Revisore: Patrizio Di Lorenzo.  

Si osserva che al protone è applicato un campo magnetico costante perpendicolare alla velocità; la particella sarà dunque sottoposta a una forza di Lorentz pari a:

(1)  

dove nel nostro caso . Com’è noto dalla teoria, in questa situazione (quando e sono ortogonali, il punto materiale si muove di moto circolare uniforme; altrimenti, si muoverebbe di moto elicoidale), tale forza è sempre diretta istante per istante verso lo stesso punto lungo l’intero cammino e pertanto agisce come forza centripeta. Di conseguenza, il protone si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza di raggio . Il protone percorre dunque un arco di circonferenza, come rappresentato in figura 2.    

Figura 2: dettaglio situazione iniziale e finale.

Dalla figura 2 deduciamo che

(2)  

dove abbiamo sfruttato il fatto che l’angolo tra il vettore velocità e il raggio della traiettoria è retto. Concludiamo dunque che l’angolo è:

(3)  

Dalla seconda legge della dinamica si ha

(4)  

dove è l’accelerazione centripeta e il raggio della circonferenza.

Abbiamo dunque:

(5)  

Consideriamo ora la figura 3.

Dalla figura 3 deduciamo che il triangolo è isoscele, quindi

(6)  

che sostituendo i valori numerici ci da

Dalla teoria si sa che la particella è soggetta alla forza di Lorentz, la quale è sempre perpendicolare al piano individuato da e . Pertanto, come nel caso del problema 1, anche qui si deduce che il protone si muove di moto circolare uniforme e che percorre un arco di circonferenza; con un procedimento del tutto analogo si può trovare il modulo della velocità del protone e il raggio della traiettoria circolare a partire dall’equazione dell’energia cinetica. Si trova quindi:

(7)  

dove è la velocità iniziale che poi rimarrà in modulo la stessa durante tutto l’arco di circonferenza perché il moto è circolare uniforme. Ricordando che l’accelerazione in questo caso è centripeta, si ricava:

(8)  

A questo punto si osserva che, dal momento che la forza di Lorentz è sempre ortogonale alla velocità del protone, essa sarà sempre diretta verso il centro della circonferenza che descrive il moto. In particolare, se si osserva ciò che accade nell’origine degli assi è facile accorgersi con la regola della mano destra che la forza è orientata lungo l’asse e che pertanto il centro del moto debba anch’esso appartenere all’asse delle ordinate (in particolare dovrà stare sul semiasse negativo). Sia esso indicato con , si riporta in figura 5 una rappresentazione schematica del problema.

Figura 5: rappresentazione della geometria del problema.

Si può così ricavare il valore dell’angolo da semplici considerazioni trigonometriche:

(9)  

Dal momento che in un moto circolare uniforme la velocità è tangente alla traiettoria, essa formerà un angolo retto con il prolungamento del raggio e quindi, sfruttando le proprietà degli angoli opposti al vertice, è possibile ricavare :

Per la risoluzione di questo punto è bene notare che il modulo dell’ordinata del protone non è altro che la differenza tra la lunghezza del raggio e la proiezione di stesso sull’asse .

In questo modo si avrà:

Alternativamente, ricordando che il moto del protone avviene su una circonferenza, si può scrivere l’equazione del moto (equazione di una circonferenza di centro e raggio ):

dove sono state usate le coordinate del centro .

Si ottiene quindi l’equazione del moto della particella e si può trovare :

Innanzitutto, è bene notare che non si commette alcun errore se, anzichè considerare un fascio di protoni, si risolve il problema considerando un solo protone: infatti il campo magnetico è una proprietà della regione in cui esso manifesta e pertanto agirà su ogni particella allo stesso modo indipendentemente dal numero di protoni che lo attraversano. Dalla teoria sappiamo che

(10)  

dove e sono rispettivamente l’energia cinetica iniziale e finale dell’elettrone. La particella ha velocità iniziale nulla, quindi , e pertanto si ha

(11)  

Il fascio di particelle è soggetto alla forza di Lorentz la cui espressione è , dunque, essendo il campo magnetico e la velocità perpendicolari tra loro, per la regola della mano destra sappiamo che la forza sarà ortogonale istante per istante al piano individuato da e e pertanto agirà come una forza centripeta. Il risultato è che il protone si muoverà di moto circolare uniforme. Il testo del problema suggerisce che la curvatura del fascio deve avvenire in un tratto di lunghezza , dunque poiché la traiettoria deve essere una circonferenza, il valore di non può che coincidere con il raggio. Pertanto si avrà . In figura 7 viene schematizzato il moto della particella, dove viene rappresentata la fisica del problema e viene mostrato come la circonferenza lungo cui si muove il protone abbia raggio .

Figura 7: moto degli elettroni.

Essendo la forza di Lorentz una forza centripeta, l’accelerazione che subisce il protone è uguale ad .

Applicando il secondo principio della dinamica, si ottiene:

(12)  

Il moto del corpo è circolare uniforme e quindi applicando il 2 principio della dinamica si ha

(13)  

che è proprio il raggio di curvatura cercato e sostituendo a il valore di ottenuto nella (12), si ottiene:

Una volta ottenuto il raggio, si può trovare la deviazione richiesta mediante considerazioni di carattere geometrico.

Figura 9: traiettoria dell’elettrone.

Si può notare dalla figura 9 come sia in realtà la differenza tra il raggio di curvatura e la proiezione di sull’asse verticale. Applicando semplicemente il teorema di Pitagora per trovare quest’ultima si può ricavare la deviazione :

Di fronte a problemi di questo tipo è spesso utile procedere partendo dall’analisi del moto di un protone. Nel caso del protone, si dispone di tutti i dati per trovare l’espressione per la velocità della particella sfruttando la definizione di energia cinetica; si noti che, dal momento che la sua traiettoria è un’orbita circolare (moto circolare uniforme, dove la velocità cambierà direzione a ogni istante, ma resterà sempre costante in modulo), il modulo della velocità resterà invariato lungo tutta la circonferenza. Si avrà dunque:

(14)  

Inoltre, come è già stato fatto in altri problemi con una situazione fisica simile, è possibile applicare il secondo principio della dinamica, ricordando che l’unica forza che agisce sul sistema è la forza di Lorentz e che pertanto (da notare che la funzione logica della parola “pertanto” in questo caso non è banale). Infatti, mentre in altri esempi di problemi simili a questo la conclusione che la forza di Lorentz sia una forza centripeta scaturiva da considerazioni di carattere geometrico, in questo caso basta il vincolo di moto circolare posto dal testo per affermare ciò. Infatti, se la forza di Lorentz è l’unica ad agire sul sistema ed esso si muove di moto circolare, allora necessariamente essa deve essere la forza centripeta che causa il moto) essa sarà una forza centripeta. Si avrà dunque:

(15)  

A questo punto il problema ci dice che il protone e il deutone devono compiere la stessa orbita, quindi scaturisce che , dove con si indica il raggio del moto del deutone. Si può sfruttare questo risultato facendo uso dell’espressione (??). Sia la velocità del deutone, si avrà:

(16)  

dove, come suggerisce il testo, è stata usata la relazione . Da qui, utilizzando la (14), si trova

(17)  

Una volta trovato si può dunque trovare l’energia cinetica del deutone utilizzando la definizione come era stato fatto all’inizio per il protone. Si avrà dunque:

(18)  

cioè

(19)  

Il testo del problema suggerisce che il campo elettrico e il campo magnetico siano perpendicolari, tuttavia non dice nulla riguardo all’orientamento di . Ragioniamo dunque sulle forze in gioco in questo problema: quando gli elettroni vengono immessi nella regione considerata, essi sono sottoposti a una forza elettrostatica dovuta alla presenza del campo elettrico che li deflette (facendo riferimento alla figura 12, li spinge verso il basso). Dal momento che il problema richiede che la deflessione venga eliminata, il campo elettrico dovrà agire in maniera tale da produrre una forza che si opponga a tale deflessione. Di seguito in figura 12 si riporta uno schema che rappresenta chiaramente la situazione.

