Moti relativi.
• Sistemi di punti materiali.
• Dinamica del corpo rigido.
• Urti .
• Gravitazione .
• Oscillazioni e onde.
• Meccanica dei fluidi.
• Onde meccaniche.
• Statica in meccanica classica.
• Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
• Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.

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