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Esercizi svolti sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz

Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo

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Gli esercizi svolti su sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz sono tratti dal libro “Elementi di Fisica. Elettromagnetismo e Onde” di P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci. Questo primo volume di due contiene la risoluzione dettagliata di 12 esercizi del capitolo 8, dedicato alla legge di Faraday-Neumann-Lenz. Questo materiale è destinato agli studenti di ingegneria, fisica e matematica, fornendo un supporto didattico essenziale per la comprensione dei concetti chiave trattati nel corso di Fisica 2.

Gli esercizi svolti su sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz sono organizzati in ordine di difficoltà crescente per facilitare un apprendimento graduale e sistematico. Ogni soluzione è descritta con attenzione ai dettagli, spiegando passo dopo passo i procedimenti e le logiche utilizzate, permettendo così di comprendere non solo il “come”, ma anche il “perché” delle soluzioni.

Il nostro obiettivo è offrire uno strumento di studio completo e accurato, che aiuti gli studenti a prepararsi efficacemente per esami e verifiche, oltre a sviluppare una solida comprensione dei principi dell’elettromagnetismo. Siamo certi che queste soluzioni dettagliate saranno un valido aiuto per affrontare con successo le sfide accademiche del vostro corso di studi.

Nel dettaglio, gli esercizi svolti su sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz trattati includono:

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  • Esercizio 1: calcolo della tensione ai capi di una sbarretta conduttrice in movimento rispetto a un filo rettilineo percorso da corrente.
  • Esercizio 2: determinazione del campo elettrico e della carica su un condensatore collegato a una bobina in movimento in un campo magnetico.
  • Esercizio 3: calcolo della corrente e della potenza dissipata in un resistore collegato a una sbarretta conduttrice che si muove su rotaie in un campo magnetico.
  • Esercizio 4: analisi della velocità e dell’energia dissipata di una spira conduttrice che entra in un campo magnetico.
  • Esercizio 5: determinazione della velocità limite e della corrente in una sbarretta che scivola lungo guide verticali in un campo magnetico.
  • Esercizio 6: studio del moto di una spira rettangolare che cade in un campo magnetico.
  • Esercizio 7: calcolo della f.e.m. e della velocità limite di una sbarretta scivolante su guide inclinate in un campo magnetico.
  • Esercizio 8: determinazione della f.e.m. e della potenza elettrica in un disco conduttore in rotazione (ruota di Barlow).
  • Esercizio 9: analisi della corrente e della velocità di regime di una sbarretta su rotaie collegate a un generatore in un campo magnetico.
  • Esercizio 10: variazione della velocità e della corrente di una sbarretta in un circuito con generatore.
  • Esercizio 11: determinazione della corrente e della velocità di regime di una sbarretta che solleva una massa tramite un filo e una carrucola.
  • Esercizio 12: calcolo della corrente e della velocità angolare di un disco conduttore con massa collegata in un campo magnetico.

 

Autori e revisori degli esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo (legge di Faraday-Neumann-Lenz)

Mostra autori e revisori.

Autori: Valerio Brunetti, Cesare Malagù.

Revisori: Patrizio Di Lorenzo, Nicola Fusco e Alberto Cella.


 
 

Legge di Faraday-Neumann-Lenz applicata ai circuiti elettrici

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La seguente trattazione sulla legge di Faraday-Neumann-Lenz non è esaustiva al livello teorico, si vuole solo studiare l’applicazione di essa nei circuiti elettrici per aiutare il lettore ad una maggiore comprensione dello svolgimento degli esercizi del seguente eserciziario. Consideriamo un circuito immerso in un campo magnetico \vec{B} e denotiamo con \Sigma una qualsiasi superficie che ha come bordo il circuito stesso. La legge di Faraday-Neumann-Lenz è

