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Moto elicoidale e riduzione al moto circolare

Campo magnetico-Forza magnetica

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Sommario

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In questo breve articolo studiamo il moto di una particella di massa m e carica q in un campo magnetico \vec B. Partendo dal caso generale, analizziamo dapprima il moto elicoidale e, come caso particolare, il moto circolare uniforme. Successivamente, la stessa situazione fisica viene trattata anche nel formalismo lagrangiano. Il materiale è pensato come supporto didattico per studenti di un corso di Fisica II.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

 
 

Introduzione

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Consideriamo una particella di massa m e carica q, descritta dalla posizione \vec r(t) e dalla velocità

\[ \vec v(t)=\dot{\vec r}(t). \]

Supponiamo che agisca soltanto un campo magnetico (nessun campo elettrico), in generale variabile nello spazio e nel tempo,

\[ \vec B=\vec B(\vec r,t), \]

cosicché la forza agente è la forza di Lorentz magnetica

\[ \vec F = q\,\vec v\times \vec B, \]

e la dinamica è data dalla seconda legge di Newton

(1) \begin{equation*} m\,\dot{\vec v}=q\,\vec v\times\vec B(\vec r,t). \end{equation*}

Vogliamo prima mostrare che il modulo della velocità si conserva. Sia

\[ T(t)=\frac12 m\,|\vec v(t)|^2 \]

l’energia cinetica. Il teorema lavoro–energia nella forma differenziale dice

\[ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=\vec F\cdot\vec v \]

Sostituendo \vec F=q\,\vec v\times\vec B si ottiene

\[ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = q\,(\vec v\times\vec B)\cdot\vec v =0, \]

perché \vec v\times\vec B è sempre perpendicolare a \vec v. Dunque T è costante e quindi anche |\vec v| è costante. Indicando con V tale modulo,

(2) \begin{equation*} V:=|\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}=\text{costante}. \end{equation*}

Questo risultato vale per qualunque \vec B(\vec r,t): non richiede che il campo sia uniforme o costante, ma solo la perpendicolarità della forza magnetica rispetto alla velocità.


 
 

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