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Equazione di Mescerskij: sistemi a massa variabile

Approfondimenti di Fisica

Home » Equazione di Mescerskij: sistemi a massa variabile

In questo articolo viene proposta la dimostrazione dell’equazione di Mescerskij, un’applicazione del secondo principio della dinamica nel caso di sistemi a massa variabile, ovvero quando la massa del corpo non è costante ma cambia nel tempo. La dinamica dei corpi a massa variabile costituisce un caso particolare all’interno della dinamica dei sistemi e si applica a situazioni in cui la massa del corpo in esame non rimane costante nel tempo, a causa di un’acquisizione o perdita di massa. Un esempio paradigmatico di tale fenomeno è rappresentato dai veicoli a reazione, come aerei, missili, razzi e navicelle spaziali.

La struttura dell’articolo è articolata come segue: inizialmente vengono richiamate le principali definizioni e nozioni preliminari necessarie alla comprensione del contesto fisico e matematico dell’equazione di Mescerskij. In seguito, viene proposta la dimostrazione dettagliata dell’equazione stessa, costruita a partire da un modello ideale di razzo. Tale scelta, priva di perdita di generalità, consente di illustrare con chiarezza i passaggi logici e i fondamenti teorici alla base della formulazione.

A valle della dimostrazione, si sviluppa un’analisi critica del processo dinamico considerato, con particolare attenzione agli aspetti fisici coinvolti. Vengono discusse le ipotesi adottate, le implicazioni teoriche e le condizioni di validità dell’equazione. Infine, l’articolo propone un’indagine più ampia sui sistemi a massa variabile, con l’obiettivo di guidare il lettore verso una comprensione completa del fenomeno attraverso la presentazione di modelli teorici alternativi, esempi applicativi e riflessioni di carattere generale.

 

Autori e revisori

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Autori e Revisori: Valerio Brunetti, Cesare Malagù, Davide Germani, Giuseppe Palaia, Nicola Fusco.


 

Il secondo principio della dinamica

Il secondo principio della dinamica, enunciato da Isaac Newton, stabilisce che, in un sistema di riferimento inerziale, la somma vettoriale delle forze applicate a un punto materiale è pari alla derivata temporale della sua quantità di moto. In forma matematica:

\[ \vec{F} = \dfrac{d\vec{p}}{dt}, \]

dove \vec{p} = m\vec{v} è la quantità di moto del corpo, m la massa e \vec{v} la velocità. \vec{F} rappresenta la forza totale applicata al corpo.

Tale principio è strettamente connesso al primo principio della dinamica, dal quale si definisce cosa è un sistema di riferimento inerziale. Esso afferma che, in assenza di forze, un corpo mantiene il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

Nel caso particolare in cui la massa sia costante nel tempo, il secondo principio assume la forma più nota:

\[ \vec{F} = m\vec{a}, \]

dove \vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} è l’accelerazione del corpo.

 

Estensione a sistemi di punti materiali

Per un sistema di punti materiali, il secondo principio generalizzato diventa:

(1) \begin{equation*} \vec{F}^{\text{ext}} = \dfrac{d\vec{P}}{dt}, \end{equation*}

dove \vec{F}^{\text{ext}} è la somma delle forze esterne applicate e \vec{P} = m\vec{v}_{\text{CM}} è la quantità di moto del sistema, con \vec{v}_{\text{CM}} velocità del centro di massa.

 

Sistemi a massa variabile e l’equazione di Mescerskij

Nel caso in cui la massa del corpo non sia costante nel tempo, come accade ad esempio in un razzo o in un carrello che perde massa, è necessario adottare una formulazione alternativa ad (1):

\[ \vec{F} + \vec{v}_{\text{rel}} \dfrac{dm}{dt} = m \dfrac{d\vec{v}}{dt}, \]

dove \vec{v}_{\text{rel}} = \vec{v}_{\text{gas}} - \vec{v} è la velocità relativa della massa espulsa rispetto al corpo. Questa è detta equazione di Mescerskij.