(1) \begin{equation*} \mathscr{E}_i=-\frac{d\Phi_\Sigma(\vec{B})}{dt}, \end{equation*}

dove il segno – indica che gli effetti prodotti dalla forza elettromotrice indotta sono opposti alla variazione di flusso del campo magnetico totale entrante nel circuito. La forma del circuito può variare nel tempo, il circuito può essere collegato ad un generatore esterno che fa scorrere una corrente dentro di essa variabile nel tempo, oppure, ad esempio, può essere immerso in un campo magnetico esterno prodotto da una sorgente esterna. Tutte e tre le situazioni possono accadere singolarmente, due contemporaneamente, oppure tutte e tre insieme, insomma nessuna esclude l’altra. Sia \vec{B}=B^{\text{Esterno}}+B^{\text{Interno}}, dove B^{\text{Esterno}} e B^{\text{Interno}} sono rispettivamente il campo magnetico generato dall’esterno e il campo magnetico autoindotto. Riscriviamo la precedente equazione come

(2) \begin{equation*} \mathcal{E}_\text{totale}=-\dfrac{d\Phi_\Sigma\left(B^{(\text{Esterno})}\right)}{dt}-\dfrac{d\Phi_\Sigma\left(B^{(\text{Interno})}\right)}{dt}, \end{equation*}

oppure

(3) \begin{equation*} \mathcal{E}_{(\text{Interno})}+\mathcal{E}_{(\text{Esterno})}=-\dfrac{d\Phi_\Sigma\left(B^{(\text{Esterno})}\right)}{dt}-L\dfrac{di}{dt}, \end{equation*}

dove si è usato nel precedente passaggio

(4) \begin{equation*} \dfrac{d\Phi_\Sigma\left(B^{(\text{Interno})}\right)}{dt}=L\dfrac{di}{dt}. \end{equation*}

Studiamo qualche caso fisico in cui si vede applica la legge di Faraday-Neumann-Lenz.  

  • Si immagini che, ad esempio, che la forma del circuito non vari nel tempo e che non sia collegato a nessun generatore di tensione, ma che vari solo il flusso del campo magnetico esterno. In questo caso il campo magnetico interno dipende dal campo magnetico esterno, perché il campo magnetico interno si genera per gli effetti causati dal campo magnetico esterno. Ipotizziamo che il flusso del campo magnetico esterno aumenti nel tempo, allora il flusso del campo magnetico interno diminuisce, oppure se il flusso del campo magnetico diminuisce nel tempo, allora il flusso del campo magnetico interno aumenta, come d’altro canto la natura vuole.
  • Si immagini il caso in cui il circuito non sia immerso in un campo magnetico esterno e che la sua forma non vari nel tempo, ma che sia collegato ad un generatore che faccia scorrere una corrente variabile nel tempo nel circuito. Per la seconda legge elementare di Laplace sappiamo che si genererà un campo magnetico e questo campo magnetico rappresenta proprio il campo magnetico interno. Dunque, in tale situazione la (5) diventa

    (5) \begin{equation*} \mathcal{E}_{(\text{Interno})}=-L\dfrac{di}{dt}. \end{equation*}

    Dalla precedente equazione si deduce, quindi che, anche in assenza di campo magnetico esterno si produce una forza elettromotrice indotta, però questa volta dal campo magnetico interno. Pertanto deduciamo che, in generale, il campo magnetico interno non dipende necessariamente dal campo magnetico esterno.

  • Ora, immaginiamo che, il circuito sia immerso in un campo magnetico esterno costante in modulo, direzione e verso, che non si collegato a nessun generatore e si supponga che la forma del circuito vari nel tempo, in modo da far variare il flusso del campo magnetico dentro di esso; anche in questo caso la (5) continua a valere e deduciamo che il campo magnetico interno non dipende necessariamente dal campo magnetico esterno, ma da cause esterne variabili, che possono essere, ad esempio un generatore che fa scorrere la corrente nel circuito o un meccanismo esterno che faccia variare la forma del circuito nel tempo.

Da quanto detto deduciamo che la legge di Faraday è molto profonda e ci possono essere molti casi da analizzare. In molti degli esercizi proposti in questo capitolo si trascurerà l’autoinduttanza dei circuiti, ovvero si pone L=0, da cui l’equazione (5) diventa

(6) \begin{equation*} \mathcal{E}_{(\text{Esterno})}=\mathcal{E}_{i}=-\dfrac{d\Phi_\Sigma\left(B^{(\text{Esterno})}\right)}{dt}. \end{equation*}

Dato un piano immerso in un campo magnetico convenzionalmente con il pallino pieno \bullet si indica che il campo magnetico è uscente dal foglio, mentre con una \times se è entrante nel foglio, come rappresentato in figura 1.  

