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Esercizi svolti sui conduttori, condensatori e dielettrici

Conduttori-Condensatori-Dielettrici ed energia elettrostatica

Home » Esercizi svolti sui conduttori, condensatori e dielettrici

Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sui conduttori, condensatori e dielettrici.
I seguenti esercizi svolti sui conduttori sono tratti dal libro Elementi di Fisica Elettromagnetismo e Onde di P. Mazzoldi, M. Nigro, e C. Voci. Lo scopo di questo lavoro è fornire soluzioni del capitolo 4 cercando di fornire delle soluzioni più chiare e dettagliate possibile.

Questi esercizi sono pensati per un corso di Fisica 2, rivolto agli studenti di ingegneria, fisica e matematica. La raccolta comprende 35 esercizi, ordinati per difficoltà crescente, che trattano argomenti fondamentali come conduttori, condensatori, dielettrici e circuiti. Ogni esercizio è risolto passo passo, con attenzione ai dettagli teorici e pratici, per favorire una comprensione completa dei concetti trattati.

Contenuti degli Esercizi sui Conduttori, condensatori e dielettrici

  • Conduttori: Esplorazione delle proprietà elettrostatiche dei conduttori, distribuzione delle cariche e potenziale elettrico.
  • Condensatori: Analisi delle capacità, configurazioni in serie e parallelo, e l’effetto dei dielettrici sui condensatori.
  • Dielettrici: Studio dei materiali dielettrici, polarizzazione e come influenzano i campi elettrici e le capacità dei condensatori.
  • Circuiti: Applicazione delle leggi di Kirchhoff, analisi di circuiti RC e RL, e la transizione da stati stazionari a transitori.
  • Energia Elettrostatica: Calcolo dell’energia immagazzinata nei campi elettrici e nei sistemi di condensatori.

Obiettivi degli esercizi sui condensatori ed energia elettrostatica

Attraverso la risoluzione degli esercizi, gli studenti saranno in grado di:

  • Applicare le leggi dell’elettromagnetismo a situazioni pratiche.
  • Sviluppare abilità di problem solving e pensiero critico.
  • Prepararsi efficacemente per esami e prove pratiche.

Struttura delle soluzioni degli esercizi sui conduttori, condensatori e dielettrici

Ogni soluzione è presentata con:

  • Descrizione del Problema: Introduzione al problema e ai concetti chiave.
  • Svolgimento Dettagliato: Passaggi risolutivi con spiegazioni teoriche e formule utilizzate.
  • Conclusioni: Riassunto dei risultati ottenuti e delle loro implicazioni.

 

Autori e revisori degli esercizi sui conduttori, condensatori dielettrici ed energia elettrostatica.

Leggi...

Autore: Valerio Brunetti.

Revisore: Silvia lombardi.


 
 

Testi degli esercizi su conduttori, condensatori, dielettrici ed energia elettrostatica

 

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un conduttore sferico, di raggio R_1=10\,\text{cm}, è concentrico ad un conduttore sferico cavo di raggio interno R_2=20\,\text{cm} e raggio esterno R_3=40\,\text{cm}. Una carica q=10^{-8}\,\text{C} è depositata sul conduttore interno. Calcolare:
 

  1. le cariche q_1,q_2 e q_3 presenti sulle tre superfici sferiche;
  2. il campo elettrico E(r) in funzione della distanza r dal centro O del sistema;
  3. la differenza di potenziale \Delta V tra i due conduttori;
  4. l’energia elettrostatica U_e del sistema.

 
 

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Figura 1: geometria esercizio 1.

Premessa.

Nel seguente esercizio, verranno proposti per il punto 4 due svolgimenti.

Svolgimento punto 1.

Abbiamo a che fare con conduttori elettrici, questo vuole dire che le cariche si posizioneranno tutte spontaneamente in prossimità della superficie esterna del conduttore, affinché si abbia campo elettrico nullo all’interno del conduttore. Il conduttore interno, inizialmente neutro, ottiene una carica q che spontaneamente si distribuisce sulla superficie esterna del conduttore. Per induzione elettrostatica una carica -q si sposta sulla superficie interna del conduttore cavo, tuttavia quest’ultimo è neutro quindi a sua volta si sposta una carica q sulla superficie esterna come in figura 2.    

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Figura 2: situazione fisica svolgimento 1.

    Quindi concludiamo che:

\[\boxcolorato{fisica}{\begin{cases} q_1=q\\ q_2=-q\\ q_3=q. \end{cases}}\]


Svolgimento punto 2.