Qui \vec{v}_{\text{gas}} rappresenta la velocità della massa in uscita rispetto a un sistema di riferimento inerziale (tipicamente il suolo). Il termine “gas” è generico: può riferirsi a qualsiasi massa in ingresso o uscita, non necessariamente gassosa.

Nel caso di un razzo, ad esempio, \vec{v} è la velocità del razzo e i gas vengono espulsi all’indietro con velocità \vec{v}_{\text{gas}}. La velocità relativa diventa quindi \vec{v}_{\text{rel}} = \vec{v}_{\text{gas}} - \vec{v}, che appare nell’equazione per tener conto della quantità di moto portata via dalla massa espulsa. La massa m è la massa residua del sistema all’istante generico t.

 

Dimostrazione dell’equazione di Mescerskij

Per ottenere l’equazione del moto di un corpo a massa variabile, si può assumere come modello rappresentativo il caso del moto di un missile. Il motore a reazione opera espellendo una certa quantità di materia – generalmente sotto forma di gas – alla quale viene impressa un’elevata velocità rispetto al corpo principale. Durante tale processo, il missile esercita una forza sul gas espulso, che reagisce esercitando a sua volta una forza uguale e contraria sul missile stesso, secondo quanto stabilito dal terzo principio della dinamica.

Nel caso ideale in cui le forze esterne siano trascurabili, il sistema composto dal missile e dai gas di scarico può essere considerato isolato, e la quantità di moto complessiva rimane costante, quindi il centro di massa del sistema si muove di moto rettilineo uniforme. Tuttavia, in un contesto più realistico, è necessario tener conto di forze esterne quali la gravità e le forze dissipative, come l’attrito viscoso.

Sia m(t) la massa del missile all’istante t, e \vec{v}(t) la sua velocità; indichiamo invece con m_{\text{gas}} e \vec{v}_{\text{gas}} la massa e la velocità del gas espulso nel medesimo istante. Le velocità sono misurate rispetto ad un sistema fisso.

Abbiamo dunque:

\[ \begin{cases} \vec{F}+\vec{F}_{j}=\dfrac{d(m\vec{v})}{dt}\\[10pt] -\vec{F}_{j}=\dfrac{d(m_{\text{gas}}\vec{v}_{\text{gas}})}{dt}, \end{cases} \]

dove \vec{F} è la forza esterna applicata a m, \vec{F}_{j} è la forza applicata dal gas su m e -\vec{F}_{j} è la forza applicata su m_{\text{gas}} per il terzo principio della dinamica.

Svolgendo i calcoli abbiamo:

\[ \vec{F}-\dfrac{d(m_{\text{gas}}\vec{v}_{\text{gas}})}{dt}=\dfrac{d(m\vec{v})}{dt}, \]

ovvero

\[ \vec{F} = \dfrac{dm}{dt} \vec{v} + m \dfrac{d\vec{v}}{dt} + \dfrac{dm_{\text{gas}}}{dt} \vec{v}_{\text{gas}} + m_{\text{gas}} \dfrac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt} \]

Sappiamo che

\[ m + m_{\text{gas}} = \text{costante}, \]

conseguentemente

\[ \dfrac{d(m + m_{\text{gas}})}{dt} = 0, \]

e quindi

\[ -\dfrac{dm}{dt} = \dfrac{dm_{\text{gas}}}{dt}, \]

ottenendo

\[ \vec{F} = \dfrac{dm}{dt} \vec{v} + m \dfrac{d\vec{v}}{dt} - \dfrac{dm}{dt} \vec{v}_{\text{gas}} + m_{\text{gas}} \dfrac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt}. \]

In altri termini:

\[ \vec{F} - (\vec{v} - \vec{v}_{\text{gas}})\dfrac{dm}{dt} = m \dfrac{d\vec{v}}{dt} + m_{\text{gas}} \dfrac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt} \]

Per semplificare i calcoli si considera \vec{v}_{\text{gas}} costante, ottenendo:

\[ \vec{F} - (\vec{v} - \vec{v}_{\text{gas}})\dfrac{dm}{dt} = m \dfrac{d\vec{v}}{dt} \]

che è esattamente l’equazione di Mescerskij.