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Figura 1: rappresentazione convenzionale dei versi di campo magnetico.

 

Immaginiamo di avere un circuito immerso in un campo magnetico uscente (ovvero il caso denotato con il simbolo \bullet) tale per cui il flusso del campo magnetico attraverso esso aumenti nel tempo. Denotiamo con \Phi_\Sigma\left(\vec{B}^{(\text{Esterno})}\right)=\Phi_\Sigma il flusso del campo magnetico attraverso \Sigma. Se il flusso attraverso \Sigma aumenta vuol dire che d\Phi_\Sigma/dt>0, altrimenti se il flusso attraverso \Sigma diminuisce vuol dire che d\Phi_\Sigma/dt<0. Inoltre, si osservi che, se il flusso aumenta vuol dire che \Phi_\Sigma è una funzione crescente, mentre se il flusso diminuisce vuol dire che \Phi_\Sigma è una funzione decrescente.

Analizziamo il caso in cui un circuito sia immerso in un campo magnetico entrante (ovvero il caso denotato con il simbolo \times) tale per cui il flusso del campo magnetico attraverso esso aumenti nel tempo in modulo. Se il flusso attraverso \Sigma aumenta in modulo vuol dire che d\Phi_\Sigma/dt<0; in altri termini, la funzione \Phi_\Sigma è monotona decrescente. Se il flusso diminuisce in modulo vuol dire che d\Phi_\Sigma/dt>0; in altri termini, la funzione \Phi_\Sigma è monotona crescente. Matematicamente si può pensare, ad esempio, alla funzione f(x)=x che è crescente e la derivata è f^\prime(x)=1>0, altrimenti alla funzione f(x)=-x che è decrescente e la cui derivata è f^\prime(x)=-1<0. Spesso negli esercizi il flusso del campo magnetico è lineare, ovvero è nella forma \Phi_\Sigma=\text{costante}\, x, dove x>0 perché fisicamente rappresenta una lunghezza, come ad esempio la lunghezza di un lato di un rettangolo. Chiaramente la costante che moltiplica la variabile x può essere positiva o negativa a seconda che il flusso del campo magnetico sia crescente o decrescente dato che stiamo assumendo che matematicamente sia un retta passante per l’origine di un sistema di riferimento Oxy. Analizziamo il caso \times. Precedentemente abbiamo detto che se il flusso diminuisce nel tempo ed è negativo vuol dire che \Phi_\Sigma<0 e che d\Phi_\Sigma/dt<0, infatti se consideriamo f(x)=-x in modulo si ha \left \vert f(x)\right \vert=\left \vert -x\right \vert=x per x>0 che è crescente. Riassumendo

  1. nel caso \bullet se \Phi_\Sigma aumenta vuol dire che \Phi_\Sigma è una funzione monotona crescente e \Phi_\Sigma/dt>0;
  2. nel caso \bullet se \Phi_\Sigma diminuisce vuol dire che \Phi_\Sigma è una funzione monotona decrescente e d\Phi_\Sigma/dt<0;
  3. nel caso \times se \Phi_\Sigma aumenta in modulo vuol dire che \Phi_\Sigma è una funzione monotona decrescente e d\Phi_\Sigma/dt<0;
  4. nel caso \times se \Phi_\Sigma diminuisce in modulo vuol dire che \phi_\Sigma è una funzione monotona crescente e d\Phi_\Sigma/dt>0.

Per la legge di Faraday nel caso 1, caso 2, caso 3 e caso 4, si ha rispettivamente

(7) \begin{equation*} \mathcal{E}_i=-\dfrac{d\phi_\Sigma}{dt}<0, \end{equation*}

(8) \begin{equation*} \mathcal{E}_i=-\dfrac{d\Phi_\Sigma}{dt}>0, \end{equation*}

(9) \begin{equation*} \mathcal{E}_i=-\dfrac{d\Phi_\Sigma}{dt}>0, \end{equation*}

e

(10) \begin{equation*} \mathcal{E}_i=-\dfrac{d\Phi_\Sigma}{dt}<0. \end{equation*}

Le equazioni (7), (8), (9) e (10) dicono rispettivamente che la corrente circola in senso orario nel circuito, la corrente circola in senso antiorario nel circuito, la corrente circola in senso antiorario nel circuito e la corrente circola in senso orario nel circuito, come era deducibile dalle legge di Lenz. Spesso negli esercizi si sceglierà un sistema di riferimento fisso Oxyz dal quale osservare gli eventi fisici, da cui si denoterà \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} i versori rispettivamente degli assi x, y e z.