Dalla teoria sappiamo che all’interno di un conduttore il campo elettrico deve essere nullo, quindi

(1) \begin{equation*} E(r)=0\,\dfrac{\text{N}}{\text{C}}\quad \text{se}\,\, \, 0<r<R_1 \,\, \, \vee \,\, \, R_2<r<R_3. \end{equation*}

Calcoliamo il campo elettrico: E(r) nello spazio vuoto tra i due conduttori applicando il teorema di Gauss. Scegliamo come superficie gaussiana una sfera di raggio r e centro O attraverso la quale calcoliamo il flusso del campo elettrico applicando il teorema di Gauss:

(2) \begin{equation*} \Phi_\Sigma(\vec{E}(r))=\iint_\Sigma \vec{E}\cdot\hat{n} d\Sigma=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}, \end{equation*}

dove \Sigma è la superficie Gaussiana e Q è la carica totale contenuta all’interno di essa. Dalla geometria del problema si intuisce che il campo elettrico è radiale, pertanto \hat{n} e \vec{E} sono paralleli e si ha

\[\vec{E}\cdot\hat{n}=E.\]

Osserviamo che il modulo del campo elettrico, per com’è definito, assume lo stesso valore su ogni punto di \Sigma e quindi possiamo portarlo fuori dall’integrale come segue

(3) \begin{equation*} \Phi_\Sigma(\vec{E}(r))=\iint_{\Sigma}E\,d\Sigma=E\iint_{\Sigma}\,d\Sigma={Q\over \varepsilon_0}, \end{equation*}

dove \iint_{\Sigma}\,d\Sigma rappresenta la superficie della sfera. Notiamo che per: r\in(R_1,R_2) si ha Q=q e per: r\in(R_3,+\infty) si ha Q=q_1+q_2+q_3=q-q+q=q, cioè:

(4) \begin{equation*} E\iint_{\Sigma}\,d\Sigma=E\left(4\pi r^2\right)={q\over \varepsilon_0} \quad \Leftrightarrow\quad E=\dfrac{q}{4\pi r^2}. \end{equation*}

Concludiamo che:

\[\boxcolorato{fisica}{E(r)=\begin{cases} 0\,\,\dfrac{\text{N}}{\text{C}} & \text{per \,\, \,\,\,\,} 0<r<R_1 \quad\vee\quad R_2<r<R_3 \\\\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2} & \text{per \,\, } R_1<r<R_2 \quad\vee\quad r>R_3. \end{cases}}\]


Svolgimento punto 3.

Utilizziamo il fatto che il campo elettrico è definito come

(5) \begin{equation*} E(r)=-{\text{d}V(r)\over \text{d}r}. \end{equation*}

Quest’ultima formula, se integrata, ci permette di ricavare una differenza di potenziale. Nello specifico vogliamo calcolare la differenza di potenziale elettrostatico tra i due condensatori, ovvero:

(6) \begin{align*} V(R_2)-V(R_1)&=-\int_{R_1}^{R_2}E(r)\text{d}r=-\int_{R_1}^{R_2}{q\over 4\pi\varepsilon_0r^2}\text{d}r\\ &={q\over 4\pi\varepsilon_0r}\bigg|_{R_1}^{R_2}={q\over 4\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_2}-{1\over R_1}\bigg). \end{align*}

Questa quantità è negativa, scegliamo di prendere la differenza di potenziale positiva come soluzione. Concludiamo con la seguente soluzione:

\[\boxcolorato{fisica}{\Delta V=V(R_1)-V(R_2)={q\over 4\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_1}-{1\over R_2}\bigg)=450\,\text{V}.}\]


Svolgimento punto 4 tramite la capacità del condensatore sferico.

Possiamo considerare il sistema come se fossimo in presenza di due condensatori sferici, uno di raggi R_1 e R_2 mentre l’altro di raggi: R_3 e R_4=\infty. L’energia elettrostatica di un condensatore è data da

(7) \begin{equation*} U_e={1\over 2}Q\Delta V, \end{equation*}

dove \Delta V è la differenza di potenziale elettrico tra le due armature del condensatore e Q è la carica sulle armature. Sfruttando i risultato del punto 3, e, tenendo conto che Q=q si può calcolare l’energia elettrostatica associata a questo condensatore come segue

(8) \begin{align*} U_{e,1}={1\over 2}Q\Delta V=\dfrac{q}{2}\left({q\over 4\pi\varepsilon_0}\right)\bigg({1\over R_1}-{1\over R_2}\bigg)={q^2\left(R_2-R_1\right)\over 8\pi\varepsilon_0R_1R_2}. \end{align*}