Figura 12: diagramma delle forze.

La forza rappresentata in figura è la forza di Lorentz, la quale ha equazione:

(20)  

Si verifica facilmente con la regola della mano destra che il campo magnetico deve avere verso entrante (vedere figura 11) per esercitare sulla particella una forza come quella in figura 12. Chiaramente questo è un risultato dettato dalla scelta del verso di ; se l’elettrone si fosse mosso nel verso contrario, allora il campo magnetico sarebbe dovuto essere orientato nel verso opposto (uscente dal foglio).

La condizione affinché gli elettroni non vengano deflessi è che la forza di Lorentz e la forza elettrostatica si bilancino; si imposta quindi l’equazione vettoriale

(21)  

Dunque, ricordando che la forza elettrostatica ha equazione , si avrà

(22)  

Passando ai moduli, si ottiene

(23)  

da cui sostituendo i valori numerici, si hai

Per risolvere il problema risulta utile schematizzare la situazione fisica proposta. Dal testo si nota che il campo elettrico ha solo componenti lungo l’asse e lungo l’asse , pertanto il vettore giace nel piano . Inoltre, si nota che le due componenti del campo sono positive e uguali in modulo, il che suggerisce che il vettore formi un angolo di con l’asse (basta notare che il rapporto , che per ragioni trigonometriche è uguale alla tangente dell’angolo che forma con l’asse . Di conseguenza, . Analogamente, valgono le stesse considerazioni per il campo , il quale però giace sul piano .    

Figura 13: rappresentazione del campo elettrico e del campo magnetico nel sistema .

Per capire meglio la geometria del problema si riporta in figura 14 una rappresentazione che permette di analizzare i due campi separatamente.

Figura 14: rappresentazione dei vettori campo elettrico e campo magnetico.

La particella risente sia della forza elettrostatica che della forza di Lorentz dovuta al campo magnetico. Iniziamo dal calcolo di quest’ultima servendoci della legge di Lorentz:

(24)  

Procediamo dunque costruendo la matrice (si noti che il termine matrice non è esatto dal punto di vista matematico in quanto gli elementi di una matrice sono degli scalari, non dei versori, come avverrà in questo caso. A ogni modo, per fare il prodotto vettoriale si scrivono i versori sulla prima riga, le componenti del primo vettore sulla seconda riga e quelle del terzo sulla terza, dopodiché si calcola il determinante con le regole del calcolo matriciale) per il prodotto vettoriale e calcolandone il determinante.

(25)  

Il calcolo viene svolto mediante lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga:

(26)  

da cui

(27)  

A questo punto si può utilizzare l’equazione 24 ricordando che nel caso dell’elettrone si ha (dove viene preso positivo ed è uguale a ). La forza dovuta al campo magnetico sarà pertanto:

Per quanto riguarda la forza elettrostatica è possibile sfruttare la definizione di campo elettrico per risalire alla forza che esso esercita sulla particella. Si ha infatti:

da cui, conoscendo le componenti di , si può scrivere:

Conoscendo ora l’espressione di entrambe le forze agenti sull’elettrone è possibile trovare la forza risultante, che sarà semplicemente uguale alla somma vettoriale delle due. Si indichi tale forza con , si scrive:

(28)  

ossia

(29)  

da cui

Nella figura sottostante rappresentiamo la forza .    

Figura 15: rappresentazione forza F.

(30)  

Applicando la formula per la derivata del prodotto si ottiene

(31)  

Essendo la forza costante nel tempo, il primo termine della somma sarà nullo. Per quanto riguarda invece il secondo addendo si nota che il termine altro non è che la velocità con cui si muove la particella. Si avrà dunque:

(32)  

Risulta quindi

Per la soluzione di questo punto è necessario notare che particelle cariche accelerate da una differenza di potenziale hanno come variazione di energia potenziale

(33)  

dove nel nostro caso .

Dal momento che i due isotopi hanno la stessa carica e vengono accelerati dalla stessa d.d.p, si deduce dalla (33) che . A questo punto, per la il teorema dell’energia lavoro, si avrà che tutta l’energia potenziale posseduta dagli ioni verrà trasformata in energia cinetica. Ci si aspetta che, essendo uguali le due energie potenziali, saranno uguali anche le energie cinetiche dei due isotopi. Si ottiene pertanto:

Dal punto precedente si è visto come l’energia potenziale si trasformi completamente in energia cinetica. Risulta utile dunque sfruttare quest’uguaglianza ricordando che l’energia cinetica è definita come , dove è la massa della particella e è la sua velocità. Si ottiene quindi

(34)  

Per ricavare la massa di ciascun isotopo, si può ragionare sul significato fisico della quantità : essa corrisponde alla massa contenuta in un’unità atomica, dunque per ottenere la massa totale dell’isotopo che si sta considerando si deve moltiplicare per il numero di unità, ossia . Si ottiene per cui:

(35)  

Si può dunque sostituire questo risultato nella (34) e ottenere così:

(36)  

Si trova quindi:

(37)  

Sostituendo i dati con i valori numerici si ottiene:

Figura 17: in figura viene mostrata l’azione della forza di Lorentz su uno ione lungo la sua traiettoria.

Il fatto che la forza di Lorentz sia centripeta implica che l’accelerazione che imprime allo ione sia anch’essa centripeta, pertanto è , dove con si indica il raggio della circonferenza lungo la quale avviene il moto. Ragionando sulla situazione rappresentata in figura 17 è naturale accorgersi che debba essere maggiore di zero; infatti, poiché si è visto dalla risoluzione del punto 2 che le velocità dei due isotopi sono diverse, essi percorreranno diverse traiettorie, a cui corrisponderanno diversi raggi. La cercata sarà la differenza tra i diametri delle due circonferenze.

Si procede sfruttando il secondo principio della dinamica per entrambi gli ioni:

(38)  

Una volta trovati i raggi delle semicirconferenze sarà dunque possibile calcolare la come la differenza tra i due diametri. Si avrà quindi:

Prima di entrare nella regione dove è presente campo magnetico gli elettroni vengono sottoposti ad una differenza di potenziale costante e pertanto applicando il teorema dell’energia cinetica si ottiene

(39)  

che è la velocità prima di entrare nella regione dov’è presente il campo magnetico.

Scegliamo un sistema di riferimento fisso orientato come in figura 19.

Figura 19 : Proiezione del vettore velocità sugli assi.

In questo problema il vettore velocità e il vettore campo magnetico sono perpendicolari tra loro quindi il moto degli elettroni è elicoidale ovvero la composizione di un moto circolare uniforme giacente nel piano perpendicolare al vettore e rettilineo uniforme in direnzione dell’asse delle . Calcoliamo il prodotto vettoriale tra campo magnetico e velocità .

Abbiamo dunque

(40)  

Da questo risultato è possibile trovare l’espressione della forza di Lorentz, ossia

(41)  

L’unica forza presente applicata agli elettroni è la forza di Lorentz, la quale, essendo ortogonale istante per istante alla componente verticale della velocità, ne cambierà la direzione in ogni punto. La particella si muoverà dunque di moto circolare uniforme con velocità tangenziale e siccome non sono presenti forze lungo l’asse delle il moto della particella sarà rettilineo uniforme con velocità . In figura 21 rappresentiamo il moto degli elettroni che si muovono di moto elicoidale.

Figura 20: Moto elicoidale dell’elettrone. Il tragitto orizzontale percorso in un periodo si dice passo.

Ricordando che la forza di Lorentz in questo caso è una forza centripeta e quindi sfruttando il secondo principio della dinamica si ottiene

(42)  

dove è il raggio della circonferenza del moto circolare.