 
 

Testi degli esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo (legge di Faraday-Neumann-Lenz)

 

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una sbarretta conduttrice di lunghezza b si muove con velocità \vec{v} costante e ortogonale ad un filo rettilineo indefinito percorso dalla corrente i. Calcolare:

  1. la tensione \mathscr{E} ai capi P e Q della sbarretta in funzione della distanza r dal filo;
  2. Ripetere il calcolo quando la sbarretta si muove con velocità costante parallela al filo e l’estremo più vicino al filo dista da questo r.

Si trascurino tutti gli attriti.

 

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Figura 2: schema problema 1.

Svolgimento punto 1.

Notiamo subito che la presenza della corrente i genera intorno al filo un campo magnetico \vec{B}. Per capire quali siano le linee questo campo possiamo utilizzare la regola del cacciavite: orientiamo il pollice della mano destra nello stesso verso in cui scorre la corrente, dopodichè chiudiamo le dita come se stessimo stringendo un cacciavite nella nostra mano; l’orientamento delle dita ci fornisce il verso del campo \vec{B}.  

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Figura 3: rappresentazione linee campo magnetico.

 

La figura 3 mostra come sono orientate le linee del campo magnetico. La corrente va pensata uscente dal foglio (stiamo di fatto immaginando di vedere il filo “dall’alto”). Dalla teoria sappiamo che l’intensità di un campo magnetico generato da un filo infinito percorso da corrente è descritta dalla legge di Biot-Savart

(11) \begin{equation*} \vec{B}=\frac{\mu_0i}{2\pi r} \ \hat{\phi}, \end{equation*}

dove \mu_0 è la permeabilità magnetica nel vuoto, r è la distanza dal filo del punto in cui si vuole valutare il campo e \hat{\phi} è il versore tangente alla linea di forza che passa per quel punto. Ci chiediamo che cosa succede quando il campo magnetico attraversa l’asta conduttrice. All’interno di essa, sono presenti degli elettroni che si stanno muovendo alla stessa velocità \vec{v} dell’asticella, quindi si deduce che su di essi stia agendo una forza di Lorentz che, per la regola della mano destra1, tende a spingere gli elettroni verso il basso. La forza di Lorentz è definita come

(12) \begin{equation*} \vec{F}_L=q\,\vec{v}\wedge\vec{B}, \end{equation*}

dove nel nostro caso q=-ne, con n numero degli elettroni che si sono spostati da una parte all’altra della sbarretta.

Abbiamo dunque trovato che la sbarretta viene polarizzata per effetto del campo magnetico in quanto le cariche di segno opposto si disporranno ad estremi opposti; è proprio questa nuova distribuzione di carica che genera la differenza di potenziale \mathscr{E} agli estremi della sbarretta. Per trovare questo potenziale, notiamo che la forza di Lorentz agisce come una forza elettrostatica, cioè genera un campo elettrico \vec{E_0} dentro la sbarretta. Abbiamo dunque

(13) \begin{equation*} \vec{E}_0=\frac{\vec{F}_L}{q}, \end{equation*}

da cui sostituendo l’espressione della forza di Lorentz definita nell’equazione (12) nella precedente equazione, otteniamo

(14) \begin{equation*} \vec{E}_0=\vec{v}\wedge\vec{B}. \end{equation*}

Scegliamo un sistema di riferimento Oxy solidale con la sbarretta tale per cui P\equiv O, come in figura 4.  

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Figura 4: rappresentazione dell’asta nel sistema di riferimento xy.