Passiamo a un’analisi dinamica dell’equazione di Mescerskij, ponendoci una domanda fondamentale: per quale motivo le forze esterne che agiscono sul gas non vengono prese in considerazione?

La ragione per cui sul gas espulso si trascurano la gravità e l’attrito viscoso, mentre per il razzo nel suo insieme no, ha a che fare con differenze fondamentali nella massa, scala e dinamica del sistema.

 

1. Considerazioni sulle forze esterne agenti sul gas e sul razzo

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Nel momento in cui il gas viene espulso dal razzo, esso inizia a interagire con il mezzo circostante, incontrando la resistenza dell’aria. Tuttavia, ciò che risulta rilevante ai fini dell’analisi dinamica del sistema è la velocità con cui il gas lascia il corpo principale, indicata con \vec{v}_{\text{gas}}.

È vero che, subito dopo l’espulsione, il gas subisce l’azione di forze esterne quali la resistenza aerodinamica, la forza peso e la spinta di Archimede. Tuttavia, queste forze si manifestano successivamente all’istante in cui il gas ha già abbandonato il sistema. In altri termini, il comportamento successivo del gas non influisce più sulla dinamica del corpo principale.

Possiamo visualizzare la situazione come uno scatto istantaneo: in quell’istante, il gas possiede una certa velocità definita \vec{v}_{\text{gas}}; successivamente rallenta, si disperde e cessa di interagire con il razzo. Per questo motivo, le forze esterne che agiscono sul gas non vengono considerate nell’equazione del moto del razzo, mentre quelle che agiscono sul corpo principale devono necessariamente essere incluse, in quanto influenzano direttamente la sua traiettoria.


 

2. Il razzo, invece, è soggetto a forze esterne importanti

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Il razzo ha massa molto maggiore e viaggia per tempi prolungati attraverso l’atmosfera, quindi:

  • La gravità agisce costantemente, contrastando la spinta.
  • L’attrito dell’aria (resistenza aerodinamica) è molto significativo, soprattutto nelle fasi iniziali del lancio, e non può essere trascurato.

 

3. Giustificazione teorica dell’elevata velocità dei gas di scarico nei motori a reazione

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Un aspetto fondamentale nella trattazione dinamica di un sistema a massa variabile, come il missile, risiede nella comprensione del meccanismo con cui si genera la spinta. Tale spinta, modellata dal termine:

\[ \vec{F}_j = \frac{d(m_{\text{gas}} \vec{v}_{\text{gas}})}{dt}, \]

rappresenta il contributo impulsivo dovuto all’espulsione continua di gas. Questo termine riflette la variazione nel tempo della quantità di moto del gas, ed è, per il terzo principio della dinamica, responsabile della variazione di quantità di moto del corpo principale.

La velocità del gas espulso, \vec{v}_{\text{gas}}, rispetto a un sistema di riferimento inerziale, appare elevata non soltanto per motivi ingegneristici legati all’efficienza del propulsore, ma anche per motivi teorici: affinché una quantità di moto significativa venga trasferita dal gas al missile in un tempo infinitesimo dt, la velocità del gas deve compensare la piccolezza della massa espulsa dm. In termini impulsivi, ogni elemento di massa espulsa produce un impulso:

\[ d\vec{J} = \vec{v}_{\text{gas}}\, dm_{\text{gas}, \]

il cui contributo deve risultare sufficientemente grande da garantire una variazione apprezzabile della quantità di moto del sistema principale. Dato che dm_{\text{gas}} \ll m, è necessario che \vec{v}_{\text{gas}} sia grande in modulo affinché d\vec{J} non sia trascurabile.

In altre parole, per mantenere un flusso costante e continuo di impulso in uscita – ossia per avere \vec{F}_j = \frac{d\vec{J}}{dt} sufficientemente elevata da produrre accelerazione sensibile sul corpo principale – la velocità del gas espulso deve risultare elevata. Questa esigenza si riflette anche nei progetti reali dei motori a razzo, in cui l’energia interna dei prodotti di combustione viene convertita in energia cinetica con l’obiettivo esplicito di ottenere valori di \vec{v}_{\text{gas}} quanto più alti possibile.


