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Esercizi sulla forza di Lorentz e campo magnetico

Campo magnetico-Forza magnetica

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I seguenti esercizi svolti sulla forza di Lorentz sono tratti dal libro “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. Lo scopo di questo lavoro è fornire soluzioni del capitolo 6 cercando di essere il più chiari e dettagliati possibile.

Questa raccolta di 28 esercizi è stata pensata specificamente per studenti di Fisica 2 nei corsi di Ingegneria, Fisica e Matematica. Attraverso questi esercizi, ci proponiamo di consolidare la comprensione della Forza di Lorentz e del Campo Magnetico, argomenti fondamentali in elettromagnetismo.

Ogni esercizio è stato scelto con cura per coprire una vasta gamma di situazioni e applicazioni pratiche, in modo da preparare gli studenti ad affrontare problemi complessi e reali. Le soluzioni sono presentate passo dopo passo, con spiegazioni dettagliate e commenti approfonditi per garantire una piena comprensione dei concetti sottostanti.

Accedendo a questo articolo, avrete l’opportunità di esplorare e risolvere problemi che spaziano dai fondamenti teorici alle applicazioni pratiche più avanzate. Siamo certi che questo materiale didattico sarà un prezioso alleato nel vostro percorso di studi, aiutandovi a padroneggiare i concetti chiave dell’elettromagnetismo.

 

Autori e revisori sugli esercizi sulla forza di Lorentz

Mostra autori e revisori.

Autore: Valerio Brunetti  

Revisore: Patrizio Di Lorenzo.  


 

Testi degli esercizi sulla forza di Lorentz e campo magnetico

 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un protone con energia cinetica E_k=6 \,\text{MeV} entra in una regione di spazio in cui esiste un campo magnetico B = 1 \ T ortogonale al piano della traiettoria, formando con l’asse y l’angolo \theta=30^{\circ}.
Calcolare:
 

  1. l’angolo \theta' della direzione di uscita con l’asse y;
  2. la distanza lungo y tra il punto di uscita e il punto di ingresso.

 

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto 1.

Si osserva che al protone è applicato un campo magnetico costante perpendicolare alla velocità; la particella sarà dunque sottoposta a una forza di Lorentz pari a:

(1) \begin{equation*} \vec{F}=q\, \vec{v}\wedge \vec{B}, \end{equation*}

dove nel nostro caso q=e. Com’è noto dalla teoria, in questa situazione (quando \vec{v} e \vec{B} sono ortogonali, il punto materiale si muove di moto circolare uniforme; altrimenti, si muoverebbe di moto elicoidale), tale forza è sempre diretta istante per istante verso lo stesso punto lungo l’intero cammino e pertanto agisce come forza centripeta. Di conseguenza, il protone si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio r. Il protone percorre dunque un arco di circonferenza, come rappresentato in figura 2.    

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Figura 2: dettaglio situazione iniziale e finale.

   

Dalla figura 2 deduciamo che

(2) \begin{equation*} \theta+60^\circ=\theta^\prime+60^\circ=90^\circ \quad \Leftrightarrow\quad \theta=\theta^\prime, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il fatto che l’angolo tra il vettore velocità e il raggio della traiettoria è retto. Concludiamo dunque che l’angolo \theta^\prime è:

\[\boxcolorato{fisica}{\theta^\prime=\theta=30^\circ.}\]


Svolgimento punto 2.

Per quanto riguarda il punto 2 del problema, conoscendo l’energia cinetica E_k, si può ricavare la velocità finale della particella, dove m_p è la massa del protone:

(3) \begin{equation*} E_k=\dfrac{1}{2}m_pv_f^2\quad \Leftrightarrow\quad v_f=\sqrt{\dfrac{2E_k}{m_p}}, \end{equation*}

Dalla seconda legge della dinamica si ha

(4) \begin{equation*} m_pa_c=ev_fB, \end{equation*}

dove a_c=\dfrac{v^2_f}{r} è l’accelerazione centripeta e r il raggio della circonferenza.

Abbiamo dunque:

(5) \begin{equation*} m_p\dfrac{v_f^2}{r}=e\,v_f\,B\quad \Leftrightarrow\quad m_p\frac{v_f}{r}=eB\quad \Leftrightarrow\quad r=\frac{mv_f}{eB}=\frac{m}{eB}\sqrt{\dfrac{2E_k}{m_p}}. \end{equation*}

Consideriamo ora la figura 3.

 

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Figura 3.