Concludiamo dunque

Il passo dell’elica è la distanza che l’elettrone percorre orizzontalmente in un periodo per fare un moto circolare uniforme completo. Per capire meglio, si guardi la figura 20: il passo non è altro che lo spostamento lungo l’asse dell’elettrone in un periodo .

Nel caso che stiamo analizzando, il modulo della velocità del moto circolare è e pertanto (ricordiamo che un punto materiale che si muove di moto circolare uniforme ha periodo

(43)  

dove in è stata effettuata la sostituzione .

(44)  

Sappiamo che lungo l’asse delle abbiamo un moto rettilineo uniforme con legge oraria

(45)  

e imponendo si trova la distanza percorsa in un periodo, ossia il passo dell’elica è:

(46)  

Il calcolo del prodotto vettoriale viene riportato di seguito:

(47)  

da cui risulta

(48)  

lo ione percorre una traiettoria rettilinea nella regione di spazio in cui è presente sia il campo elettrico che il campo magnetico. Affinchè ciò avvenga è necessario che le forze che agiscono su di esso non siano in grado di cambiarne la direzione. La presenza del campo suggerisce che il corpo sia soggetto a una forza elettrostatica che abbia la stessa direzione e lo stesso verso del campo elettrico; la presenza del campo magnetico ortogonale al vettore velocità suggerisce invece che sulla particella agisca la forza di Lorentz, descritta dall’equazione . Si noti che, sebbene il testo non lo dica esplicitamente, la regola della mano destra (si provi a svolgere lo stesso problema ipotizzando che il campo magnetico sia uscente: si troverà che la forza di Lorentz si sommerà vettorialmente alla forza elettrostatica dando contributo positivo. In questo modo lo ione devierebbe dalla sua traiettoria rettilinea) impone che il campo magnetico sia entrante affinché la forza di Lorentz possa bilanciare la forza elettrostatica in modo da preservare la direzione del vettore velocità. Dal momento che le forze appena descritte sono le sole agenti sullo ione, dovrà essere:

(49)  

ossia, passando alle componenti (in quest’ultimo passaggio eguagliare le componenti equivale ad eguagliare i moduli delle due forze in quanto entrambe agiscono esclusivamente lungo la stessa direzione orizzontale nel sistema di riferimento mostrato in figura 22):

(50)  

Per capire meglio quello che sta succedendo è utile rappresentare il diagramma delle forze agenti sulla particella in un sistema di riferimento opportunamente scelto come in figura 22.

Figura 22: diagramma delle forze agenti sullo ione.

Abbiamo dunque

Figura 23: rappresentazione di e nel nuovo sistema di riferimento .

Mediante un procedimento del tutto analogo a quello del problema 9, si deduce che in questo nuovo sistema di riferimento la componente verticale della velocità è responsabile per la presenza della forza di Lorentz (con verso entrante), la quale dà origine a un moto circolare uniforme agendo da forza centripeta. Lungo la direzione orizzontale invece la particella si muoverà di moto rettilineo uniforme con velocità . La composizione dei due moti dà origine a un moto elicoidale descritto dalle seguenti equazioni:

(51)  

dove è la massa dello ione.

In particolare, il testo del problema richiede che al tempo lo ione abbia percorso una distanza lungo l’asse , dunque sfruttando (51) si può scrivere:

(52)  

dove è lo spazio percorso sulla circonferenza, è il tempo impiegato per fare tale percorso e è il modulo della velocità tangenziale.

Sappiamo dal testo del problema che la particella si muove per un certo tempo compiendo un numero di giri . Lo spazio da essa percorsa sarà dunque pari a circonferenze di raggio ; è dunque possibile scrivere

che sostituito in (51) ci da il valore del campo magnetico:

Il punto di partenza per risolvere questo problema consiste nel comprendere quali siano le diverse fasi del moto del protone. Al tempo si ha che la particella esce dalla griglia con velocità normale rispetto alla superficie della griglia; in questa regione non è più presente alcun campo magnetico, tuttavia si ha una d.d.p che accelera il protone fino alla griglia . Poichè il problema dice che le due griglie sono tra loro parallele, si ha che la particella entrerà nella seconda griglia con una velocità anch’essa perpendicolare alla superficie di . All’interno della seconda griglia è nuovamente presente un campo magnetico uscente: applicando la regola della mano destra si trova che il protone risentirà della forza di Lorentz , inizialmente diretta verso il basso, che agirà da forza centripeta innescando un moto circolare uniforme. La situazione proposta dal problema viene mostrata in figura 25.

Figura 25: schema esplicativo della situazione proposta dal problema.

Dalle leggi della cinematica è noto che in un moto circolare uniforme la velocità tangenziale rimane costante in modulo durante tutto il moto; ciò implica che nell’istante in cui il protone esce da la sua velocità sia in modulo pari a . Inoltre la simmetria del moto consente di affermare che il vettore velocità di uscita dovrà avere la stessa direzione del vettore di entrata: segue quindi che la velocità con la quale la particella lascia la griglia sarà perpendicolare alla sua superficie. A questo punto il protone verrà nuovamente accelerato dalla differenza di potenziale e attraverserà nuovamente la superficie . In questa regione di spazio, a causa della presenza del campo magnetico, la carica si muoverà di nuovo di moto circolare uniforme con velocità per gli stessi motivi del caso precedente. In entrambi i casi la particella avrà una velocità pari al prodotto tra la velocità angolare del moto e il raggio della circonferenza percorsa. Ricordando che in generale , dove con si intende il periodo, si può scrivere:

(53)  

Come abbiamo già visto, la forza di Lorentz che agisce sui due corpi è una forza centripeta (ciò implica che, sia la massa del corpo in moto, tale forza sarà del tipo ), dunque, ricordando che è descritta dall’equazione , è possibile scrivere:

(54)  

dove trattandosi di un protone abbiamo usato . Siamo dunque in grado di trovare i raggi delle due circonferenze percorse dal protone nelle due griglie. Possiamo procedere a sostituire questo risultato nella (53). Troviamo:

(55)  

Si noti, dunque, dalla (55) che . Per comodità possiamo indicare il valore comune ai due periodi con ; possiamo dunque calcolare quanto tempo viene trascorso dal protone all’interno delle griglie metalliche. Infatti, se il moto è caratterizzato dal periodo , il tempo impiegato a percorrere metà della circonferenza sara pari a per ciascuna griglia. I dati del problema forniscono la durata totale dell’osservazione , dunque, se chiamiamo il tempo impiegato per percorrere la zona dove è presente il potenziale, possiamo scrivere:

(56)  

Può essere utile specificare che il tempo è lo stesso sia al viaggio di andata che a quello di ritorno in quanto la differenza di potenziale tra le due griglie è costante durante tutto il moto; questo implica che l’accelerazione e la decelerazione che subisce il protone sarà la stessa in entrambe le direzioni. Per convincersi di questo fatto, basta pensare che la particella rientra nella griglia con la stessa velocità con cui era partita. A questo punto possiamo ottenere un’espressione che fornisca il valore di sfruttando la relazione trovata nella (55). Si trova infatti:

(57)  

A questo punto, dal momento che abbiamo trovato quanto vale il tempo e dato che conosciamo lo spazio percorso dalla particella durante il tragitto rettilineo, viene spontaneo utilizzare la legge oraria del moto per ricavare informazioni sulla velocità. Poichè la differenza di potenziale accelera il protone, tale moto risulterà rettilineo uniformemente accelerato. In generale l’equazione che lo descrive sarà del tipo:

(58)  

dove è il modulo dell’accelerazione, è la velocità iniziale del corpo ed è la posizione iniziale rispetto all’origine del sistema di riferimento considerato. Nel nostro caso, ci mettiamo in un riferimento con l’origine in in modo da annullare il termine . La velocità iniziale sarà invece mentre l’accelerazione del protone sarà scritta come:

(59)  

dunque la legge oraria diventa:

(60)  

Poichè il protone impiega un tempo a percorrere una distanza , si avrà:

(61)  

Si nota ora che la distanza tra ed corrisponde alla differenza tra i diametri delle semicirconferenze percorse nei due casi. A tal proposito è utile ragionare sulla geometria del problema: il fatto che tale esista e sia positivo implica che e dunque segue dalla (54) che ; una considerazione di questo tipo può far comodo ai fini della risoluzione del problema in quanto ci dà un’indicazione sui valori delle velocità da trovare. Abbiamo dunque ottenuto:

Sostituendo i raggi con le espressioni fornite dalla (54):

(62)  

Figura 26: rappresentazione del moto della particella.