 

Sfruttando la regola della mano destra, è facile convincersi del fatto che il campo elettrico sia rivolto verso l’alto; svolgendo il prodotto vettoriale tra \vec{v} e \vec{B} e applicando la legge di Biot-Savart, l’equazione (14) diventa{\color{blue} ^2}

(15) \begin{equation*} \vec{E}=vB \ \hat{y}=\frac{\mu_0iv}{2\pi r} \ \hat{y}, \end{equation*}

dove \hat{y} è il versore dell’asse y. Una volta trovato il campo elettrico si può ricavare facilmente la differenza di potenziale \mathscr{E}. Dalla definizione di forza elettromotrice, si ha

(16) \begin{equation*} \mathscr{E}=\int_{\gamma}{\vec{E}_0\cdot d\vec{\ell}}, \end{equation*}

dove \gamma è il segmento sul quale giace la sbarretta, ovvero \overline{PQ}.

Parametrizziamo il segmento \overline{PQ} come segue

(17) \begin{equation*} \vec{\gamma}(t) =\left(0,t,0\right), \quad \text{con}\,\,t=[0,b]. \end{equation*}

Si ha

(18) \begin{equation*} d\vec{\ell}=\dfrac{d\vec{\gamma}(t)}{dt}\,dt=\left(\frac{d\gamma_x(t)}{dt},\frac{d\gamma_y(t)}{dt},\frac{d\gamma_z(t)}{dt}\right)dt=\left(0,1,0\right)dt, \end{equation*}

da cui l’equazione (16) diventa

(19) \begin{equation*} \mathscr{E}=\int_{0}^b\vec{E}_0\cdot \dfrac{d\vec{\gamma}(t)}{dt}\,dt=\int_{\gamma}\left(0,\dfrac{\mu_0iv}{2\pi r},0\right)\cdot\left(0,1,0\right)dt =\int_{0}^{b}{\frac{\mu_0iv}{2\pi r}dt}=\frac{\mu_0iv}{2\pi r}\int_{0}^{b}{dt}=\frac{\mu_0ivb}{2\pi r}, \end{equation*}

cioè:

\[\boxcolorato{fisica}{\mathscr{E}=\frac{\mu_0ivb}{2\pi r}.}\]

   

\[\]

  1. Si ricordi che \overline{O\,\text{CM}}_{\text{disco}}=r. ↩
  2. Facciamo notare al lettore che \vec{B} è costante in modulo in ogni punto della sbarretta perché ogni punto della sbarretta si trova alla stessa distanza dal fili rettilineo. ↩

Svolgimento punto 2.

In questo caso il procedimento è analogo al punto a. Ci mettiamo nello stesso sistema di riferimento della figura4 in questo sistema la velocità della sbarretta è \vec{v}=v \ \hat{y}. Allora dalla (13) si nota che per la regola della mano destra in questa configurazione il campo elettrico generato da \vec{B} sarà diretto lungo il semiasse negativo delle x. Applicando la legge di Biot-Savart, si ha

(20) \begin{equation*} \vec{E}(r^\prime)=-\frac{\mu_0iv}{2\pi r^\prime} \ \hat{x} , \end{equation*}

dove r^\prime è la distanza dal filo indefinito ad un generico punto del conduttore e \hat{x} è il versore dell’asse delle x.

Parametrizziamo il segmento \overline{PQ} come segue

(21) \begin{equation*} \vec{\gamma}(t) =\left(t,0,0\right), \quad \text{con}\,\,t=[r,r+b], \end{equation*}

da cui

(22) \begin{equation*} d\vec{\ell}=\dfrac{d\vec{\gamma}(t)}{dt}\,dt=\left(1,0,0\right)dt. \end{equation*}

Osserviamo che il campo elettrico definito in (20) non assume lo stesso valore in tutti i punti del segmento \overline{PQ} perché r^\prime varia tra [r,r+b]. Abbiamo dunque

(23) \begin{align*} \mathscr{E}&=\int_{\gamma} \vec{E}(r^\prime)\cdot d\vec{\ell} =\int_{r}^{r+b}\left(-\dfrac{\mu_0iv}{2\pi t},0,0\right)\cdot \left(1,0,0\right)dt=-\frac{\mu_0iv}{2\pi }\int_{r}^{r+b}{\frac{1}{t}dt}=\\ &=-\dfrac{\mu_0iv}{2\pi r}\ln\left(\dfrac{r}{r+b}\right)=\frac{\mu_0i}{2\pi }v\ln\left(\frac{r}{r+b}\right), \end{align*}

cioè:

\[\boxcolorato{fisica}{\mathscr{E}=\frac{\mu_0i}{2\pi }v\ln\left(\frac{r}{r+b}\right).}\]


Osservazione 1.