Nel caso del condensatore di raggi R_3 e R_4=\infty otteniamo

(9) \begin{equation*} U_{e,2}=\dfrac{1}{2}Q(V_3-V_{\infty}), \end{equation*}

dove Q=q,V_{\infty}=0V e V_3=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R_3}, da cui si ricava che

(10) \begin{equation*} U_{e,2}=\dfrac{1}{2}Q(V_3-V_{\infty})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R_3}\right)={q^2\over 8\pi\varepsilon_0R_3}. \end{equation*}

L’energia elettrostatica del sistema somma dei due condensatori sferici considerati è la somma delle loro energie elettrostatiche

(11) \begin{equation*} U_e=U_{e,1}+U_{e,2}={q^2\left(R_2-R_1\right)\over 8\pi\varepsilon_0R_1R_2}+{q^2\over 8\pi\varepsilon_0R_3}={q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_3}+{1\over R_1}-{1\over R_2}\bigg). \end{equation*}

Sostituendo i valori numerici si ha

\[\boxcolorato{fisica}{U_e={q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_3}-{1\over R_2}+{1\over R_1}\bigg)=\text{3,37}\cdot 10^{-6}\,\text{J}.}\]


Svolgimento punto 4 tramite l'energia associata al campo elettrico.

L’energia elettrostatica del sistema corrisponde al lavoro necessario per costruire la distribuzione di cariche che dà origine al campo elettrostatico e si ottiene integrando su tutto lo spazio in cui il campo elettrico non è nullo

(12) \begin{align*} U_e=\iiint_{\text{Tutto lo spazio}} {1\over 2}\varepsilon_0E^2(r)\text{dV}&\overset{\clubsuit}{=}{4\pi\varepsilon_0\over 2}\left(\int_{R_1}^{R_2}{q^2\over 16\pi^2\varepsilon_0^2 r^4}\ r^2\text{d}r+\int_{R_3}^{\infty}{q^2\over 16\pi^2 \varepsilon_0^2r^4}\,r^2\text{d}r\right)=\\ &={q^2\over8\pi\varepsilon_0}\bigg[-{1\over r}\bigg|_{R_1}^{R_2}-{1\over r}\bigg|_{R_3}^{\infty}\bigg]=\\ &={q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_3}-{1\over R_2}+{1\over R_1}\bigg), \end{align*}

dove in \clubsuit abbiamo usato il seguente fatto: dV=d\left(\dfrac{4}{3}\pi r^3\right)=4\pi r^2 dr. Concludiamo che:

\[\boxcolorato{fisica}{ U_e={q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_3}-{1\over R_2}+{1\over R_1}\bigg)=\text{3,37}\cdot 10^{-6}\,\text{J}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Partendo dalla condizione di equilibrio del problema 1, la sfera interna viene appoggiata sul fondo della cavità. Calcolare:
 

  1. le cariche q_1,q_2 e q_3 presenti sulle tre superfici sferiche;
  2. il campo elettrico E(r) in funzione della distanza r dal centro O del sistema;
  3. la differenza di potenziale \Delta V tra le due sfere;
  4. la variazione di energia elettrostatica \Delta U_e del sistema.

Premessa.

Anche in questo esercizio, per il punto 4 verranno proposte due soluzioni che utilizzano approcci differenti.

Svolgimento punto 1.

I due conduttori sono ora a contatto, possiamo considerarli quindi come un unico conduttore cavo. La carica q presente nel conduttore interno ora può disporsi liberamente su tutto il conduttore cavo portando il sistema ad un nuovo equilibrio elettrostatico. Per rispettare lo stato di conduttore in equilibrio elettrostatico la carica q del conduttore deve disporsi sulla superficie esterna, ovvero q_3=q. Per quanto riguarda la superficie interna del conduttore, essa deve essere priva di carica elettrica sempre per rispettare la condizione di conduttore in equilibrio elettrostatico, quindi q_1=q_2=0\,\text{C}.    

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Figura 3: geometria esercizio 2.


Svolgimento punto 2.

Il campo elettrico all’interno di un conduttore cavo è sempre nullo. All’esterno del condensatore invece possiamo utilizzare il teorema di Gauss prendendo una superficie gaussiana sferica di area 4\pi r^2, il campo elettrico è radiale quindi il suo flusso attraverso la superficie sferica è

(13) \begin{equation*} \Phi(\vec{E}(r))=E(r)4\pi r^2={q\over \varepsilon_0} \quad\Leftrightarrow \quad E(r)={q\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}, \end{equation*}

dove q è la carica del conduttore. Concludiamo che:

\[\boxcolorato{fisica}{E(r)=\begin{cases} 0 & \text{per \,\, } 0<r<R_3 \\\\ \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2} & \text{per \,\, } r>R_3. \end{cases}}\]


Svolgimento punto 3.