 

4. La velocità del razzo è elevata?

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Sebbene la forza propulsiva dovuta all’espulsione dei gas, rappresentata dal termine \vec{F}_j, sia di natura impulsiva e di grande intensità, la velocità del razzo \vec{v} non risulta elevata nelle fasi iniziali del moto. Questo apparente paradosso può essere compreso analizzando l’equazione fondamentale del moto per un sistema a massa variabile:

\[ \vec{F} + \vec{F}_j = \frac{d(m\vec{v})}{dt}. \]

Espandendo il termine derivato, si ottiene:

\[ \frac{d(m\vec{v})}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \vec{v} \frac{dm}{dt}, \]

da cui si ricava:

\[ \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{\vec{F} + \vec{F}_j - \vec{v} \frac{dm}{dt}}{m}. \]

In fase iniziale, la massa m del razzo è molto elevata, il che comporta un’accelerazione inizialmente ridotta anche in presenza di una forza impulsiva significativa. Inoltre, le forze esterne \vec{F}, come la gravità e la resistenza aerodinamica, sono particolarmente intense nelle prime fasi del moto.

Dal punto di vista impulsivo, l’incremento di quantità di moto del razzo è dovuto all’impulso accumulato nel tempo:

\[ \vec{J} = \int_{t_0}^{t} (\vec{F} + \vec{F}_j)\, dt, \]

da cui segue che la velocità \vec{v}(t) cresce progressivamente, in quanto legata all’integrale dell’azione delle forze nel tempo. In questo contesto, la forza \vec{F}_j, pur essendo elevata in ogni istante, deve agire su un intervallo temporale sufficientemente lungo affinch´e l’impulso trasmesso al razzo sia tale da generare un aumento significativo della velocità.

In sintesi, la velocità del razzo non è elevata fin dalle prime fasi del moto non per mancanza di spinta, ma a causa dell’elevata massa iniziale e della presenza di forze esterne antagoniste. Solo nel corso del tempo, grazie alla riduzione progressiva della massa e al superamento delle condizioni atmosferiche più ostili, l’impulso fornito dalla forza propulsiva si traduce in una crescita significativa della velocità.


 

5. Perché la velocità del gas è assunta costante

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L’ipotesi secondo cui la velocità del gas espulso, \vec{v}_{\text{gas}}, sia costante nel tempo è una semplificazione comunemente adottata nell’applicazione dell’equazione di Mescerskij, motivata da considerazioni sia fisiche che matematiche.

Una volta espulso, il gas si allontana rapidamente dal sistema e si dissolve nell’ambiente circostante, cessando così di interagire con il sistema principale; in tal modo, può essere trattato come un corpo isolato su cui le forze esterne risultano trascurabili.

Di conseguenza, la sua quantità di moto si conserva e la velocità resta pressoché invariata. Inoltre, nel funzionamento stabile di un motore a reazione, le condizioni nella camera di combustione e nell’ugello (pressione, temperatura e portata) sono regolari e controllate, garantendo un’espulsione del gas con velocità costante rispetto al razzo.

Assumere \vec{v}_{\text{gas}} costante permette infine di eliminare il termine:

\[ \frac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt} \]

semplificando l’equazione del moto senza alterarne significativamente la validità nei modelli fisici realistici.


 

Osservazioni sull’equazione di Mescerski

L’equazione di Mescerskij è istantanea: vale per un dato istante t > 0, ma al tempo t + \mathrm{d}t la massa sarà cambiata, quindi il sistema fisico in esame è diverso rispetto a quello considerato al tempo t.