La situazione fisica descritta in questo esercizio prende il nome di effetto Hall.

 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una bobina di lato \ell=20 \ \text{cm}, ai cui capi è collegato un condensatore piano, area delle armature \Sigma=100 \ \text{cm}^2, distanti d=\text{0,5} \ \text{cm}, si muove con velocità di modulo v=2 \ \text{m}\cdot \text{s}^{-1} diretta come in figura 5, in un campo magnetico B=\text{0,5} \ \text{T} perpendicolare al piano della bobina. Calcolare:

  1. il campo elettrico E tra le armature del condensatore;
  2. la carica q sulle armature dello stesso.

Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.

 

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Figura 5: schema del problema 2.

Svolgimento punto 1.

La bobina sta attraversando a velocità \vec{v} costante in modulo, direzione e verso, una regione in cui è presente un campo magnetico \vec{B} costante in modulo, direzione e verso. La bobina sta dunque tagliando trasversalmente le linee di campo magnetico. Con il passare del tempo, una superficie sempre più grande della bobina sarà attraversata da \vec{B}, ossia sta aumentando il flusso del campo magnetico che passa attraverso la bobina. Il flusso attraverso la bobina è

(24) \begin{equation*} \Phi_{\Sigma}(\vec{B})=\iint_\Sigma {\vec{B}\cdot\hat{n}\,d\Sigma}, \end{equation*}

dove \Sigma è la parte di superficie della bobina attraversata dal campo magnetico, \hat{n} è il versore normale alla superficie orientato seconda la regola della vite e d\Sigma è la superficie infinitesima della bobina.

Parametrizziamo la superficie \Sigma. Scegliamo un sistema di riferimento Oxyz come in figura 6.  

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Figura 6: rappresentazione del sistema di riferimento.

 

Per la legge di Faraday, sappiamo che se la variazione di flusso di campo magnetico indotto dall’esterno in un circuito genera una forza elettromotrice autoindotta responsabile di una corrente autoindotta che scorre nel circuito in modo da creare un flusso di campo magnetico autoindotto si oppone agli effetti del flusso di campo magnetico indotto dall’esterno; in altri termini se il flusso del campo magnetico esterno aumenta la corrente autoindotta genera un flusso di campo magnetico autoindotto che farà diminuire il flusso di campo magnetico esterno, se invece il flusso di campo magnetico esterno diminuisce la corrente autoindotta genererà un flusso di campo magnetico autoindotto che farà aumentare il flusso di campo magnetico esterno. Per ipotesi gli effetti di autoinduzione sono da trascurare, pertanto terremo conto solo degli effetti del campo magnetico indotto dall’esterno.

Il campo magnetico in figura 6 è uscente dal foglio; la corrente indotta i dal campo magnetico esterno dovrà dunque generare un campo magnetico entrante. Applicando la regola della vite deduciamo che la corrente dovrà scorrere in senso orario. In particolare, il pollice della mano destra punterà verso il foglio e di conseguenza l’orientamento delle dita della mano destra suggerisce che la corrente scorrerà in senso orario, come mostrato in figura 7.  

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Figura 7: rappresentazione del circuito equivalente.

 

Il flusso del campo magnetico indotto dall’esterno aumenta nel tempo pertanto la forza elettromotrice indotta sarà negativa; in altri termini la corrente deve scorrere in senso orario affinché si generi un campo magnetico autoindotto che si opponga agli effetti del campo magnetico esterno; infatti, siccome il flusso di campo magnetico esterno aumenta il campo magnetico autoindotto genera un flusso che fa diminuire il flusso del campo magnetico esterno. Per la legge di Faraday-Newmann, si ha

(25) \begin{equation*} \mathscr{E}_i=-\frac{d\Phi_{\Sigma}(\vec{B})}{dt}. \end{equation*}