Le due sfere fanno parte di uno stesso conduttore cavo all’equilibrio elettrostatico che quindi possiede in ogni suo punto lo stesso potenziale elettrostatico, ovvero all’interno del conduttore cavo la differenza di potenziale è nulla

\[\boxcolorato{fisica}{ \Delta V=0\,\text{V}.}\]


Svolgimento punto 4 tramite le capacità del condensatore sferico.

Il conduttore cavo costituisce uno schermo elettrostatico perfetto tra spazio interno ed esterno, questo significa che esternamente possiamo considerare il conduttore come un condensatore sferico con una distanza infinita tra le armature. Abbiamo già calcolato l’energia elettrostatica di un condensatore sferico di raggi R_3 e R=\infty nell’esercizio precedente. Chiamiamo con A il sistema dell’esercizio precedente, mentre con B il sistema studiato in questo esercizio. L’energia del sistema, che è formato solo da questo condensatore sferico, è quindi

(14) \begin{equation*} U_e^B={q^2\over 8\pi\varepsilon_0 R_3}. \end{equation*}

Ne segue la variazione di energia elettrostatica \Delta U_e, ovvero l’opposto del lavoro necessario per mettere la sfera a contatto con il conduttore esterno

(15) \begin{equation*} \Delta U_e=U_e^B-U_e^A={q^2\over 8\pi\varepsilon_0 R_3}-{q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_3}-{1\over R_2}+{1\over R_1}\bigg)={q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_2}-{1\over R_1}\bigg), \end{equation*}

dove U_e^A è l’energia elettrostatica (11) data dal sistema A. Concludiamo con la seguente soluzione:

\[\boxcolorato{fisica}{ \Delta U_e={q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_2}-{1\over R_1}\bigg)=-\text{2,25}\cdot 10^{-6}\,\text{J}.}\]


Svolgimento punto 4 tramite l'energia associata al campo elettrico.

La variazione di energia del sistema è pari alla variazione di energia associata al campo elettrostatico. In questo sistema non abbiamo più campo elettrico interno al conduttore, mentre nel sistema iniziale (quello dell’esercizio precedente) abbiamo un campo elettrico sia tra le armature del condensatore sferico che esternamente. Chiamiamo con A il sistema dell’esercizio precedente mentre con B il sistema studiato in questo esercizio, allora

(16) \begin{equation*} \Delta U_e=U_{E,\text{esterno}}^B-U_{E,\text{esterno}}^A-U_{E,\text{interno}}^A, \end{equation*}

dove U_E indica l’energia associata al campo elettrico. Siccome i campi elettrici all’esterno sono uguali per entrambi i sistemi, sono uguali anche le loro energie U_{E,\text{esterno}}^B=U_{E,\text{esterno}}^A. Abbiamo quindi solamente un’energia da calcolare nel sistema dell’esercizio precedente ovvero l’energia interna del condensatore di raggio R_1 e R_2 avente carica q sulle proprie armature. Abbiamo dunque

(17) \begin{align*} \Delta U_e=-U_{E,\text{Interno}}^B=-{1\over 2}\varepsilon_0\int_{\text{Interno}}E^2(r)\text{d}V&=-{1\over 2}4\pi\varepsilon_0\int_{R_1}^{R_2}\left({q^2\over 16\pi^2\varepsilon_0^2r^4}\right)r^2\text{d}r=\\ &={q^2\over 8\pi\varepsilon_0r}\bigg|_{R_1}^{R_2}={q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_2}-{1\over R_1}\bigg). \end{align*}

Concludiamo dunque

\[\boxcolorato{fisica}{ \Delta U_e={q^2\over 8\pi\varepsilon_0}\bigg({1\over R_2}-{1\over R_1}\bigg)=-\text{2,25}\cdot 10^{-6}\,\text{J}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Partendo dalla condizione di equilibrio del problema 1 una carica q^*=-3\cdot 10^{-8}\,\text{C} viene depositata sulla superficie del conduttore cavo. Calcolare:
 

  1. le cariche q_1,q_2 e q_3 presenti sulle tre superfici sferiche;
  2. il campo elettrico E(r) in funzione della distanza r dal centro O del sistema;
  3. la differenza di potenziale \Delta V tra le due sfere;
  4. la variazione di energia elettrostatica \Delta U_e del sistema.

Premessa.

Nel seguente esercizio, per il punto 4, verranno proposte due soluzioni che sono basate su differenti approcci.

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