Nel caso in cui \vec{F} = 0, cioè nessuna forza esterna agisce sul sistema per ogni t \geq 0, si ottiene:

\[ \left( \vec{v}_{\text{gas}} - \vec{v} \right) \frac{dm}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt}. \]

A prima vista, tale relazione potrebbe sembrare in contrasto con il primo principio della dinamica. Tuttavia, ciò non è corretto. Il primo principio, infatti, è valido esclusivamente in assenza di forze. Se un corpo di massa m si frantuma in più parti, tale processo implica necessariamente la presenza di forze — interne o esterne — la cui natura specifica è irrilevante ai fini di questa considerazione. In ogni caso, la presenza di forze rende inappropriato l’appello al primo principio, che presuppone condizioni di assenza di forze e non di forza totale nulla.

Se avessimo considerato esplicitamente sia la massa del gas espulso sia la massa residua del corpo, in assenza di forze esterne, il centro di massa dell’intero sistema si sarebbe mosso di moto rettilineo uniforme. Affinché la velocità del corpo principale rimanga costante, ovvero \vec{v} = \text{costante}, è necessario che la velocità della massa espulsa rispetto a un sistema di riferimento inerziale coincida con quella del corpo stesso, cioè \vec{v}_{\text{gas}} = \vec{v}. In tal caso, la derivata temporale della velocità risulta nulla, \frac{d\vec{v}}{dt} = 0, e il moto complessivo è uniforme. Si osservi che siamo sempre nel caso \vec{F} = \vec{0}.

 

Calcolo diretto di \frac{d\vec{P}}{dt}

Si consideri la relazione fondamentale:

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = \frac{d\vec{P}}{dt} \]

da cui segue

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = \frac{d}{dt}(m_t \vec{v}_{\text{CM}}) = \frac{dm_t}{dt} \vec{v}_{\text{CM}} + m_t \frac{d\vec{v}_{\text{CM}}}{dt} \]

e dunque si ottiene l’equazione

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = \frac{dm_t}{dt} \vec{v}_{\text{CM}} + m_t \vec{a}_{\text{CM}}. \]

I passaggi precedenti richiedono particolare attenzione, in quanto è essenziale chiarire il significato delle grandezze coinvolte: m_t rappresenta la massa totale del sistema, che si assume costante nel tempo; \vec{v}_{\text{CM}} è la velocità del centro di massa del sistema, mentre \vec{a}_{\text{CM}} ne indica l’accelerazione. Un esempio di tale sistema è costituito da un razzo e dai gas di scarico da esso espulsi.

Poiché m_t è costante, si ha:

\[ \frac{dm_t}{dt} = 0, \]

da cui l’equazione si riduce a:

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = m_t \vec{a}_{\text{CM}}, \]

ovvero: la somma delle forze esterne agenti su un sistema è pari al prodotto della massa totale del sistema per l’accelerazione del suo centro di massa.

Consideriamo ora la quantità di moto totale di un sistema costituito da un razzo e dal gas espulso, in un sistema di riferimento inerziale:

\[ \vec{P} = m(t)\vec{v}(t) + m_{\text{gas}}(t)\vec{v}_{\text{gas}}(t) \]

e derivando rispetto al tempo

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = \frac{d\vec{P}_{\text{tot}}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(m\vec{v} + m_{\text{gas}}\vec{v}_{\text{gas}}\right) \]

si ottiene

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = \frac{dm}{dt} \vec{v} + m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm_{\text{gas}}}{dt} \vec{v}_{\text{gas}} + m_{\text{gas}} \frac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt}.\]

È quindi fondamentale specificare il sistema fisico a cui si applica la derivata temporale della quantità di moto.

Seguendo un procedimento alternativo rispetto alla deduzione dell’equazione di Meshcherskii, possiamo procedere come segue.

Riordinando i termini:

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm}{dt} \vec{v} + \frac{dm_{\text{gas}}}{dt} \vec{v}_{\text{gas}} + m_{\text{gas}} \frac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt} \]

e assumendo che la massa totale del sistema sia costante

\[ m(t) + m_{\text{gas}}(t) = \text{costante} \]

si ha

\[ \frac{dm}{dt} = -\frac{dm_{\text{gas}}}{dt} \]

sostituendo nell’equazione precedente

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = m \frac{d\vec{v}}{dt} - \frac{dm_{\text{gas}}}{dt} \vec{v} + \frac{dm_{\text{gas}}}{dt} \vec{v}_{\text{gas}} + m_{\text{gas}} \frac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt}, \]

che può essere riscritta come:

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = m \frac{d\vec{v}}{dt} + \frac{dm_{\text{gas}}}{dt} (\vec{v}_{\text{gas}} - \vec{v}) + m_{\text{gas}} \frac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt}. \]

Assumendo ora che \frac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt} = \vec{0}, si recupera la stessa espressione ottenuta in precedenza.