   

Dalla figura 3 deduciamo che il triangolo ABC è isoscele, quindi

(6) \begin{equation*} \dfrac{d}{2}=r\cos\left(60^\circ\right)=\dfrac{r}{2}\quad \Leftrightarrow\quad d=r, \end{equation*}

che sostituendo i valori numerici ci da

\[\boxcolorato{fisica}{d\approx\text{0,355 m}.}\]


 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un protone di energia cinetica E_k=50 \,\text{MeV} si muove lungo l’asse x ed entra in un campo magnetico B=\text{0,5 T}, ortogonale al piano xy, che si estende da x=0\,\text{m} a x=L=1 \, \text{m}.
Calcolare all’uscita dal magnete nel punto P:
 

  1. l’angolo \alpha che la velocità del protone forma con l’asse x;
  2. la coordinata y del punto P.

 

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Figura 4: dettaglio schema esercizio 2.

Svolgimento punto 1.

Dalla teoria si sa che la particella è soggetta alla forza di Lorentz, la quale è sempre perpendicolare al piano individuato da \vec v e \vec B. Pertanto, come nel caso del problema 1, anche qui si deduce che il protone si muove di moto circolare uniforme e che percorre un arco di circonferenza; con un procedimento del tutto analogo si può trovare il modulo della velocità del protone e il raggio della traiettoria circolare a partire dall’equazione dell’energia cinetica. Si trova quindi:

(7) \begin{equation*} E_k=\frac{1}{2}m_pv^2 \quad \Leftrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2E_k}{m_p}}\approx\text{9,8}\cdot10^7 \,{\text{m}}\cdot{\text{s}}^{-1}, \end{equation*}

dove v è la velocità iniziale che poi rimarrà in modulo la stessa durante tutto l’arco di circonferenza perché il moto è circolare uniforme. Ricordando che l’accelerazione in questo caso è centripeta, si ricava:

(8) \begin{equation*} m_p\frac{v^2}{r}=evB \quad \Leftrightarrow\quad r=\frac{m_pv^2}{evB}=\frac{m_pv}{eB}\approx\text{2,046} \, \text{m}. \end{equation*}

A questo punto si osserva che, dal momento che la forza di Lorentz è sempre ortogonale alla velocità del protone, essa sarà sempre diretta verso il centro della circonferenza che descrive il moto. In particolare, se si osserva ciò che accade nell’origine degli assi è facile accorgersi con la regola della mano destra che la forza è orientata lungo l’asse y e che pertanto il centro del moto debba anch’esso appartenere all’asse delle ordinate (in particolare dovrà stare sul semiasse negativo). Sia esso indicato con C, si riporta in figura 5 una rappresentazione schematica del problema.

   

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Figura 5: rappresentazione della geometria del problema.

   

Si può così ricavare il valore dell’angolo \theta da semplici considerazioni trigonometriche:

(9) \begin{equation*} \cos\theta=\frac{L}{r}\quad \Leftrightarrow\quad \theta=\text{arcos}\left(\frac{L}{r}\right)\approx 60^{\circ}. \end{equation*}

Dal momento che in un moto circolare uniforme la velocità è tangente alla traiettoria, essa formerà un angolo retto con il prolungamento del raggio r e quindi, sfruttando le proprietà degli angoli opposti al vertice, è possibile ricavare \alpha:

\[\boxcolorato{fisica}{\alpha=90^{\circ}-\theta\approx30^{\circ}.}\]


Svolgimento punto 2.

Per la risoluzione di questo punto è bene notare che il modulo dell’ordinata del protone non è altro che la differenza tra la lunghezza del raggio e la proiezione di r stesso sull’asse y.

In questo modo si avrà:

\[\boxcolorato{fisica}{y_p=-\lvert r-r\sin\theta\rvert\approx \text{-0,274} \ \text{m}.}\]

Alternativamente, ricordando che il moto del protone avviene su una circonferenza, si può scrivere l’equazione del moto (equazione di una circonferenza di centro C e raggio r):

\[(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2\quad \Leftrightarrow \quad x^2+(y+r)^2=r^2,\]

dove sono state usate le coordinate del centro C(0,-r).

Si ottiene quindi l’equazione del moto della particella e si può trovare y_p:

\[\quad y=\sqrt{r^2-x^2}-r\quad \Leftrightarrow\quad y_p=y(L)=\sqrt{r^2-L^2}-r.\]


 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un fascio di protoni, accelerato da una d.d.p. V=7 \ \text{MV}, deve essere curvato di 90^{\circ}. Se la curvatura deve avvenire in un tratto di lunghezza \ell=\text{1,5} \, \text{m}, calcolare il valore del campo magnetico B necessario.

 
 

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Figura 6: dettaglio schema esercizio 3.

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