    Sommando membro a membro della (61) con la (62) si ottiene:

Si può a questo punto facilmente trovare la velocità sfruttando una relazione a piacere da scegliersi tra la (62) e la (61). Per comodità di calcolo si sceglie di usare quest’ultima; si avrà:

Il teorema dell’energia-lavoro ci permette di dire che tale variazione di energia potenziale sarà uguale alla variazione di energia cinetica (si ricorda l’equazione che descrive l’energia cinetica di un corpo ) che subisce il protone nel tratto considerato. Pertanto si può scrivere:

Usando i dati relativi alle velocità trovati nel punto precedente si trova quindi:

Per prima cosa ricordiamo come funziona un ciclotrone.

Figura 27: ciclotrone.

Figura 28: traiettoria deutone.

Una particella viene inizialmente posta tra due elettrodi (la loro forma viene tipicamente chiamata mezzaluna o forma di D) carichi, uno positivamente e uno negativamente, all’interno dei quali è presente un campo magnetico da immaginare ortogonale al piano del foglio. Il nostro problema tratta il caso del deutone, una particella con la stessa carica di un protone e il doppio della sua massa; essa verrà dunque attratta dal catodo (ossia l’elettrodo carico negativamente). Una volta che la particella entra in questa regione di spazio, risentirà del campo magnetico presente al suo interno: sarà presente la forza di Lorentz, descritta dall’equazione . Essa sarà ortogonale alla velocità per la regola della mano destra (dalla regola della mano destra si può dedurre che il moto della figura 27 è causato da un campo magnetico con verso entrante) in ogni punto della traiettoria del deutone e dunque agirà come una forza centripeta. La carica si muove all’interno del primo elettrodo di moto circolare uniforme su una semicirconferenza il cui raggio dipende dalla velocità di entrata. Una volta che la particella ha completato la semicirconferenza, vengono scambiate le polarità dei due elettrodi; come risultato il deutone verrà accelerato dalla forza elettrostatica della mezzaluna opposta e pertanto vi entrerà con una velocità maggiore.

Figura 29: schema esplicativo del primo ciclo di un ciclotrone.

A questo punto la carica subisce nuovamente l’effetto del campo magnetico e, per gli stessi motivi del caso precedente, si muoverà di moto circolare uniforme. Tuttavia, facendo riferimento alla figura 29, poiché , si avrà che la nuova semicirconferenza di raggio sarà (si ricorda che il raggio è pari a , quindi è ovvio che ) tale che (quanto detto segue dalle leggi della cinematica; in un moto circolare uniforme raggio e velocità sono direttamente proporzionali secondo l’equazione , dove con si è indicato il periodo). Questo processo può essere iterato un numero molto grande di volte, così che il deutone compia traiettorie semicircolari con velocità e raggio crescenti ad ogni scambio di polarità; la traiettoria finale della particella sarà quindi come in figura 28. Abbiamo dunque visto che il ciclotrone altro non è che un dispositivo che si serve del campo elettrico presente tra i due elettrodi con cariche opposte per accelerare le particelle elementari. Tale campo elettrico cambia verso ogni volta che le particelle passano da una regione all’altra, dunque esso avrà una frequenza propria, chiamata radiofrequenza accelerante, da cui si può trovare il periodo:

(63)  

Si intuisce facilmente che il periodo di radiofrequenza è il tempo necessario al deutone per compiere un giro completo all’interno del ciclotrone; il periodo di ogni semicirconferenza sarà dunque la metà del periodo di radiofrequenza. Si ottiene:

(64)  

da cui, usando la (63), si ha:

(65)  

A questo punto è bene concentrarsi sull’equazione del moto. Ci concentriamo dunque su quello che succede quando il deutone si trova nella regione di spazio dove è presente il campo magnetico. Come discusso in precedenza, la forza di Lorentz che è presente in questo tratto di moto agisce come una forza centripeta, ossia della forma . Si avrà quindi:

(66)  

Ci ricordiamo che in un moto circolare uniforme la velocità è esprimibile secondo la relazione dove nel nostro caso il periodo abbiamo visto essere proprio . Sostituendo questa nella (66) otteniamo:

(67)  

dove è stata sfruttata la relazione .

A questo punto, ricordando che il periodo di radiofrequenza può essere espresso in funzione della frequenza secondo la (63), è possibile calcolare il valore di :

(68)  

Dunque l’energia cinetica è direttamente proporzionale al quadrato della velocità. Poichè in un moto circolare uniforme abbiamo visto come la velocità sia a sua volta proporzionale al raggio secondo le leggi della cinematica, possiamo esprimere l’energia cinetica come funzione di esso. In particolare si avrà:

(69)  

Dalla (69) è facile accorgersi che la funzione sia monotona crescente, quindi il massimo dell’energia cinetica si trova in corrispondenza del raggio massimo raggiungibile, ossia . Di conseguenza, ricordando che , possiamo scrivere:

Per risolvere questo problema bisogna ragionare sulle proprietà del potenziale descritto nel testo. La pulsazione, per definizione, può essere scritta nel seguente modo:

(70)  

da cui deriva l’espressione del potenziale:

(71)  

Ai fini del problema, ci interessa soltanto la differenza di potenziale nei punti in cui la particella attraversa la regione di spazio tra le due D. Si ha che per , sostituendo (per il coseno sarà uguale a 1) nella (71), la d.d.p. vale . Dopo aver percorso la semicirconferenza della prima D il deutone si troverà nuovamente nella regione di spazio che ci interessa; nel problema 12 abbiamo visto come per percorrere questo tratto la particella impieghi un tempo . Sostituendo (questa volta il coseno varrà -1) di nuovo nella (71) si trova che . Iterando il procedimento, si trova che al termine di ogni periodo il potenziale sarà mentre per ogni semiperiodo sarà pari a . Questo vuol dire che per ogni giro il deutone è come se fosse soggetto ad una differenza di potenziale pari a (il risultato è stato ottenuto semplicemente facendo il modulo della differenza tra i potenziali nei due punti interessati. Infatti si ha ) . Quello che sta succedendo dal punto di vista energetico è che per ogni ciclo viene fornita, per mezzo di , energia potenziale alla particella. Dalla teoria sappiamo che questo acquisto di energia è pari al prodotto tra la carica e la differenza di potenziale tra i due punti considerati. Nel nostro caso si avrà quindi:

(72)  

Viene naturale che, dopo un certo numero di giri, l’energia totale acquistata sarà:

(73)  

con numero intero. L’energia acquistata al n-esimo giro viene trasformata in energia cinetica, che si ricorda essere definita come , durante il passaggio della particella da una D all’altra; conseguentemente aumenterà la sua velocità. Dalla conservazione dell’energia avremo inoltre che:

(74)  

dove con si indica la velocità della particella al giro n-esimo.

Nel problema 6.12 abbiamo visto che l’energia cinetica è massima quando il raggio è massimo e mettendoci nella condizione di studiare l’n-esimo giro ovvero quando e dalla seconda legge della dinamica si ha:

(75)  

dove è stato nuovamente utilizzato il dato .