È importante osservare che \vec{F}^{\text{ext}}, in quanto riferita all’intero sistema costituito da razzo e gas, rappresenta la somma vettoriale delle forze esterne agenti su ciascuna delle sue componenti:

\[ \vec{F}^{\text{ext}} = \vec{F}^{\text{ext}}_{\text{razzo}} + \vec{F}^{\text{ext}}_{\text{gas}}, \]

tuttavia, come già discusso, le forze esterne agenti sul gas sono trascurabili rispetto a quelle sul razzo, per cui si può approssimare:

\[ \vec{F}^{\text{ext}} \approx \vec{F}^{\text{ext}}_{\text{razzo}}, \]

pertanto, sostituendo nell’equazione precedente e tenendo conto che \frac{d\vec{v}_{\text{gas}}}{dt} = \vec{0}, si ottiene

\[ \vec{F}^{\text{ext}}_{\text{razzo}} - \frac{dm_{\text{gas}}}{dt} (\vec{v}_{\text{gas}} - \vec{v}) = m \frac{d\vec{v}}{dt}, \]

ovvero

\[ \vec{F}^{\text{ext}}_{\text{razzo}} - (\vec{v} - \vec{v}_{\text{gas}}) \frac{dm}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt} \]

che corrisponde all’espressione ricavata in precedenza.

 

Applicazioni: possibili modelli teorici

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Supponiamo di avere una situazione a massa variabile tale per cui \vec{v}_{\text{gas}} = \vec{0}.

In questo caso, l’equazione di Mescerskij diventa:

\[ \vec{F} = \vec{v} \frac{dm}{dt} + m\vec{a}, \]

ovvero

\[ \vec{F} = \frac{dm}{dt} \vec{v} + m \vec{a}, \]

dove si è considerato il sistema composto dalla sola massa residua m.

Se \vec{v} è costante, si ha:

\[ \vec{F} = \frac{dm}{dt} \vec{v} \]

mentre, se \vec{F} = \vec{0}, si ottiene

\[ 0 = \frac{dm}{dt} \vec{v} + m \vec{a}, \]

da cui

\[ \vec{v} = \frac{m \vec{a}}{\frac{dm}{dt}}. \]

Come si interpretano le due equazioni precedenti dal punto di vista fisico?


 

Caso 1: \vec{a} = \vec{0}.

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Se la velocità è costante nel tempo, ovvero l’accelerazione è nulla (\vec{a} = \vec{0} \Rightarrow\vec{v}=\text{cost}), la seconda legge della dinamica per sistemi a massa variabile si riduce a:

\[ \vec{F} = \frac{dm}{dt} \vec{v}. \]

In questa situazione, la variazione della quantità di moto è interamente dovuta alla variazione della massa. Ciò implica che, per mantenere costante la velocità nonostante la perdita di massa, è necessaria una forza esterna.

In altre parole, la forza esterna \vec{F} non causa accelerazione, ma serve a bilanciare la perdita di quantità di moto associata alla massa espulsa.


 

Caso 2: \vec{F} = \vec{0}.

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Se sul sistema non agiscono forze esterne, allora:

\[ \vec{F} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}(m \vec{v}) = 0, \]

cioè

\[ m \vec{v} = m(t) \vec{v}(t) = \text{costante}. \]

Poiché m(t) diminuisce nel tempo, ne consegue che \vec{v}(t) debba aumentare.

Si osserva quindi un’accelerazione spontanea, non dovuta a forze esterne, ma alla necessità di conservare la quantità di moto. Alternativamente se la massa aumenta allora la velocità diminuisce.


