Esercizi di elettrotecnica proposti sui social

Autori: Valerio Brunetti.

Si richiede l’equivalente di Thevenin visto ai morsetti a e b, cioè un generatore ideale di tensione in serie con una resistenza . Per definizione coincide con la tensione a morsetti aperti , mentre coincide con la resistenza equivalente vista ai morsetti dopo lo spegnimento dei generatori indipendenti, calcolabile anche mediante un generatore di prova.

Per il calcolo di conviene applicare una trasformazione di generatore sul bipolo formato dal generatore di corrente in parallelo al resistore , entrambi tra il nodo e il riferimento. Tale bipolo è equivalente, ai fini dei morsetti esterni, a un generatore ideale di tensione in serie con lo stesso resistore, con valore

e polarità positiva verso il nodo superiore coerente con la freccia del generatore di corrente originale. Si ottiene così il circuito seguente, sul quale si imposta l’analisi alle correnti di maglia.  

 

Figura 2.

  Si assumono le correnti di maglia orientate in verso orario come in figura 2. Le cadute di tensione sui resistori si scrivono con la convenzione degli utilizzatori; sui rami condivisi tra due maglie la corrente di ramo risulta data dalla differenza delle correnti di maglia. Si scrive la LKT in ciascuna maglia.

Nella maglia di sinistra, la somma delle resistenze percorse esclusivamente è (i due resistori da sul lato sinistro e sul ramo superiore), mentre sul resistore condiviso da si ha la caduta . Il generatore da è percorso dall’alto verso il basso, quindi contribuisce come caduta ; il generatore da è percorso dal basso verso l’alto, quindi contribuisce come caduta . Si ottiene

Nella maglia in basso a destra compaiono il resistore verticale da percorso da , il resistore condiviso da nel ramo centrale con caduta , e il resistore condiviso da tra i nodi e con caduta . Il generatore da viene qui percorso dal basso verso l’alto, quindi contribuisce come caduta . Si ottiene

Nella maglia superiore compaiono il resistore da sul ramo alto, percorso da , e il resistore condiviso da sul ramo centrale, percorso in verso opposto da , con caduta . Il generatore da è percorso dal nodo (polo negativo) al nodo (polo positivo), quindi contribuisce come caduta . Si ottiene

Dividendo membro a membro per e raccogliendo i termini, il sistema equivalente può essere scritto come

dove le correnti sono espresse in . Dalla prima equazione si ottiene

mentre dalla terza equazione si ottiene

Sostituendo tali espressioni nella seconda equazione si ottiene

da cui, dopo semplificazione,

Segue

Si determina ora la tensione a morsetti aperti . Tra i nodi e è presente il resistore da percorso dalla corrente di maglia nel verso da verso , quindi

Tra i nodi e è presente il resistore da condiviso dalle maglie e . Nel verso da verso la corrente di ramo risulta , quindi

Per addizione membro a membro si ottiene

Sostituendo i valori numerici si trova

La polarità è tale che , dunque il polo positivo del generatore equivalente risulta al morsetto .

Per il calcolo di si spengono i generatori indipendenti del circuito originale: i generatori ideali di tensione si sostituiscono con cortocircuiti e il generatore ideale di corrente si sostituisce con un circuito aperto. Il ramo con diviene un collegamento diretto al riferimento e lascia in circuito il solo resistore tra e il riferimento; il ramo con cortocircuita i nodi e , rendendo in parallelo i due resistori da tra e . Il circuito resistivo risultante è il seguente.  

 

Figura 3.

  I due resistori risultano in parallelo tra e , quindi si sostituiscono con il resistore equivalente

Sul circuito così ridotto si applica un generatore di prova di tensione ai morsetti, con polo positivo al morsetto , e si indica con la corrente nel generatore di prova orientata da verso . Per seguire un’impostazione coerente con i calcoli riportati, si assume e quindi . Si denotano con la tensione del nodo centrale e con la tensione del nodo inferiore comune (il conduttore che raccoglie i tre resistori verticali), entrambe misurate rispetto al riferimento scelto in .  

 

Figura 4.

  Si scrive ora la LKC ai nodi e . Al nodo le correnti uscenti verso , verso e verso sommano a zero, cioè

equivalente a

Al nodo le correnti uscenti verso , verso e verso sommano a zero, cioè

equivalente a

Risolvendo il sistema si ottiene

La corrente nel generatore di prova, orientata da verso , coincide con la corrente totale che entra nel nodo dal generatore e poi si ripartisce nei due rami resistivi connessi a , cioè nel resistore verso e nel resistore verso . Pertanto

Ne segue

Si conclude quindi che l’equivalente di Thevenin tra i morsetti a e b è costituito da un generatore ideale di tensione con polo positivo al morsetto , in serie con la resistenza .  

 

Figura 5.