Si può sostituire questa espressione per la velocità nella (73), ottenendo:

(76)  

cioè

Dalla (70) si ricava:

(77)  

Conoscendo il numero di giri dal punto precedente, si può ricavare il tempo totale per completare il ciclo: esso sarà uguale al numero di volte che è stato compiuto un periodo, ossia:

(78)  

dove .

Applicando la regola della mano destra deduciamo che la forza giace sullo stesso piano su cui scorre la corrente e sarà orientata perpendicolarmente rispetto ad essa. Nel caso della figura 30 si può verificare che la forza di Lorentz sia orientata verso destra (ricordiamo che per motivi storici la convenzione vuole che la corrente sia orientata in senso opposto rispetto al verso in cui scorrono gli elettroni, pertanto la loro velocità di deriva avrà verso opposto a . Ricordando che gli elettroni hanno carica negativa, si trova il risultato descritto nel testo) ciò vuol dire che i portatori di carica vengono deviati e di conseguenza ci sarà un accumulo di cariche negative in una regione del nastro. Si viene così a creare una differenza di potenziale che viene chiamata tensione di Hall.

Figura 31: sezione di nastro vista dall’alto.

L’effetto Hall è un fenomeno che descrive uno dei numerosi casi nell’elettromagnetismo in cui il campo magnetico induce un campo elettrico. Sulle pareti opposte del nastro si accumulano cariche di segno opposto: una volta raggiunto l’equilibrio il campo elettrico che scorre tra una lamina e l’altra sarà costante e può essere descritto dalla stessa equazione che si usa per il caso di un condensatore piano (deviando le particelle stiamo a tutti gli effetti caricando le lastre laterali del nastro. Nell’approssimazione in cui si possono considerare tali lastre infinite). Avremo dunque:

(79)  

Abbiamo già visto come sui portatori di carica agisca la forza di Lorentz; la presenza di un campo elettrico implica che agisca un’ulteriore forza di natura elettrostatica, descritta dall’equazione . All’equilibrio le due forze dovranno bilanciarsi, dunque si avrà l’uguaglianza:

(80)  

Dalla (79) si ricava che , da cui sostituendo il campo elettrico con quanto trovato nella (80) si ottiene:

(81)  

Il problema fornisce inoltre il dato sulla corrente elettrica che scorre nel nastro. Dalla teoria sappiamo che se la sezione che attraversa la corrente è costante vale che

(82)  

dove (densità di corrente) e (sezione del nastro). Abbiamo dunque

(83)  

che sostituita in (81) ci da

(84)  

cioè

(85)  

Immaginiamo di avere un conduttore sottoposto ad una certa differenza di potenziale, in modo tale che gli elettroni al suo interno siano sottoposti ad una forza che li fa spostare con una velocità media chiamata velocità di deriva ; pertanto considerando che la corrente è prodotta dal movimento di cariche elettriche in numero per unità di volume e con velocità di deriva considerando la figura 32.

Figura 32: rappresentazione del tubo di flusso.

possiamo dedurre quanto segue

(86)  

cioè

(87)  

In accordo con la definizione di prodotto scalare si ha

(88)  

Abbiamo visto come in generale il flusso di cariche che passano attraverso il conduttore dipenda dalla superficie. Segue che nel calcolo della corrente elettrica bisognerà tenere conto dell’inclinazione della superficie considerata all’interno del tubo di flusso. Prendiamo ad esempio le due superfici ed in figura 32: in questo caso è chiaro che . Dall’esempio risulta chiaro che è conveniente pensare la superficie non come una grandezza scalare ma come un vettore orientato, ossia:

(89)  

Di conseguenza, se la superficie ha un’inclinazione rispetto al riferimento considerato (nel caso in figura, l’asse ) si avrà:

(90)  

In particolare nel nostro caso

(91)  

Si può a questo punto sostituire l’espressione appena trovata nella (81) e si ottiene:

(92)  

Troviamo così il numero di portatori di carica:

Nel problema 14, così come in molti i problemi che seguiranno, il versore normale è parallelo alla direzione del moto delle particelle, dunque si avrà e di conseguenza il coseno sarà uguale a 1.

Dalla teoria sappiamo che nel caso in cui la sezione del conduttore è costante si ha

(93)  

dove e , da cui

(94)  

Poichè la singola carica percorre il tratto a una velocità pari a , si può scrivere . Si ottiene così lo stesso risultato del problema precedente, ossia:

(95)  

Invertendo la (95), si ottiene:

(96)  

dove .

A causa di questa deviazione si forma un accumulo di cariche negative su una parete della lamina; viene dunque indotto un campo elettrico tale che:

(97)  

Il campo elettrico descritto sarà responsabile di una forza elettrostatica . All’equilibrio questa forza bilancerà la forza di Lorentz. Si avrà dunque:

(98)  

Sostituendo l’espressione appena trovata del campo elettrico nella (97) otteniamo:

(99)  

dove .

La deviazione fa sì che si formi un accumulo di cariche negative su una parete del nastro; viene dunque indotto un campo elettrico . Chiamiamo la sezione costante del nastro. Si avrà dove è la distanza tra le due pareti cariche della porzione di nastro considerata nel problema e è lo spessore del nastro. Tra le due pareti sarà presente un potenziale di Hall descritto dalla seguente relazione:

(100)  

Il campo elettrico sarà responsabile di una forza elettrostatica . All’equilibrio questa forza bilancerà la forza di Lorentz. Si avrà dunque:

(101)  

Sostituendo l’espressione appena trovata del campo elettrico nella (100) otteniamo:

(102)  

La quantità di carica che passa attraverso la sezione del nastro e percorre un tratto infinitesimo sarà uguale alla carica del singolo portatore moltiplicata per il numero di portatori in un volume infinitesimo . Si avrà:

(103)  

Poichè la singola carica percorre il tratto a una velocità pari a , si può scrivere . Si ottiene così:

(104)  

da cui si ottiene l’espressione della velocità di deriva:

(105)  

L’espressione appena trovata può essere usata per riscrivere la (100). Si avrà allora:

(106)  

Ricordando che possiamo infine concludere:

(107)  

da cui è possibile ricavare i valori richiesti dal problema:

Per risolvere il problema può tornare utile rappresentare la situazione fisica descritta dal testo.

Figura 35: rappresentazione problema 17.

    L’effetto Hall è così definito:

(108)  

dove dal momento che il conduttore è di sezione quadrata, il valore di si ricava facilmente a partire dalla superficie della sezione applicando la formula . Abbiamo dunque trovato che oltre al campo magnetico sarà presente anche un campo elettrico che si trova sulla stessa retta su cui giace il vettore forza di Lorentz; ad essa si opporrà dunque una forza (per la regola della mano destra si trova che la forza di Lorentz sarà diretta verso la parete destra in riferimento alla figura 35. Le linee di campo elettrico avranno lo stesso orientamento della forza di Lorentz, dunque poiché le cariche sono negative la forza si opporrà a ) di origine elettrostatica. . All’equilibrio si avrà che le due forze si eguagliano, e dunque:

(109)  

Sostituendo l’espressione del campo elettrico nella (108) troviamo:

(110)  

Inoltre si può studiare la quantità di carica infinitesima che passa attraverso la sezione del conduttore; con lo stesso procedimento usato per la risoluzione di altri problemi di questo tipo si trova:

(111)  

Sostituendo l’espressione della velocità trovata nella (110) si conclude:

(112)  

Vi è inoltre la nota legge di Ohm della conduttiva elettrica che lega il vettore con il vettore campo elettrico.

(113)  

dove è detta conduttività elettrica.

