Esercizi sui circuiti elettrici e corrente elettrica

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I seguenti esercizi sui circuiti elettrici sono tratti dal libro “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. Questo lavoro ha lo scopo di fornire soluzioni chiare e dettagliate per il capitolo 5, che tratta delle correnti elettriche, con un focus particolare sulle leggi di Kirchhoff per i nodi e le maglie, e sui condensatori.

Pensato per gli studenti di ingegneria, fisica e matematica, questo materiale è progettato per supportare il corso di Fisica 2. Ogni esercizio è spiegato nel dettaglio, con l’obiettivo di facilitare la comprensione dei concetti fondamentali e delle loro applicazioni pratiche.

Nel nostro sito troverai una raccolta di esercizi accuratamente selezionati e spiegati in modo approfondito, per garantire che anche gli argomenti più complessi siano facilmente comprensibili. Che tu stia studiando per un esame, cercando di consolidare le tue conoscenze o esplorando il mondo delle correnti elettriche, questo sito è pensato per aiutarti in ogni fase del tuo percorso educativo.

Esplora gli esercizi, immergiti nelle spiegazioni dettagliate e scopri come le leggi di Kirchhoff e i principi dei condensatori si applicano in situazioni reali. Siamo qui per trasformare le tue sfide accademiche in opportunità di apprendimento e crescita.

Autori e revisori degli esercizi SU Esercizi sui circuiti elettrici e corrente elettrica

Mostra autori e revisori.

Autore: Valerio Brunetti

Revisore: Simone Romiti.

Testi degli esercizi sui circuiti elettrici/corrente elettrica

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una bacchetta di alluminio ( $\rho_{\text{Al}} = \text{2,7}\cdot10^{-8}\, \Omega \text{m}$ ) ha sezione quadrata di lato $a=5 mm$ . Calcolare quale deve essere il diametro $d$ di una bacchetta di rame ( $\rho_{\text{Cu}} = \text{1,7} \cdot 10^{-8} \, \Omega \text{m}$ ), a sezione circolare e di lunghezza uguale alla precedente, affinché le due bacchette abbiano la stessa resistenza.

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Figura 1: geometria del problema 1.

Svolgimento.

Il problema ci chiede di mettere a confronto due oggetti di materiale e forma diversa, affinché abbiano la stessa resistenza. Il primo è un parallelepipedo e il secondo un cilindro (vedi figura 1). Ricordiamo che nel caso particolare di un conduttore di altezza $h$ e sezione costante $S$ , la resistenza è legata alla resistività dalla seguente relazione:

(1) $\begin{equation*} R = \rho \, \frac{h}{S}. \end{equation*}$

Le aree delle sezioni sono

(2) $\begin{equation*} S_{\text{parallelepipedo}} = a^2 \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} S_{\text{cilindro}} = \pi r^2 , \end{equation*}$

dove $r$ è il raggio della sezione circolare.

Il problema ci dice che i due oggetti hanno la stessa altezza $h$ . Imponiamo, come richiesto, che le resistenze siano uguali usando la formula (1):

(4) $\begin{equation*} R_{\text{parallelepipedo}} = R_{\text{cilindro}}, \end{equation*}$

cioè:

(5) $\begin{equation*} \rho_{\text{Al}}\frac{h}{a^2} = \rho_{\text{Cu}} \frac{h}{\pi r^2} \,. \end{equation*}$

Semplificando $h$ e risolvendo rispetto ad $r$ troviamo

(6) $\begin{equation*} r = \sqrt{\frac{\rho_{\text{Cu}} a^2}{\pi \rho_{\text{Al}}}}. \end{equation*}$

Poiché il diametro di una circonferenza è il doppio del suo raggio, sostituendo i valori numerici otteniamo il risultato richiesto:

$\boxcolorato{fisica}{d = 2 \sqrt{\frac{\rho_{\text{Cu}} a^2}{\pi \rho_{\text{Al}}}} \approx \text{4,477} \cdot 10^{-3} \text{m}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un filo di rame ( $\rho = \text{1,7} \cdot 10^{-8}\,\Omega\,\text{m}$ ), di diametro $d=\text{2,5}\,\text{mm}$ , ricoperto di gomma secondo le norme di sicurezza vigenti, può trasportare una corrente $i=25 \,\text{A}$ .
Per tale corrente calcolare:

la densità di corrente $j$ ;
l’intensità del campo elettrico $E$ ;
la differenza di potenziale per un tratto di filo lungo $\ell = 200\, \text{m}$ ;
la potenza $\mathscr{P}$ dissipata nello stesso.