Il fatto che la forza elettromotrice indotta sia negativa vuol dire che la derivata del flusso di \vec{B} rispetto al tempo sarà positiva, ossia otteniamo che la funzione \Phi(\vec{B}) dovrà essere crescente. Sia s la lunghezza orizzontale della bobina immersa nel campo magnetico. Procediamo risolvendo l’integrale della (24). Abbiamo dunque

(26) \begin{equation*} \Phi_{\Sigma}(\vec{B})=\iint_\Sigma {\vec{B}\cdot\hat{n}\,d\Sigma}=\iint_D {\vec{B}\cdot\hat{n}\,d\Sigma}=\iint_D \left(0,0,B\right)\cdot \left(0,0,1\right)dxdy=\iint_DB\,dxdy, \end{equation*}

dove D\coloneqq\{(u,s)\in \mathbb{R} \ t.c. \ 0\leq y\leq\ell, \ 0\leq x\leq s \}.    

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Figura 8: rappresentazione dei parametri utilizzati per parametrizzare \Sigma.

 

Svolgendo i calcoli la precedente equazione diventa

(27) \begin{equation*} \Phi_{\Sigma}(\vec{B})=\iint \left(0,0,B\right)\cdot \left(0,0,1\right)duds=\iint_DB\,duds=B\iint_D\,duds=Bs\ell. \end{equation*}

Si osservi che dal precedente risultato, come dedotto in precedenza, \Phi(\vec{B}) è una funzione crescente. ll flusso varia in funzione di s. Sfruttando il precedente risultato l’equazione (25) diventa

(28) \begin{equation*} \mathscr{E}_i=-\frac{d\Phi_\Sigma(\vec{B})}{dt}=-B\ell\frac{ds}{dt}=-B\ell v=\text{costante}, \end{equation*}

perché v è costante. La differenza di potenziali ai capi del condensatore è uguale \mathscr{E}_i che è costante, pertanto il condensatore risulta carico e quindi possiamo trovare il campo elettrico E all’interno del condensatore: esso sarà uguale al quoziente tra la differenza di potenziale e la distanza d tra le due armature. Abbiamo dunque:

\[\boxcolorato{fisica}{E=\frac{\left \vert \mathscr{E}_i\right \vert }{d}=\frac{B\ell v}{d}=40\,{\text{V}}\cdot{\text{m}}^{-1}.}\]


Svolgimento punto 2.

Ricordiamo che la capacità di un condensatore è definita come segue

(29) \begin{equation*} C=\frac{q}{\Delta V}, \end{equation*}

dove \Delta V è la differenza di potenziale ai capi del condensatore e q è la carica sulle armature. Si ricorda che nel caso particolare che il condensatore sia piano, si ha

(30) \begin{equation*} C=\frac{\varepsilon_0\Sigma}{h}, \end{equation*}

dove h è la distanza tra le due armature e \Sigma è l’area occupata dalle armature. Osserviamo che nel circuito in figura 7 si ha \Delta V=\left \vert \mathscr{E}_i\right \vert e h=d, da cui confrontando (29) e (30) otteniamo

(31) \begin{equation*} \frac{q}{\left \vert \mathscr{E}_i\right \vert }=\frac{\varepsilon_0\Sigma}{d}\quad\Leftrightarrow\quad q=\frac{\varepsilon_0\Sigma\left \vert \mathscr{E}_i\right \vert }{d}. \end{equation*}

Sostituendo il risultato ottenuto in (28) in (31), si ottiene:

\[\boxcolorato{fisica}{q=\frac{\varepsilon_0\Sigma}{d}B\ell v=\text{3,4}\,\text{pC}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una sbarretta conduttrice di lunghezza \ell si muove senza attrito su due rotaie. Una forza di modulo {F}=1 \ \text{N} è applicata alla sbarretta che si muove di velocità costante di modulo v=2 \ \text{m}\cdot \text{s}^{-1} in un campo magnetico \vec{B} perpendicolare al foglio. La forza \vec{F} è parallela alle due rotaie, come rappresentato in figura 9. Si richiedere di calcolare:

  1. la corrente i che percorre il resistore R=8 \ \Omega collegato tra le rotaie;
  2. la potenza \mathscr{P} dissipata sullo stesso.

Si trascuri l’induttanza del circuito e ogni forma di attrito.

 

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Figura 9: schema problema 3.

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