Mettendo a sistema (112) e (113) si ha

(114)  

da cui

(115)  

Sostituendo a il valore di (110) trovato nel punto 1), si ottiene:

Gli elettroni scorrono con velocità all’interno del conduttore e, poichè è presente un campo magnetico, essi saranno sottoposti alla forza di Lorentz . A causa di questa forza ci sarà un accumulo di cariche sulle pareti del conduttore: analizzando la geometria proposta dalla figura 36 ci si accorge tramite la regola della mano destra che in particolare le cariche si accumuleranno sulla parete superiore e inferiore del conduttore. Esse sono poste a distanza l’una dall’altra. Tra di esse si verrà dunque a formare un potenziale di Hall descritto dall’equazione:

(116)  

Abbiamo dunque trovato che oltre al campo magnetico sarà presente anche un campo elettrico (di Hall) dovuto alla polarizzazione del conduttore in seguito all’azione della forza di Lorentz; il fatto che sia presente un campo elettrico implica che sulle particelle agirà dunque anche una forza di natura elettrostatica del tipo . Si noti che, come negli esempi dei problemi precedenti, questa forza si oppone alla forza di Lorentz .

Il sistema raggiunge l’equilibrio quando la somma delle forze che agiscono sulle cariche sarà nulla; questo accade quando la forza bilancia la forza di Lorentz. In questa situazione si avrà dunque:

(117)  

Per trovare il campo elettrico di Hall è necessario dunque calcolare la velocità di deriva dei portatori di carica.

Procedendo come gli esercizi precedenti e com’è noto dalla teoria si trova che

(118)  

Sostituendo nella (117) otteniamo:

Figura 37: visione alternativa conduzione corrente.

    Sostituendo nella (117) otteniamo:

Figura 38: circuito problema 18.

Si nota che nel circuito è presente non solo la resistenza , ma anche un’altra resistenza dovuta al tratto di conduttore. Infatti, per la seconda legge di Ohm si ha che la resistenza di un filo conduttore è direttamente proporzionale alla sua lunghezza e inversamente proporzionale alla sua sezione a meno della costante , ossia il coefficiente di resistività del materiale (nel nostro caso il rame). Si può dunque scrivere:

(119)  

dove è stata scritta la sezione come prodotto del lato per il lato .

Ora che si conoscono entrambe le resistenze, ci chiediamo quale sia la relazione tra di esse: si nota che ed sono in serie, pertanto il circuito in figura 38 è equivalente a un circuito in cui è presente una sola resistenza pari alla somma delle due. Si avrà dunque:

(120)  

A questo punto possiamo applicare l legge di Ohm per i conduttori metallici, la quale afferma che la corrente che scorre in un circuito resistivo è pari al rapporto tra la differenza di potenziale e la resistenza che essa incontra. Ricordando che tra i due capi e si ha una differenza di potenziale , possiamo scrivere:

Ricordiamo la seconda legge elementare di Laplace

(121)  

La forza su un filo percorso da corrente che giace in un piano in cui agisce un campo magnetico non dipende dalla forma del filo, ma solo dalla lunghezza che unisce i suoi estremi, pertanto la (121) diventa

(122)  

Figura 40: rappresentazione del sistema visto dall’alto.

Ricordiamo che poiché l’angolo tra e è un angolo retto , il prodotto vettoriale sarà . Dal momento che è 1, il risultato del prodotto vettoriale sarà proprio .}. Quindi si avrà che dove nel caso specifico . In definitiva dunque la forza trovata dalla seconda legge elementare di Laplace è:

(123)  

Abbiamo dunque scritto un’espressione della forza che agisce sul filo; per la seconda legge della dinamica, questa forza sarà del tipo , dove è la massa del filo e la sua accelerazione. Passando ai moduli, possiamo quindi scrivere:

(124)  

Il filo, libero di scorrere lungo i binari, si muoverà dunque di moto uniformemente accelerato con accelerazione . Dalla cinematica sappiamo che la sua velocità è:

(125)  

in cui possiamo sostituire l’accelerazione con l’espressione trovata nella (124). Inoltre, sia , avremo:

(126)  

Notiamo subito che, per la regola della mano destra, la forza di Lorentz è orientata nel verso positivo rispetto all’asse in figura 39; questo ci porta a concludere che il filo, soggetto alla forza di Lorentz, si muoverà sui binari spostandosi verso destra. Consideriamo ora un tratto infinitesimo di filo con una generica sezione ; in esso sarà contenuto un numero di elettroni pari:

(127)  

dove è la densità di portatori di carica. Per il principio di sovrapposizione, la forza di Lorentz totale che agisce sugli elettroni nel tratto infinitesimo considerato sarà pari alla somma delle forze sulle singole particelle. Allora si avrà:

(128)  

ossia, usando la (126):

(129)  

Notiamo che all’interno di questa equazione compare il vettore densità di corrente : infatti dalla teoria sappiamo che:

(130)  

dunque possiamo riscrivere la forza nel tratto infinitesimo come:

(131)  

A questo punto si nota che il tratto di filo può essere orientato nello stesso verso del vettore ; si possono dunque scambiare i due termini all’interno dell’equazione senza alterare il modulo e la direzione di : per convincersi di ciò, basta notare che entrambi i termini formano con il vettore campo magnetico un angolo retto, pertanto si avrà:

(132)  

Figura 41: rappresentazione del tratto infinitesimo di filo.

Si sceglie dunque di procedere utilizzando la scrittura . Ci ricordiamo che la densità di corrente è definita come il rapporto tra la quantità di corrente che scorre per unità di superficie. Questo implica che:

(133)  

e dunque la forza che agisce sul tratto infinitesimo di filo si può esprimere come:

(134)  

A questo punto per trovare l’espressione della forza agente sul filo possiamo integrare su entrambi i membri, ottenendo:

(135)  

dove è la parametrizzazione del sostegno del filo.

La corrente è stata portata fuori perchè assunta stazionaria. Supponiamo che sia costante in modulo direzione e verso allora parametrizzato il filo nel piano con la seguente parametrizzazione tale che e (vedere figura 42) si ha

(136)  

Figura 42: rappresentazione filo definito generico nel piano.

La forza su un filo che giace in un piano ed è immerso in un campo magnetico uniforme non dipende dalla forma del filo, ma solo dai punti iniziale e finale:

(137)  

(138)  

da cui

dove è stato scelto un sistema di riferimento come in figura 44.

Figura 44: sistema di riferimento . Si ricorda che il testo del problema dice che .

(139)  

Si noti che compare un segno negativo davanti al coseno in quanto, a causa della scelta del sistema di riferimento in figura 44, l’angolo è crescente in senso orario. A questo punto, poiché la curva è data dalla somma dei contributi nei tre tratti, possiamo scrivere:

(140)  

Per quanto riguarda i tratti di filo rettilinei, risulta facile notare che il prodotto vettoriale dia come risultato . D’altronde basta ricordare che la forza di Lorentz spingerà il filo verso il basso. Nel tratto descritto da il calcolo è invece più elaborato, dunque ricaviamo il determinante della matrice del prodotto vettoriale. Per fare ciò,deriviamo i parametri che parametrizzano la curva, ricordando che il raggio è fissato e dunque non cambia lungo la curva . Si avrà perciò:

(141)  

A questo punto si può trovare il vettore risultante dal prodotto vettoriale:

(142)  

Si può dunque calcolare la forza integrando separatamente sulle tre curve, come suggerito dalla (140). Avremo:

(143)  

Di seguito viene svolto il calcolo dell’integrale:

(144)  

Ricordando che , si può dunque scrivere:

che è esattametne quello che ci aspettavamo.

Figura 46: vista dall’alto della spira.

L’angolo ci permette di parametrizzare la curva lungo la quale scorre la corrente. Possiamo infatti scrivere:

(145)  

Analogamente, proiettando il campo sugli assi del sistema di riferimento, restringiamo su come segue:

(146)  

A questo punto calcoliamo la forza agente sulla spira. Come visto in altri problemi di questo tipo, sul filo agirà una forza di Lorentz pari alla somma delle forze di Lorentz agenti sui singoli elettroni in movimento all’interno del filo. Per calcolare la forza ricorriamo alla (134). Come si può notare dalla figura 46, il vettore è lo spostamento elementare lungo un tratto di circonferenza, ossia il vettore infinitesimo tangente ad essa. Si avrà dunque:

(147)  

da cui

(148)  

Abbiamo dalla (135) il seguente integrale

(149)  

Risolvendo, si ottiene:

(150)  

dove è la proiezione della linea di campo magnetico sull’asse delle . Guardando la figura 45 si può intuire che . Concludiamo dunque

Figura 48: sistema di riferimento problema 22.

Si può ora quindi parametrizzare la circonferenza della spira adottando delle coordinate polari come di seguito:

(151)  

Notiamo inoltre dalla figura 48 che il vettore campo mqagnetico può essere scritto come combinazione lineare delle sue componenti nel seguente modo:

(152)  

dove e possono essere ottenuti proiettando sugli assi. Si avrà dunque e .

Si può ora dunque procedere in maniera analoga al problema 21 applicando la (135). Si avrà dunque:

(153)  

A questo punto possiamo risolvere il prodotto vettoriale presente dentro al segno di integrale. Avremo:

(154)  

da cui

(155)  

cioè

(156)  

Ricordando che , si può riscrivere la (156) sostituendo al posto di l’espressione suggerita dal testo. L’espressione finale della forza che agisce sulla spira sarà dunque:

(157)  

Si può tuttavia fare un’ulteriore considerazione. Infatti il testo suggerisce che sia molto maggiore di ; questo comporta che l’angolo tra il vettore e l’asse sia infinitesimo.

Figura 49: angolo infinitesimo .

Dalla trigonometria sappiamo che . Tuttavia il fatto che sia infinitesimo ci permette di poter prendere in considerazione lo sviluppo di Taylor della tangente al primo ordine. Allora avremo che:

(158)  

Lo sviluppo al primo ordine della funzione tangente è uguale a quello della funzione seno. Si può dunque riscrivere la forza nella seguente forma:

Figura 51: schema problema 23.

(159)  

Per risolvere questo esercizio applichiamo la seconda legge elementare di Laplace ovvero la (135). Notiamo che su ogni tratto i vettori e sono tra loro perpendicolari: ciò vuol dire che il modulo del loro prodotto vettoriale sarà uguale al prodotto dei moduli dei due. Inoltre il verso del vettore risultante può essere trovato con la regola della mano destra lungo ciscun segmento della spira. Questa considerazione può farci risparmiare calcoli lunghi e laboriosi. Si può dunque applicare la (135):

(160)  

Prima di procedere con l’integrazione è bene ricordare che il campo magnetico ha coordinate , dunque il suo modulo sarà . Analizziamo come esso varia in ogni tratto della spira: lungo la curva il campo crescerà linearmente in funzione di , come suggerito dalla parametrizzazione effettuata nella (159); lungo la curva notiamo che la componente non cambia, di conseguenza il modulo del campo magnetico sarà costante e il suo valore sarà ; lungo la curva la situazione è analoga a quella del primo tratto con l’unica differenza che il campo è decrescente; infine, lungo la curva il campo elettrico sarà identicamente nullo in quanto la parametrizzazione scelta suggerisce che componente sia pari a zero. Possiamo allora scrivere:

(161)  

cioè

(162)  

Si trova così l’espressione della forza agente sulla spira:

Dal testo si deduce che il momento magnetico della spira ha componenti lungo l’asse e l’asse del sistema di riferimento adottato in figura 52; il campo magnetico invece avrà componenti lungo l’asse e l’asse . Il momento magnetico di una spira è definito come:

(163)  

dove è l’area che racchiude la spira, che nel caso sia un quadrato come quella proposta dal problema sarà pari al quadrato del lato, si avrà dunque e versore normale alla superficie della spira.

Si può dunque concludere che il prodotto sia il modulo del vettore momento magnetico. Date le componenti di un vettore possiamo sempre facilmente trovare il su o modulo tramite la definizione di modulo. Si avrà:

(164)  

e eguagliando la (164) all’espressione del modulo ricavata dalla definizione di momento magnetico, si trova la corrente come richiesto dal problema:

(165)  

Dal momento che conosciamo tutte le componenti sia del vettore momento magnetico che del vettore campo magnetico, non ci resta che svolgere il prodotto vettoriale. Si avrà:

(166)  

da cui

(167)  

Si trova così:

Figura 53: in figura viene mostrato l’angolo il cui valore è richiesto dal problema.

Possiamo dunque scrivere:

(168)  

Inoltre, sappiamo che il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla somma dei prodotti tra le componenti omologhe dei due vettori. Nel nostro caso avremo:

(169)  

dove nell’esercizio suggerito dal problema abbiamo che e . Il prodotto scalare si ridurrà dunque a:

(170)  

Sostituendo questa relazione nella (168) otteniamo:

(171)  

da cui deduciamo che non dobbiamo dunque far altro che calcolare il modulo dei vettori e :

(172)  

A questo punto possiamo trovare il valore di sostituendo i due moduli appena trovati all’interno della (171). Si avrà dunque:

(173)  

con versore superficie esterno.

Integrando sulla superficie si ottiene:

(174)  

Riconosciamo, all’interno della formula appena trovata, il vettore momento magnetico , dunque in definitiva si avrà:

(175)  

Il prodotto scalare è lo stesso che è stato svolto nel punto 3. Scriveremo allora:

La base della bobina giace nel piano , dunque il suo asse sarà parallelo all’asse del sistema di riferimento adottato; senza perdere di generalità possiamo in realtà far coincidere l’asse della bobina con l’asse . Si ha che la corrente scorre lungo le spire in senso antiorario; da questa informazione possiamo ricavare la direzione e il verso del vettore usando la regola della vite. Per fare ciò è necessario immaginare di avvolgere la bobina con le dita della mano destra orientandole nel verso di scorrimento della corrente; il verso in cui punta il pollice indicherà il verso del vettore momento magnetico. Si trova così che è orientato lungo l’asse . A questo punto si può procedere a trovare il modulo di tale vettore; per sua definizione, avremo che per una spira esso sarà:

(176)  

dove è l’area della spira considerata. Tuttavia in una bobina dovremo considerare i contributi di tutte le spire presenti nell’avvolgimento. Otteniamo dunque come risultato:

(177)  

Il testo ci fornisce il valore di tutte le componenti del vettore campo magnetico, e inoltre sappiamo che il momento magnetico ha solamente la componente di cui conosciamo il valore. Andiamo dunque a svolgere il prodotto vettoriale inserendo tutti questi valori noti all’interno della matrice. Si avrà:

(178)  

da cui

(179)  

cioè

(180)  

Poichè il vettore ha non nulla solamente la componente , il calcolo si riduce a:

Figura 56: viene mostrata la bobina vista dall’alto. La molla rappresentata in figura blocca la rotazione della bobina.

Quando la bobina viene percorsa dalla corrente vediamo che su una singola spira agirà un momento magnetico che per definizione sarà descritto dall’equazione:

(181)  

dove è la superficie della spira considerata di lati e . Mediante la regola della vite possiamo ricavare in che verso è orientato il versore . Facendo riferimento alla figura 55, immaginiamo di avvolgere le dita lungo il profilo delle spire orientandole nel verso in cui scorre la corrente. Otterremo che il pollice punta verso di noi, ossia abbiamo trovato che . A questo punto possiamo scrivere l’espressione finale del momento magnetico, che sarà uguale a quella trovata per una spira moltiplicata per il numero di spire presenti nel galvanometro:

(182)  

A questo punto possiamo trovare il momento meccanico del sistema: dalla teoria sappiamo infatti che:

(183)  

Si noti che questo momento è proprio la grandezza responsabile della rotazione della bobina. Dalla regola della mano destra, sfruttando il risultato trovato precedentemente per il momento magnetico e notando che il campo magnetico ha non nulla solo la sua coordinata lungo l’asse ,troviamo che il momento della bobina sarà rivolto verso l’alto, ossia sarà:

(184)  

Sappiamo tuttavia che la presenza della molla fa sì che per un certo angolo il sistema raggiunga l’equilibrio. Abbiamo dunque che al momento meccanico di rotazione si opporrà un momento torcente della molla di verso opposto a che fermerà la rotazione. Affinchè ciò avvenga è necessario che i moduli dei due momenti siano uguali. Infatti possiamo applicare la seconda equazione cardinale della dinamica, che dice che che la somma dei momenti agenti sul sistema è legata al vettore accelerazione angolare secondo la seguente equazione:

(185)  

dove è il momento di inerzia del corpo e l’accelerazione angolare del corpo rigido. Ma poichè il sistema all’equilibrio è fermo, avremo che sarà nullo, e dunque:

(186)  

ossia, come anticipato in precedenza, . Sappiamo inoltre che il modulo del vettore torcente è proporzionale all’angolo di deflessione a meno di una costante , che è proprio la costante di torsione della molla. Avremo dunque:

(187)  

Invertendo, si ricava:

Notiamo subito che sul sistema agiscono sia le forze magnetiche dovute alla presenza di una corrente in una spira immersa in un campo magnetico sia la forza peso dovuta al fatto che la spira ha massa non trascurabile. Possiamo intuire da subito tuttavia che tali forze di natura diversa saranno difficili da confrontare in quanto le forze magnetiche, a causa della rotazione, cambieranno direzione e verso in ogni istante. Ha senso allora confrontare tra loro i momenti delle diverse forze agenti sul sistema. Dapprima troviamo il valore della forza peso; il testo ci fornisce la che è una densità lineare di massa. Allora per la massa della spira basterà moltiplicare per il suo perimetro, dunque si avrà:

(188)  

da cui è possibile ricavare la forza peso. Si noti che la spira è sottoposta all’accelerazione di gravità rivolta verso il basso rispetto al riferimento in figura 57, dunque si avrà Mediante la seconda legge di Newton si trova:

(189)  

A questo punto passiamo al calcolo del momento della forza peso appena trovata. In generale, il momento di una forza rispetto a un polo è dato dal prodotto vettoriale tra il raggio vettore che congiunge il polo al punto di applicazione della forza e la forza stessa. Dallo studio dei sistemi di corpi rigidi, sappiamo che il vettore forza peso va applicato al centro di massa del sistema solo se la massa è distribuita in modo omogeneo; nel nostro caso, dal momento che la densità lineare di massa è costante e la spira è simmetrica rispetto al centro, è facile convincersi che il suo centro di massa sia proprio il centro della spira stessa in ogni istante. Rappresentiamo di seguito una sezione della spira.

Figura 58: sezione laterale della spira.

Dalla figura 58 si nota che il raggio vettore che congiunge il vettore forza peso con l’asse lungo il quale ruota la spira può essere scritto come:

(190)  

Risulta quindi possibile ricavare il momento meccanico della forza peso. Si avrà:

(191)  

Una volta trovato il momento della forza peso, ci occupiamo del momento delle forze magnetiche . In particolare, come è noto dalla teoria, esso sarà uguale al prodotto vettoriale tra il momento magnetico e il campo magnetico . Ricordando che l’espressione per il momento magnetico è , possiamo scrivere:

(192)  

Per avere un’idea più chiara, guardiamo il disegno in figura 59. Si nota che il versore cambia a seconda dell’angolo ; questo è il motivo per cui in principio non abbiamo scelto di analizzare il problema dal punto di vista delle forze ma abbiamo deciso di ragionare sui loro momenti meccanici.

Figura 59: sezione laterale della spira per diversi valori di .

    La figura 59 ci dà tuttavia un’ulteriore informazione: si nota infatti che alcune considerazioni geometriche ci portano a concludere che proiettando il versore sugli assi e esso possa essere scomposto nelle sue componenti come:

(193)  

Andiamo dunque a svolgere il prodotto vettoriale presente nella (192). Avremo:

(194)  

da cui risulta:

(195)  

Ricordiamo che nello svolgere il prodotto vettoriale abbiamo tenuto conto del fatto che l’unica componente non nulla di è quella lungo l’asse . A questo punto possiamo scrivere l’espressione del momento delle forze magnetiche inserendo il risultato appena trovato all’interno della (192). Si avrà:

(196)  

A questo punto, avendo trovato i momenti di tutte le forze agenti sulla spira, possiamo usare le formule che descrivono i corpi rigidi; in particolare, una conseguenza della seconda equazione cardinale è:

(197)  

dove è il momento d’inerzia del corpo rigido e l’accelerazione angolare.. Nel nostro caso si avrà dunque:

(198)  

Notiamo ora che una volta che il corpo ha raggiunto l’equilibrio nella configurazione con , il vettore sarà nullo. Ricaviamo dunque:

(199)  

e ricordando che la superficie della spira rettangolare è si ha:

(200)  

da cui ricordando che abbiamo che:

dove nell’ultimo passaggio abbiamo sostituito .

(201)  

dove è il momento della forza esterna.

Applicando la (201) nel nostro caso e tenendo conto che e si ha:

Per brevità, nello svolgimento di questo problema si utilizzerà la notazione , , . Notiamo subito che il circuito delimita due superfici: la prima è contenuta all’interno del rettangolo e la chiameremo ; la seconda è contenuta nel rettangolo e verrà chiamata . L’area del circuito sarà semplicemente la somma delle due. Ragioniamo ora su come è definito il momento magnetico. Sappiamo che il modulo del vettore momento magnetico di un circuito è uguale al prodotto tra la corrente che scorre in esso e la sua superficie. Per quando appena visto possiamo scrivere:

(202)  

dove è il versore normale a e è il versore normale a entrambi orientati seguendo la regola della vite.\\ Per trovare il verso dei due versori dobbiamo utilizzare il metodo della vite; Immaginiamo di avvolgere la mano destra intorno al profilo orientando le dita nello stesso senso in cui scorre la corrente. Ci accorgiamo che in questa posizione il nostro pollice punta verso l’alto e dunque abbiamo trovato che . Ripetendo lo stesso procedimento per il profilo ci troviamo invece che . A questo punto siamo pronti a scrivere l’espressione del momento magnetico; ricordando che l’area dei rettangoli considerati nel problema si trovano moltiplicando tra loro i lati che la delimitano, avremo:

(203)  

e sostituendo i valori numerici, otteniamo:

(204)  

da cui risulta:

(205)  

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

• Esercizi su forza elettrostatica e campo elettrico.
• Esercizi su lavoro elettrico e potenziale elettrico.
• Esercizi sulla legge di Gauss.
• Esercizi sui conduttori, condensatori, dielettrici ed energia elettrostatica.
• Esercizi sul campo magnetico e forza magnetica.
• Esercizi sulle sorgenti di un campo magnetico e legge di Ampere.
• Esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo.
• Esercizi su oscillazione del campo elettrico e correnti alternate.
• Esercizi sulle onde elettromagnetiche.
• Esercizi sulla riflessione e rifrazione della luce.
• Esercizi sull’ ottica geometrica.
• Esercizi sull’ interferenza.
• Esercizi sulla diffrazione.
• Esercizi sulle proprietà corpuscolari e ondulatorie della materia.

  Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.

• Cinematica del punto materiale.
• Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
• Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
• Moti relativi.
• Sistemi di punti materiali.
• Dinamica del corpo rigido.
• Urti .
• Gravitazione .
• Oscillazioni e onde.
• Meccanica dei fluidi.
• Onde meccaniche.
• Statica in meccanica classica.
• Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
• Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.

• Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
• ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
• Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
• Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
• The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
• American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
• Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
• Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
• Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
• Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.