 

Carrello che perde massa

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Immaginiamo di avere un camion pieno di sabbia in moto orizzontale, che perde sabbia attraverso un foro posto sul fondo. In questo caso, la sabbia cade verticalmente verso il suolo con velocità orizzontale pari a quella del camion. Fisicamente, ciò significa che:

\[ \vec{v} = \vec{v}_{\text{gas}}, \]

ovvero, la sabbia ha velocità nulla relativamente al camion: \vec{v}_{\text{rel}} = 0.

In questo caso particolare, l’equazione di Mescerskij si riduce alla classica seconda legge di Newton:

\[ \vec{F} = m \vec{a}. \]

Notiamo che, se \vec{F} = 0, allora l’accelerazione è nulla e la velocità del camion rimane costante, a prescindere dalla variazione di massa dovuta alla perdita di sabbia.

Ora immaginiamo invece di osservare il camion dall’alto, ad esempio da un elicottero, e di versare ulteriore sabbia all’interno del cassone. In questo caso, la sabbia che entra ha velocità diversa da quella del camion, per cui la velocità relativa non è più nulla.

Nel caso in cui non vi siano forze esterne, l’equazione di Mescerskij diventa:

\[ - (\vec{v} - \vec{v}_{\text{gas}}) \frac{dm}{dt} = m \frac{d\vec{v}}{dt}. \]

In questo caso abbiamo che \frac{dm}{dt} > 0. Si possono fare le seguenti considerazioni riportate in tabella.

 

Caso \vec{v}_{\text{gas}} rispetto a \vec{v} Effetto sul camion
\vec{v}_{\text{gas}} < \vec{v} Sabbia entra più lentamente Il camion rallenta
\vec{v}_{\text{gas}} = \vec{v} Sabbia entra alla stessa velocità Il camion mantiene la velocità
\vec{v}_{\text{gas}} > \vec{v} Sabbia entra più velocemente Il camion accelera

 

Un esercizio svolto sulla massa variabile

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Esercizio: Forza necessaria a mantenere costante la velocità di un carrello

Si consideri un carrello che si muove su rotaie con velocità costante pari a 3{,}50 \, \mathrm{m/s}. Il carrello transita sotto un nastro trasportatore che riversa al suo interno granaglia con portata costante pari a 525 \, \mathrm{kg/min}, e si suppone che il materiale venga depositato con velocità nulla rispetto al suolo, ossia \vec{v}_{\text{gas}} = \vec{0}.

Si determini il modulo della forza necessaria a mantenere costante la velocità del carrello, assumendo che l’attrito sia costante e trascurabile e che la granaglia, una volta introdotta nel carrello, assuma istantaneamente la sua stessa velocità.

Soluzione

Poiché la velocità del carrello è costante, si ha \frac{d\vec{v}}{dt} = 0. Inoltre, nel caso in esame la granaglia viene introdotta con velocità nulla rispetto al suolo, per cui la sua velocità relativa rispetto al carrello risulta \vec{v}_{\text{rel}} = -\vec{v}. Applicando l’equazione di Mescerskij per un sistema a massa variabile:

\[ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d(m \vec{v})}{dt} = \vec{v} \frac{dm}{dt} + m \frac{d\vec{v}}{dt} \, . \]

Poiché \frac{d\vec{v}}{dt} = 0, l’equazione si semplifica a:

\[ \vec{F} = \vec{v} \frac{dm}{dt} \, . \]

Convertiamo la portata in unità del Sistema Internazionale:

\[ \frac{dm}{dt} = \frac{525 \, \mathrm{kg}}{60 \, \mathrm{s}} = \text{8,75} \, \mathrm{kg/s} \, . \]

Sostituendo nella formula:

\[ F = v \frac{dm}{dt} = \text{3,50} \cdot \text{8,75} = \text{30,6} \, \mathrm{N} \, . \]

Risultato

Il modulo della forza necessaria a mantenere costante la velocità del carrello risulta essere:

\[ \boxed{F = \text{30,6} \, \mathrm{N}} \, . \]