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Figura 2: geometria problema 2.

Svolgimento punto 1.

Il problema ci chiede di studiare un filo percorso da corrente. Poiché, per ipotesi, il filo è ricoperto di gomma (un materiale isolante), possiamo trascurare eventuali effetti dovuti al contatto con il materiale circostante, come l’aria o il terreno. Ricordiamo che per una corrente che scorre attraverso una superficie $S$ la corrente $i$ e la densità di corrente $\vec{j}$ sono legate dalla relazione:

(7) $\begin{equation*} i = \iint_S \vec{j} \cdot \hat{n}\, d\Sigma\, , \end{equation*}$

dove $\Sigma$ è una sezione del cilindro, $\hat{n}$ è il versore normale all’elemento infinitesimo di superficie $d\Sigma$ su cui andiamo ad integrare.

Nel nostro caso abbiamo a che fare con un filo che approssimiamo geometricamente con un cilindro molto lungo (vedi fig.2). Sia la sua sezione che la corrente sono costanti, quindi possiamo affermare che $\vec{J}$ è parallelo a $\hat{n}$ e ha lo stesso valore in tutti i punti di $\Sigma$ , pertanto:

(8) $\begin{equation*} i = j \iint_{\Sigma} d\Sigma = j \Sigma = j \pi r^2\, , \end{equation*}$

dove abbiamo usato che l’area di base di un cilindro è $\Sigma = \pi r^2$ , con $r=d/2$ .

Abbiamo dunque

$\boxcolorato{fisica}{j = \frac{i}{\pi r^2} \approx \text{5,1}\cdot 10^6 \, \frac{\text{A}}{\text{m}^2}.}$

Svolgimento punto 2.

L’intensità del campo elettrico è data dalla legge di Ohm della resistività elettrica:

(9) $\begin{equation*} \vec{j} = \frac{ \vec{E}}{\rho}, \end{equation*}$

dove $\rho$ è la resistività e $E$ è il campo elettrico, da cui considerando solo i moduli si ha

$\boxcolorato{fisica}{ E = \rho \, j \approx \text{0,0867}\, \frac{\text{V}}{\text{m}}.}$

Svolgimento punto 3.

La differenza di potenziale tra i capi del filo è data per definizione da

(10) $\begin{equation*} \Delta V = \int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{\ell}, \quad \end{equation*}$

dove $A$ è il punto iniziale e $B$ finale del conduttore.

Dal punto b del problema si deduce che $\vec{E}$ è costante in modulo direzione e verso, quindi:

$\boxcolorato{fisica}{\Delta V =\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{\ell}= \int_A^B E d\ell=E\int_A^B d\ell=E \ell \approx \text{17,34}\, \text{V}.}$

Svolgimento punto 4.

Dalla teoria sappiamo che la potenza è definita come

(11) $\begin{equation*} \mathscr{P}=\Delta V \,i, \end{equation*}$

dove $\Delta V$ è la differenza di potenziale ai capi del conduttore e $i$ è la corrente che lo attraversa.

Sostituendo i valori numerici abbiamo

$\boxcolorato{fisica}{\mathscr{P} = \Delta V \cdot i \approx 434 \, \text{Watt}.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un resistore è composto da due fili collegati in serie: il primo di rame ( $\rho_{\text{Cu}} = \text{1,7} \cdot 10^{-8} \, \Omega \text{m}$ ) è lungo $\ell_1 = 5 \,\text{m}$ e ha una sezione $\Sigma_1 = 2 \, \text{mm}^2$ ; il secondo di alluminio ( $\rho_{\text{Al}} = \text{2,7}\cdot 10^{-8} \,\Omega \text{m}$ ) è lungo $\ell_2 = 2 \,\text{m}$ e ha una sezione $\Sigma_2 = 1 \, \text{mm}^2$ . Ai capi del resistore è applicata una differenza di potenziale $\Delta V = \text{0,2} \, \text{V}$ .
Calcolare: